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数学运算3
数学运算
第01讲
直接代入
一、题型评述
数学运算试题都是四选一的客观单项选择题,将选项直接代入进行验证,显然是一种准
确、高效并且易于操作的重要方法。
很多试题,正面求解相当困难,但结合选项来看却相当
容易。
“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分,孤立地看题干而忽略选项是考生答题
时最大的误区之一。
二、破题密钥
“直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问
题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。
这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果,
还可以与其它方法进行结合使用。
三、例题精析
【例1】(深圳2013-47)小王的旅行箱密码为3位数,且三个数字全是非0的偶数,而
且这个三位数恰好是小王今年年龄的平方数。
则小王今年(
)岁。
A.17
B.20
C.22
D.34
【例2】(浙江2013-50)某市场运来苹果、香蕉、柚子和梨四种水果,其中苹果和柚子
共30吨,香蕉、柚子和梨共50吨。
柚子占水果总数的1/4。
一共运来水果多少吨?
()
A.56吨
B.64吨
C.80吨
D.120吨
【例3】(江苏2013B-91)三位数A除以51,商是a(a是正整数),余数是商的一半,
则A的最大值是
A.927
B.928
C.929
D.990
【例4】(山东2013-62)甲、乙两仓库各放集装箱若干个,第一天从甲仓库移出和乙仓
库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库,第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的
集装箱到甲仓库,如此循环,则到第四天后,甲、乙两仓库集装箱总数都是48个。
问甲仓
库原来有多少个集装箱?
A.33
B.36
C.60
D.63
【例5】(河北2013-44)一个金鱼缸,现已注满水。
有大、中、小三个假山,第一次把
小假山沉入水中,第二次把小假山取出,把中假山沉入水中,第三次把中假山取出,把小假
山和大假山一起沉入水中。
现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是:
第一次是第二次的
1/3,第三次是第二次的2倍。
问三个假山的体积之比是(
A.1∶3∶5B.1∶4∶9C.3∶6∶7
)。
D.6∶7∶8
第02讲
倍数特性
一、题型评述
“倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”,也是代入排除法中最重要的内容。
这种
方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。
熟练运用本方法最关键的要
点,就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。
二、破题密钥
①2、4、8整除及余数判定基本法则
【例4】(2012年421联考-61)某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下:
甲的销
售额是乙和丙销售额的1.5倍,甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍,已知乙的销售额是56
万元,问甲的销售额是:
(
)
A.140万元
B.144万元
C.98万元
D.112万元
●题型三:
比例倍数
核心提示
b
若a:
b=m:
n(m,n互质),则说明a占m份,是m的倍数;占n份,是n
的倍数;
a+b占m+n份,是m+n的倍数;a-b占m-n份,是m-n的倍数。
【例5】(广州2013-26)少年宫学习美术、舞蹈和唱歌专业的学生共有90人,美术和
舞蹈专业的学生比例为2∶3,舞蹈和唱歌专业的学生比例为3∶4,则学生人数最多的专业有
多少人?
A.25
B.30
C.35
D.40
【数字大小;
题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小,因为知道了这两类量,是可
以计算出速度具体大小的。
当题目中只有路程或者时间有具体大小时,我们假设一个速度为1或者其他数字,就
不会影响结果。
同理,在经济利润问题中,如果题目中只有单价的具体数字大小,没有件数
和总价的具体数字大小,那么我们可以假设某个件数为1,或者假设总价为1,但不能同时
做这两件事情。
【例2】(江苏2013A-33)现需购买三种调料加工成一种新调料,三种调料价格分别为
每千克20元、30元、60元。
如果购买这三种调料所花钱一样多,则每千克调料的成本是
A.30元
B.35元
C.40元
D.60元
【例3】(河北2013-48)小王收购了一台旧电视机,然后转手卖出,赚取了30%的利润。
1个月后,客户要求退货,小王和客户达成协议,以当时交易价格的90%回收了这台电视机,
后来小王又以最初的收购价格将其卖出。
问小王在这台电视机交易中的利润率为(
)。
A.13%
B.17%
C.20%
D.27%
第04讲
比例假设
一、题型评述
我们在前面的“化归为一法”中学到,当题目中某个未知量不影响最终结果时,为了方
便计算,我们可以将其设为某个特殊的值,从而简化计算。
然而在有些题目中,虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值,但随意
假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾,这时我们就可以使用“比例假设法”。
二、破题密钥
尽管假设数字可能会与已知条件矛盾,但我们仍然可以强行假设其为某一个数字,然后
看看推出的矛盾双方之间是几倍关系,按比例放大或者缩小即可。
三、例题精析
【例1】(广东2012-8)某企业为员工定制工作服,请服装公司的裁缝量体裁衣,裁缝
每小时为52名男员工35名女员工量体。
几小时后,刚好量完所有的女员工的尺寸,这时还
有24名男员工没有量体。
若男女员工的比例为11:
7,则该企业共有多少名员工?
(
A.720B.810C.900D.1080
)
【例2】(北京2012-75)商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%,现商场决定
将加价幅度降低一半来促销,商品售价比以前降低了54元。
问该商品原来的售价是多少元?
A.324
B.270
C.135
D.378
【例3】(上海2013A-60)某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是:
大型车30元/
辆、中型车15元/辆、小型车10元/辆。
某天,通过收费站的大型车与中型车的数量比是5∶
6,中型车与小型车的数量比是4∶11,小型车的通行费总数比大型车的多270元,这天的
收费总额是(
A.7280元
C.7300元
)。
B.7290元
D.7350元
【例4】(江苏2013B-87)甲乙丙三人同去商城购物,甲花的钱的1/2等于乙花的钱的
1/3,乙花的钱的3/4等于丙花的钱的4/7,结果丙比甲多花93元,则三人一共花的钱是
(
)?
A.432元
B.422元
C.429元
D.430元
【例5】(浙江2013-57)一个总额为100万的项目分给甲、乙、丙、丁四个公司共同来
完成,甲、乙、丙、丁分到项目额的比例为1/2:
1/3:
1/4:
1/6,请问甲分到的项目额为多少
万?
()
A.35万
B.40万
C.45万
D.50万
第05讲
工程问题
一、题型评述
工程问题研究工作量和工作时间、工作效率之间的关系,是近年来考题中最重要、最常
考的重点题型之一。
二、破题密钥
基础公式:
工作量=工作时间⨯工作效率;
核心思想:
化归为一法(设“1”法)、比例假设法。
三、例题精析
●题型一:
基础计算型
【例1】(天津2013-9)某项工程计划300天完工,开工100天后,由于施工人员减少,
工作效率下降了20%,问完成该项工程比原计划推迟了多少天?
(
A.40B.50C.60D.70
)
【例2】(安徽2011-9)某工厂的一个生产小组,当每个工人都在岗位工作,9小时可
以完成一项生产任务。
如果交换工人甲和乙的岗位,其他人不变,可提前1小时完成任务;
如果交换工人丙和丁的岗位,其他人不变,也可以提前1小时完成任务。
如果同时交换甲和
乙,丙和丁的岗位,其他人不变,可以提前多少小时完成?
(
)
A.1.4
B.1.8
C.2.2
D.2.6
●题型二:
同时合作型
【例3】(重庆2013-99)甲、乙、丙三人共同完成一项工程用了6小时,如果甲与乙的
效率之比为1∶2,乙与丙的效率之比为3∶4,则乙单独完成这项工程需要多少小时?
(
A.10B.17C.24D.31
)
【例4(山东】2013-61)2台大型收割机和4台小型收割机在一天内可收完全部小麦3/10,
8台大型收割机和10台小型收割机在一天内可收完全部小麦。
如果单独用大型收割机和单
独用小型收割机进行比较,要在一天内收完小麦,小型收割机要比大型收割机多用多少台?
A.8
B.10
C.18
D.20
●题型三:
交替合作型
核心提示
“交替合作型”工程问题,是最新考查的重点题型,也是考生易错的难点题型。
由于
合作的“交替性”,不能简单的使用基础公式进行计算,而要注重其工作的“周期性”。
【例5】(2010年425联考-94)单独完成某项工作,甲需要16小时,乙需要12小时,
如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作,每次1小时,那么完成这项工作需要多长时
间?
(
)
A.13小时40分钟B.13小时45分钟C.13小时50分钟D.14小时
●题型四:
撤出加入型
【例6】(四川2013-60)建筑公司安排100名工人去修某条路,工作2天后抽调30名
工人,又工作了5天后再抽走20名工人,总共用时十二天修完。
如果整条路希望在10天内
修完,且中途不得增减人手,则要安排多少名工人?
A.80
B.90
C.100
D.120
●题型五:
两项工程型
【例7】(国考2014-75)甲、乙两个工程队共同完成A和B两个项目。
已知甲队单独完
成A项目需13天,单独完成B项目需7天;乙队单独完成A项目需11天,单独完成B项目
需9天。
如果两队合作用最短的时间完成两个项目,则最后一天两队需要共同工作多长时间
就可以完成任务?
(
)
A.1/12天
B.1/9天
C.1/7天
D.1/6天
第06讲
十字交叉
一、题型评述
“十字交叉法”是数学运算题中一种经典的技巧,对符合使用条件的试题有近乎“秒杀”
的
同,且最高是21分,则最低分最低是多少?
(
A.14B.16C.13
)
D.15
【例2】(国考2014-65)某连锁企业在10个城市共有100家专卖店,每个城市的专卖
店数量都不同。
如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店,那么专卖店数量排名最
后的城市,最多有几家专卖店?
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
【例3】(河北2012-42)要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上,如果
要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同,面积最大的草坪上至少要栽几
棵?
(
)
A.7
B.8
C.10
D.11
【例4】(春季联考2013-46)60名员工投票从甲、乙、丙三人中评选最佳员工,选举
时每人只能投票选举一人,得票最多的人当选。
开票中途累计,前30张选票中,甲得15
票,乙得10票,丙得5票。
问在尚未统计的选票中,甲至少再得多少票就一定当选?
(
A.15B.13C.10D.8
)
【例5】(浙江2012-58)一个班里有30名学生,有12人会跳拉丁舞,有8人会跳肚皮
舞,有10人会跳芭蕾舞。
问至多有几人会跳两种舞蹈?
A.12人
B.14人
C.15人
D.16人
【例6】(深圳2013-46)一小偷藏匿于某商场,三名保安甲、乙、丙分头行动搜查商场
的100家商铺。
已知甲检查过80家,乙检查过70家,丙检查过60家,则三人都检查过的
商铺至少有(
)家。
A.5
B.10
C.20
D.30
第08讲
基本方程
一、题型评述
方程与方程组,是解答文字应用题的重要工具。
尽管数学运算的很多试题不需要也不
应该使用方程的方法来解答,因为那样可能会耗去大量的精力,但仍然有着相当一大部分
问题,采用方程法才是最简单的。
如果论及数学运算“第一重要的方法”,“方程法”当之
无愧。
二、破题密钥
数学运算的大部分题型,都可以使用“方程法”来解答。
其中,“盈亏问题”、“鸡兔
同笼问题”
如果题目涉及“只满足条件A、B的数目”,一般选用“三集合图示标数”来作答;
2.
3.
如果题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个条件的数目”,只给了我们一
个总数而不是分项的数字,一般选用“三集合整体重复型”的公式来作答。
三、例题精析
●题型一:
两集合标准型
核心公式
满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个
数
【例1】(浙江2013-54)某班对50名学生进行体检,有20人近视,12人超重,4人既
近视又超重,该班有多少人既不近视又不超重?
()
A.22人B.24人C.26人
D.28人
【例2】(天津2013-12)有70名学生参加数学、语文考试,数学考试得60分以上的有
56人,语文考试得60分以上的有62人,都不及格的有4人,则两门考试都得60分以上的
有多少人?
(
)
A.50
B.51
C.52
D.53
●题型二:
两集合图示标数型
核心公式
涉及到两个集合的容斥原理问题时,如果题目提及“只满足某1个条件”的数目,那
么我们无法通过标准的两集合容斥原理公式得到答案。
这时,推荐大家利用简洁的“文氏
图”标数得到所求结果。
图示标数的关键是:
从最中间“两个条件都满足”的数字入手。
【例3】(北京2013-73)一批游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个。
只去了A
的游客和没去A的游客数量相当,且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。
则只去一个
景点的人数占游客总人数的比重为(
)
A.2/3
B.3/4
C.4/5
D.5/6
【例4】(国考2014-67)工厂组织职工参加周末公益活动,有80%的职工报名参加,报
名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2:
1,两天的活动都报名参加的人
数为只报名参加周日活动的人数的50%。
问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的
人数的?
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
●题型三:
三集合标准型
核心公式
特别注意:
上式左边代表至少满足三个条件之一的情况,也等于总数减去三个条件都
不满足的情况。
【例5】(安徽2011-15)如图所示:
A、B、C分别是面积为60、170、
150的三张不同形状的卡片,它们部分重叠放在一起盖在桌面上,总共盖住
的面积为280,且A与B、B与C、C与A重叠部分的面积分别是22、60、35。
问阴影部分的面积是多少?
(
)
A.15
B.16
C.17
D.18
【例6】(2012年421联考-54)某公司招聘员工,按规定每人至多可投考两个职位,
结果共42人报名,甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人,其中同时报
甲、乙职位的人数为8人,同时报甲、丙职位的人数为6人,那么同时报乙、丙职位的人数
为:
A.7人
B.8人
C.5人
D.6人
●题型四:
三集合图示标数型
核心要点
当题目条件不能直接代入标准公式时,我们可以考虑利用图示配合,标数解答。
特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分;
特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形;
1.
2.
3.
标数时,注意由中间向外围标记。
【例7】外语学校有英语、法语、日语教师共27人,其中只能教英语的有8人,只能
教日语的有6人,能教英、日语的有5人,能教法、日语的有3人,能教英、法语的有4
人,三种都能教的有2人,则只能教法语的有多少人(
)
A.4人
B.5人
C.6人
D.7人
●题型五:
三集合整体重复型
核心公式
在三集合的题型中,假设满足三个条件的元素数量分别为
A、B、C,而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。
其中:
满足一个条件的元素数量为x,满足两个条件的元素数量为y,
满足三个条件的元素数量为z,根据右图可以得到下面两个等式:
B
⎧W=x+y+z
⎩A+B+C=x⨯1+y⨯2+z⨯3
⎨
A
C
从图中很明显可以看出,x和y都分别包含3个部分,是这3个部分的总和。
因此,
当题目关心的是这样的总和,而不是各个单独部分数值时,往往就应该用这两个公式。
【例8】(陕西2013-78)五年级一班共有55个学生,在暑假期间都参加了特长培训班,
35人参加书法班,28人参加美术班,31人参加舞蹈班,其中以上三种特长培训班都参加的
有6人,则有(
)人只参加了一种特长培训班。
A.45
B.33
C.29
D.22
【例9】(北京2014-80)某旅行团共有48名游客,都报名参观了三个景点中的至少一
个。
其中,只参观了一个景点的人数与至少参观了两个景点的人数相同,是参观了三个景点
的人数的4倍。
则需要为这些游客购买多少张景点门票?
A.48B.72C.78D.84
【例10】(春季联考2013-42)有100人参加运动会的三个比赛项目,每人至少参加一
项,其中未参加跳远的有50人,未参加跳高的有60人,未参加赛跑的有70人。
问至少有
多少人参加了不止一个项目?
(
)
A.7
B.10
C.15
D.20
第11讲
排列组合
一、题型评述
毫无疑问,“排列组合”是广大考生最为头疼的难点题型,又是几乎每次都必考的重点
题型。
能否在这一部分有所突破,是最终能否取得高分的关键。
二、破题密钥
n!
排列公式:
Anm
=
=n⨯(n-1)⨯(n-2)⨯⨯(n-m+1)
=n⨯(n-1)⨯(n-2)⨯⨯(n-m+1)
(n-m)!
n!
组合公式:
Cnm=
(n-m)!
⨯m!
m⨯(m-1)⨯(m-2)⨯⨯1
逆向公式:
满足条件的情况数=总情况数-不满足条件的情况数
三、例题精析
●题型一:
基础公式型
【例1】(浙江2012-54)南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体
育教师2名。
现要从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训,问共有几种不同的选法?
A.96
B.124
C.382
D.560
【例2】(上海2013A-61)从甲地到乙地每天有直达班车4班,从甲地到丙地每天有直
达班车5班,从丙地到乙地每天有直达班车3班,则从甲地到乙地共有(
)不同的乘车
法。
A.12种
B.19种
C.32种
D.60种
●题型二:
分类讨论型
【例3】(秋季联考2013-34)某单位有职工15人,其中业务人员9人。
现要从整个单
位选出3人参加培训,要求其中业务人员的人数不能少于非业务人员的人数。
问有多少种不
同的选人方法?
(
)
A.156
B.216
C.240
D.300
●题型三:
分步计算型
【例4】(秋季联考2013-33)某科室共有8人,现在需要抽出两个2人的小组到不同的
下级单位检查工作,问共有多少种不同的安排方案?
(
)
A.210
B.260
C.420
D.840
【例5】(国考2014-71)一次会议某单位邀请了10名专家,该单位预定了10个房间,
其中一层5间、二层5间。
已知邀请专家中4人要求住二层、3人要求住一层、其余3人住
任一层均可。
那么要满足他们的住房要求且每人1间,有多少种不同的安排方案?
(
)
A.43200
B.7200
C.450
D.75
●题型四:
逆向计算型
【例6】(天津2013-13)由1—9组成一个3位数,肯定有数字重复的组合有多少种?
(
)
A.220
B.255
C.280
D.225
第12讲
概率问题
一、题型评述
概率问题是一类从排列组合衍生出来的新的题型,这种题型基于排列组合,但又有很多
自己的特征和知识点,是近年来考试的最新热点题型。
二、破题密钥
概率=满足条件的情况数÷总的情况数。
三、例题精析
●题型一:
基础计算型
【例1】(春季联考2013-49)某种密码锁的界面是一组汉字键,只有不重复并且不遗漏
地依次按下界面上的汉字才能打开,其中只有一种顺序是正确的。
要使得每次对密码锁进行
破解的成功率在万分之一以下,则密码锁的界面至少要设置多少个汉字键?
(
)
A.5
B.6
C.7
D.8
●题型二:
分步乘法型
核心提示
分步概率=满足条件的每个步骤概率之积。
【例2】(北京2013-74)一个由4个数字(0-9之间的整数)组成的密码,每连续两位都
不相同,问任意猜一个符合该规律的数字组合,猜中密码的概率为(
)。
A.1/5040
B.1/7290
C.1/9000
D.1/10000
【例3】(2012年915联考-48)甲某打电话时忘记了对方电话号码最后一位数字,但
记得这个数字不是“0”。
甲某尝试用其他数字代替最后一位数字,恰好第二次尝试成功的概
率是(
)。
A.1/9
B.1/8
C.1/7
D.2/9
nC;平行四边形面积S平行四边形=ah;
2
梯形面积S梯形=1
(a+b)h;扇形面积S扇形=
n
πR2
2
360°
正方体表面积=6a2长方体表面积=2ab+2bc+2ac球表面积=4πR2=πD2
【例2】(重庆2013-88)一正方形铁片面积为1平方米,用其剪出一个
最大的圆,然后再圆中剪出一个最大的正方形,问新正方形的面积比原正方
形的面积小多少?
(
A.1/4平方米
)
B.1/2平方米
C.π/8平方米
D.π/16平方米
【例3】(北京2014-73)在正方形草坪的正中有一个长方形池塘,池塘的周长是草坪的
一半,面积是除池塘之外草坪面积的1/3,则池塘的长和宽之比为?
A.1:
1
B.2:
1
C.4:
1
D.√2:
(2-√2)
【例4】(广州2013-35)如右图所示,一个长方形的场地要分割成4
块长方形区域进行分区活动。
测量得知,区域A、B、C的面积分别是15、
27、36平方米。
则这块长方形场地的总面积为(
A.84B.92C.98
)平方米。
D.100
●题型三:
几何体积
几何体积核心公式
4
正方体体积=a3;长方体体积=abc;球体积=πR3;
3
棱柱/圆柱体积=Sh
;棱锥/圆锥体积=1
Sh
3
第20讲
经济利润
一、题型评述
在日常经济生活中,我们经常会碰到有关“收入、成
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- 关 键 词:
- 数学 运算
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