数学中的美及其运用.docx
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数学中的美及其运用
11080G247分类号单位代码0201130238号密级学
本科毕业论文(设计)
数学中的美学及其运用题目张宏伟者作信息工程学院数学系(系)院数学与应用数学2013级专业班级
(2)班
38学号
梁晓茹指导教师
日答辩日期年月
西安文理学院
毕业论文(设计)诚信责任书
本人郑重声明:
所呈交的毕业论文(设计),是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。
毕业论文(设计)中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处。
尽我所知,除文中已经注明引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。
本人毕业论文(设计)与资料若有不实,愿意承担一切相关的法律责任。
论文作者签名:
2017年5月3日
数学中的美学及其运用实例验证法等方归纳总结法,本文通过资料分析法,文献研究法,摘要:
法,通过在了解数学美的基础上,阅读相关参考书、期刊、从图书馆查阅相关资数学的简洁美,统一美,奇异美,抽象美,无穷美,黄金分割美等美;料,研究了并研究了生活中的数学美和教学中的数学美。
关键词:
数学美;生活美;教学美。
AestheticsinMathematicsandItsApplication
Basedonthedataanalysis,literatureresearch,sumup:
Abstractthethroughtheunderstandingonothermethod,examplemethodandmethods,
basisofmathematicalbeauty,readreferencebooks,periodicals,consult
therelevantinformationfromthelibrary,studiedtheconcise
mathematicalbeauty,beauty,strangebeauty,abstractbeauty,infinite
beauty,goldenbeauty;Andthemathematicalbeautyinlifeisstudied.
Keywords:
。
beautyofteaching;;Lifebeautymathsofbeauty
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.........................................................错误!
摘要ABSTRACT.....................................................................III....................................................................引言1
.............................................................1.2探寻数学中的美.................................................................22.1简洁美符号美.................................................................22.2
.................................................................32.3抽象美.................................................................32.4奇异美.........................................................4.2.5数学统一性的美.........................................................5.2.6数学中的无穷美2.7对称美,不对称美.......................................................5...............................................................6黄金分割美2.8
............................................7曲面曲线在造型时比平面和直线美2.9................................................................8数学中的应用3
....................................................9数学美在生活中的运用3.1
..................................................9数学美在教学方面的运用3.2
...................................103.3如何更好的将数学美运用到教学和生活中......................................................................114结语.....................................................................12参考文献..........................................................................12
致谢
引言:
—伽利略数学是上帝用来书写宇宙的文字
数学是每个人必须学习的学科,人们通常说数学是枯燥乏味的。
其实不然,数学是一门既美又真的科学,发现数学之美,可以为数学研究和数学教学提供一条切实可行的捷径。
数学蕴涵着丰富的美,我们必须在研究和教学实践中,不断地寻找数学美。
探寻数学中的美2
数学当中存在着很多美的体现,而我们通常在数学的学习中忽略它们的存在。
数学就像是一个犹抱琵琶半遮面的女子,它的神秘让人忍不住想要去揭开它的面纱,古往今来多少数学家为了研究数学,了解数学的奥秘而夜以继日的努力着。
当你研究出一道晦涩难懂的题目,证明出一个真理时,你会有一种心旷神怡的感觉,我想这也许就是数学所带给我们美的感受吧。
2.1数学概念的简洁美简洁美是数学概念的美的代表,数学中最精炼,最概括的莫过于数学的概
我们学过的角平分线的概念。
简洁的数学理论可以让人感受到美的存在。
比如把这个角分成两个完全相同的角,这条射,引出一条射线念:
“从一个角的顶点去包含,,短短的一句话线叫做这个角的角平分线”。
还有“两点确定一条直线”,内涵丰富,了复杂的定义,简练严谨让学生感受到了数学定理的简洁之美,其实我们学过的很多定理,公式它们都是经过无数的数学家们不断的研究,不断
的发现以最简洁的形式出现在我们的面前。
欧拉的公式:
可以说是“简洁美”的代表.多面体有很多,没有人能说清楚.但它们的顶点数V、棱数E、面数F,都符合欧拉给出的这个公式.一个如此简单的公式,却代表了很多种qu多面体的共同特性。
爱因斯坦伟大的科学家数学家,他用简洁的表达式E=mc2揭示了自然界中质能关系,这个公式产生了核爆炸,美丽的蘑菇云。
数学以其简单但却丰富的形式表达我们所存在的客观世界,数学的简单不是我们通常所说的简单,它应该称之为简洁。
所以说简洁形象的数学概念能增强人们的思维能力,使思维集中于主要研究环节。
其实在我们的学习生活中我们做证明题就要求我们的证明过程要简洁,计算出的结果要求化简,分母有理化都是为了求得简洁。
这这些通常都可以给我们美的感觉。
曾今有位数学家说过:
“数学世界中,简单性和优雅性是压倒一切的”。
简洁美是真与善相互结合的光辉,简洁的概念可以让学生们方便记忆和运用,特别是在学生分析问题、计算和逻辑论证方面体现得更加突出,简洁美表现了客观规律的特征,在简洁美中我们可以常常了解事物的本质,也可以常常抓住真理;简洁美是数学内容与其简单化形式的统一,是人类“思维的经济化”在数学上的反映,在平常的学习生活中,如果在解题过程中我们的答案比较混乱,越往后推导越难以理解,我们就会怀疑“可能出错了”;但是如果结果简单,有序性公式和法则的广由此可见无论是数学概念,,我们就相信有更大的正确性,强
泛适用性,还是数量的逻辑统一性。
无不以他所持有的精炼的数学语言,严密的逻辑体系,抽象的字母符号向我们展示出数学简洁美的魅力。
简洁可以让我们看到本质,看到真与善,看到创造,从而也看到美。
数学的符号美2.2
·克莱茵—F符号常常比发明他们的数学家更能推应
数学的世界是一个符号的世界。
数学思想的传播在很大程度上是依靠数学的符号来完成的。
数学的发展符号起了至关重要的作用。
人们了解了符号就了解了符号的抽象与约束,可以集中思想在主要的方面,这在很大的增加的了人们的思维能力。
假如数和运算不是用符号来表示的,那么数学可能是杂乱无章的,数学的发展是怎样是无法描述的。
几乎在数学中每一种符号语言都支撑者一个数学的分支。
数学符号是数学的奠基石。
但是数学符号的进化是一个十分漫长的过程。
在数学学习中,我们可以将数学表示符号的海洋,也可以将符号比喻成一个个鲜活的生命。
数学符号是最简洁的,表达的内容却很多,他可以看成数学科学抽象化程度的高度体现,也是数学美的表现。
因此这些符号表达的算式,简单却包含了很多言语无法表达的意义。
他们往往在我们的学习我们学习生活中通常可以碰到许多有意思的符号,过程中可以给我们带来很大的作用和方便,现在就让我们一起来了解一下我们学过的数学当中的一些符号。
几何符号:
代数符号:
集合符号:
这些符号有最简单的形式却展现了最完美的意义。
我们相信随着社会的进
步,数学也在不断的完善,人们的审美观念也在不断的变化,数学符号将不断的得以完善。
2.3数学的抽象美提到数学的抽象美,很多人会不懂,在人们的传统观念当中,抽象不应该得到解脱,是出现在美术当中吗,一幅幅抽象的图片总能让人的心灵得到净化。
那么数学中的抽象是什么呢?
,我们举以前小学数学的书里面讲的例子:
一只公鸡一张嘴,两只眼睛两条腿,咯咯咯咯叫不停……两只公鸡两张嘴,四只眼睛四条腿,咯咯咯咯叫不停……三只公鸡三张嘴,六只眼睛六条腿,咯咯咯咯叫不停…………
我们可以统一描述成:
我咯咯咯咯叫不停……这个就叫做抽象。
张嘴,N只公鸡N2N只眼睛2N条腿,们的传统观念认为抽象离我们很远,其实抽象就在我们的身边。
在数学的的学习和研究过程中,抽象分析是最常用的一种思维方式,因为我们数学中很多的概念和公式都是通过抽象分析来研究而出的。
抽象是数学美内在的表现,因为数学的抽象可以让人置于脱开周围事物纷扰的“纯洁”的气但他们所表现的都是正确的。
氛中,有时候这种气氛有会让现实的经验很迷茫;如:
抽象定义域的问题,通常而言定义域是让一个函数有意义的集合,而我们在判断这个函数是否有意义的时候,往往是根据他所对应的关系所决定的,那么我们来看第一题目:
1、由于的定义域为注意你给出题目的写法是不标准的,定义域
是一个集合,而不是不等式),即f这个法则所要求的作用对象必须落在
这个区间内,所求的范围,但是这这个函数的定义域,是要求我们求x
个函数的法则的作用对象变成了这个整体,这个整所以必须要求
的区间内,所以需要解体落在
2、同理:
由于x的作也就是法则f,所以的范围是用对象的范围必须要求在[-1.2]之间,即f(x)的定义域为[-1,2],题目以抽的形式展现了定义域的集合。
我相信对每个初学者来说晦涩难懂,但只要你坐下来细细想想,却好像有没有什么不妥之处。
再比如:
举一个很间的例子,我们通常都喜欢喝奶茶,有句广告语说:
奶茶一年的销他的长度是地球的,量可绕地球一圈,那么我们现假设有这么长的奶茶盒所练成的绳子.
周长。
现在如果把奶茶盒在接长4米后,绕着赤道一周悬在空中,我们可以得到:
在赤道的任何地方,绳子都处处高0.64米!
那么这是为什么呢。
现在就让我们就一起走进这个问题。
设地球半径为r,那么奶茶盒的长则为2πr。
当奶茶盒长为2πr+4时,绳子所围圆周的半径则为:
.
那么奶茶可以围成一个与地球相距(即绳子围成的圆圈半径与地球半径只差)0.64米的大圆圈。
这个事实无法想象,无论如何是想不通的,但事实就是这样,地球半径那么大,而奶茶盒仅仅接长4米,居然处处离地球0.64米以上。
严谨的数学计算告诉我们这是正确的,可谁又能亲手去试验一下呢?
这便是数学抽象的美。
在数学中所处理的问题,有些是脱离了具体事物内容的。
比如“N”表示自然数,他可以是N个人,N个房子或N个球……如果单说N他不能具体的表示任何东西,分不到底是1还是10。
傻傻分不清楚,这就是数学的抽象之美,
2.4数学的奇异美
没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异——培根
著名数学家徐利治教授说:
“奇异是一种美,奇异到极致更是一种美”。
奇异常常与数学的反例在一起,比如为了探究函数的定义与连续的关系,出现了著名的狄利克雷函数:
这个函数在实轴上处处有定义,但在实轴上却处处不连续。
在微积分的最
在R上连续,早研究中,主要是研究连续函数,数学家们通过反例
处不可导,数学家们得出了连续却未必可导的结论。
但在后来一些数学家们认为连续函数至少在某些点处可以微分,但威尔斯特拉斯却在1860年找到了一个处处连续又处处不可微的函数,这个奇异的反例的发现,大大的推动了数学分析的发展,后来就出现了黎曼函数:
这便是一个带有奇异的新发现,产生了深远的影响。
奇异性通常伴随着数学方,
法的出现。
例如:
证这个问题看似很复杂,如果我们改变思维用代数变换,那么他的证明就很
简单,
则原式变化为,)证明:
设,,
(1)
则
所以
由此可以得到
通过上述例子我们可以发现数学中有存在很多的奇异,他们通常以奇异的方式出现,给人一种空洞的感觉,但他却极大的鼓励了人们去发现和研究其中的谜题。
数学的奇异中有着丰富的奥妙和魅力,奇异中也蕴含着道理与规律,她好似一个闭月羞花的少女。
让人为之赞美,为之陶醉。
数学统一性的美2.5
统一性的美是数学结构美的重要标志,欧几里德在他的著作中《几何原本》把空间的性质统一为点,线,面,体几个抽象概念和五条公设。
恩格斯也曾说过,数学中一些看来不同的概念,定理,法则,在一一个特定的情况下都可以处在一个统一体中。
比如圆的幂定理中就包含了切线长定理,割线定理,切割线定理,相交玄定理。
统一性是数学的一个重要方向。
统一性也是数学最根本的美学。
说道数学的统一性的美我们据不得不说克莱因,克莱因倔强的探索着几何学理论的统一。
他首先指出:
“几何学尽管本质上是一个整体,可是,由于最近期间所取得的飞速发展,却被分割成为许多几乎互不相干的分科,其中每一分科几乎都是独立地、继续地发展着。
于是,公开发表旨在建立几何学的这样一种内在联系的各种考虑,就显得更加必要了。
克莱因对数学统一性的研究,使数学朝着更好更快的方向始终前进着。
克莱因的几何学群论思想,以简单明了的方式把相当多的几何学统一了起来。
他给已有的多种几何学提供了一个系统的分类方法,并提示了许多可供研对几何学的发展产年之久,50它引导以后的几何学家的研究工作达究的问题。
.
生了深刻的影响。
其实,数学中统一性地发展经历了漫长的过程,由最初的希后年左右。
尔伯特的公理化运动到伯克霍夫用“格”来统一代数系统经历了30来,公理化运动被布尔巴基学所承认,他认为数学可以统一为一个整体。
这些现在我们在学习的过程中感受到数学的统都为数学的统一做出了巨大的贡献。
一性,在很大程度上都是前人为我们做出的巨大贡献所达成的,我们在学习的过程中应该保持一颗的心。
尽情,无所保留的来认知数学统一美所带给我们的和谐。
其实,数学中统一性有很多的表现,我们通常需所学的知识都会有一个大
的框架来约束。
我们学过的函数,求导,切线的计算等,其实都是微积分的表莱布尼兹公式。
就是这个现。
当然我们知道牛顿-公式,它强大的将微分,不定积分和定积分统一在这个公式中,我想这是数学的强大之处吧。
2.6数学中的无穷美
无穷大的问题是一个让人着迷的有趣问题,人类因为了解了无穷,我们的思想才会飞向遥远的宇宙。
探索那神秘的黑洞。
徜徉在银河那无穷的边界。
记我在一本书上偶然间看到过这样一个问题:
如何来定义一个无穷的边界。
起初我还在想,无论什么东西他总有一个尽头,总有一个边界吧,那时天真无邪的我一直是这样认为的。
但是随着年龄的增长,随着知识越来越多的累计,我发现我的这种观点好像是错误的。
因为给无穷来定一个边界好像本身就是一个天真的问题,因为你如果给无穷定了一个边界,那么边界外面的会是什么呢?
边界外面好像也是无穷的存在吧。
就像你以房子的一扇门来区分房子的里面和外面。
那么这个所谓的房子外面也可能是另一个参照物的里面,这里面好像也涉及到了哲学的问题。
其实到现在我都还不是很懂这样的一问题。
我想这也是数学的无穷衬托出来数学的奇异美吧。
亚里士多德曾经说过,无穷就像宇宙没有尽头,你永远无法走到他的边界。
数学中的无穷造就了很多的相悖论。
那么希尔伯特旅馆悖论将为我们展现数学的无穷之美。
假如一个旅馆有无限个房间,并且每个房间都住了客人。
一天来了一个新客人,旅馆老板说:
“虽然我们已经客满,但你还是能住进来的”|。
我可以让1号房间的客人搬到2号房间,2号房间的客人搬到3号房间……n号房间的客人搬到n+1号房间,那么这样你就可以住进1号房间了””又过了。
一天,来了无限个客人,老板又说:
“不用担心,大家仍然都能住进来。
我让1号房间的客人搬到2号房间,2号搬到4号,3号搬到6号,n号搬到2n号,”这就是德国大数学家大然后你们排好队,每个人依次住进奇数号的房间吧。
.
卫·希尔伯特提出的著名悖论。
每个学过集合论的学生都知道它虽然看似不正确,但它确是完全符合逻辑的,只不过超出了我们普通的认知罢了。
所以说数学中的无穷美可以让我们可以让我们体验前所未有的头脑风暴。
2.7数学中对称美,不对称美
美和对称是紧密相连的。
我们的生活中处处都存在对称,有图形的轴对称,中心对称和镜像对称,还有函数的周期,,再比如与时空坐标无关的对称。
数学,
有很多的自然对称美。
例如:
关于y轴对称,共轭因子对称,多项式方程的虚根成对出现;他们的对称无不给人以美的感受。
数学的对称美可以分为两种:
其一是数(式)的对称性美,主要是在它的
乘法的交换律,它的的结构上,比如,加法的交换律m与n的位置具有对称关系,是存在变化的,变化以后与原来的位置相比给人一种整齐的美感,显示了它的神秘感、奇妙感。
我们学到的行列式在也会成轴对
称或者中心对称,他们会在直观上给人以美的感受。
比如
当然说道对称,人们肯定忘不了对称的几何之美,下面就让我们一起欣赏对称带给我们的视觉冲击。
数学的对称美已成为人们研究解决问题的重要思想方法,它的作用越来越显得重要。
数学中的黄金分割美2.8年以前,古希腊著名的约1700黄金分割点是是最能让人赏心悦目的美点,最早提出了黄金分割,并开创了黄金分割的先河。
他认欧多克索斯学着数学家为所谓的黄金分割,黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比约为0.618。
值等于较小部分与较大部分的比值,其比值,bACAB设一条线段的长度为a,C点在靠近B点的黄金分割点上,且为b就是黄金数比则a
其实计算黄金分割最简单的方法,是计算斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,...后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。
黄金分割在是每一个数学家都非常喜欢的一向研究,有些数学家把黄金分割比喻为“金法”,在他们的眼中黄金分割比金子还要珍贵。
再到后来一位欧洲的数学家,甚至亲切的把称它为各种算法中最可宝贵的算法。
这种有趣的算法在古代印度被人,也就是现在我们常说的比例方法。
它的经历三数法则或三率法们称之为
人19黄金分割数有很多有趣的表现,世纪黄金分割才被大多数人所知道。
直到0.618最著名就是黄金分割法也可以称之为类对它所带来的的实际应用也很多。
年代才在在中国推广。
,是由美国人首先提出的,知道上世纪法70黄金分割有着很高的美学价值.在造型艺术中,采用黄金分割的比例能够引起人们审美的感觉。
我们最常见的建筑物中某些线段的比就应用了0618这个比例,我们经常看电视我们很容易发现,主持人员并不是站在舞台的正中央,通常是偏在台上一侧,是以站在舞台长度的黄金分割点的位置最好看大气,这样做的话支持人的声音传播的最远也最好。
大自然中植物的生长也是黄金分割,比如如果从一棵嫩枝的顶端向下看,就会发现叶子是按照黄金分割的规律来生长着。
在很多科学实验中,会用到优选法,其实也是一种黄金分割的方法,用到这种方法它可以让我们更准确的安排较少的试验次数。
由于它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验存在的关系,人们才亲切的称它为黄金分割意思是像黄金一样重要和美丽。
黄金分割的比例性有着无限的美学价值。
我们在生活中应用时一般取0.618,就比如π在应用时取到3.14。
最好看的人体结构是:
肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618.最迷人的脸型是:
眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618.所以黄金分割与我们的生活息息相关.
曲面曲线在造型时比平面和直线美2.9在数学的学习中,我们经常碰到曲线和曲面,那么什么是曲线?
什么又是曲面呢?
曲线是动点运动时,方向连续变化所成的线。
也可以想象成弯曲的波状线。
任何一根连续的线条都称为曲线,包括直线、折线、线段、圆弧等。
曲面则是是一条动线,在给定的条件下,在空间连续运动所形成的轨迹。
曲面曲线在我们的生活中有着很多的应用,我们平常所看的电视,和不离身的手机中很多都应用了曲面曲线可以给人视觉带来美观的特点。
因为曲面曲线他可以给人一种整体很流畅很光滑的感觉,让人在欣赏的时候很舒服。
远比直线和直面给人带来僵硬的感觉要好的很多。
所以曲面曲线在我们的生活中随处可见。
当然曲面曲线在直观的建筑或造型上更能让人感觉到美的体验那么就让
我们一起走进曲面曲线,来一起欣赏几组图片感受
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- 数学 中的 及其 运用