云南省届高三第二次复习统一检测文科数学试题解析版docx.docx
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云南省届高三第二次复习统一检测文科数学试题解析版docx
2017年云南省第二次高中毕业生复习统一检测
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
,那么
,故选B.
2.已知复数
,则的虚部为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
,虚部是
,故选D.
3.已知向量
,且
,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
,即
,解得
,
,那么
,故选D.
4.命题“
”的否定是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
全称命题的否定“”,故选C.
5.已知等差数列中,,则的前项和的最大值是()
1
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
,所以通项公式,当,解得即
,即前项和最大,,故选C.
6.若执行如图所示的程序框图,则输出的结果()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
进入循环,,,此时否,第二次进入循环,,,
否,第三次进入循环,,是,输出,故选C.
7.表示生成一个在内的随机数(实数),若,则的概
率为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
此概率表示几何概型,如图,表示阴影的面积与第一象限正方形面积的比值,,故选A.
2
8.已知点是抛物线上一点,为的焦点,的中点坐标是,则的值为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
,那么在抛物线上,即,即,解得,故选D.
9.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积
为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
几何体分上下两部分,下部分是圆锥,底面半径是2,高是4,上部分是正四棱锥,正四棱锥的
底面是边长为2的正方形,高是2,所以体积,故选B.
10.已知函数,则()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
,,所以
3
,故选D.
11.已知函数,将其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则的最小值为
()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
向右平移个单位后,得到函数,当时,,即,
当时,,故选B.
【点睛】本题考查了三角函数的图象变换和三角函数的性质,总体难度不大,三角函数图象变换
分先伸缩后平移,和先平移后伸缩,若向右平移个单位,得到的函数解析式是
,若的横坐标缩短到原来的倍,得到的函数解析式是,一
定准确掌握两种变换规律.
12.设若,则的最小值是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
如图,画出三个函数的图象,根据条件的图象是红色表示的曲线,点是函数的最低点,联立
,解得(舍)或,此时,故选A.
4
【点睛】本题考查学生的作图能力和综合能力,此类问题的基本解法是数形结合法,即通过画出函数的图象,
观察交点情况,得出结论.表面看觉得很难,但是如果认真审题,读懂题意,其解题的关键是正确地画出分段
函数的图像找到函数的最低点,就是函数的最小值..
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.设满足约束条件则的最小值是__________.
【答案】
【解析】
如图,画出可行域,,当目标函数过点时,函数取得最小值.
14.设数列的前项和为,若成等差数列,且,则__________.
【答案】
5
【解析】
,即,,所以数列从第二
项起是公比为-2的等比数列,.
15.已知抛物线的准线与双曲线相交于两点,双曲线的一条渐近线方程是
,点是抛物线的焦点,且是正三角形,则双曲线的标准方程是__________.
【答案】
【解析】
准线方程,与双曲线相交,得到交点坐标,设,那么,焦点和准线间
的距离是,又因为是等边三角形,所以,所以,即,那么,
解得,
,所以双曲线的标准方程是
.
【点睛】本题考查抛物线、双曲线的标准方程及其几何性质
.本题中由渐近线方程,确定
的关系,再由等
边三角形的性质
,确定交点坐标,从而得到又一组
的关系,.
本题属于小综合题,也是一道能力题,在较全面考查抛物线、双曲线等基础知识的同时,考查考生的计算能力
及分析问题解决问题的能力.
16.已知正四面体的四个顶点都在球心为的球面上,点为棱的中点,,过点作球的
截面,则截面面积的最小值为__________.
【答案】
【解析】
连结,截面与垂直时,截面面积最小,因为截面圆的半径,最小,即最大,表示
球心到截面的距离,而球心到截面距离的最大值就是,
6
,,,所以,,,
那么,
所以,所以截面圆的面积的最小值是.
【点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算,要明确球的截面性质:
平面截球得到圆,正
确理解球心距公式,得到截面的最大时的情形,较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本
计算能力等,立体几何是的最值问题通常有三种思考方向:
(1)根据几何体的结构特征,变动态为静态,直观
判断在什么情况下取得最值;
(2)将几何体平面化,如利用展开图,在平面几何图中直观求解;(3)建立函数,
通过求函数的最值来求解.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在中,为边上一点,,,.
(1)若,求外接圆半径的值;
(2)设,若,求的面积.
【答案】
(1);
(2).
【解析】
7
试题分析:
(1)内,根据余弦定理求,再根据正弦定理,求三角形外接圆的半径;
(2)因为,,那么根据已知条件可知,先求,再设,
在内根据余弦定理求,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式表示为
.
试题解析:
(1)由余弦定理,得,
解得.
由正弦定理得,.
(2)设,则,
∵,∴.
∴.
∵,∴.
∴,
即,解得.
∴.
∵,∴.
∴.
18.某校届高三文
(1)班在一次数学测验中,全班名学生的数学成绩的频率分布直方图如下,
已知分数在的学生数有人.
8
(1)求总人数和分数在的人数;
(2)利用频率分布直方图,估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少?
(3)现在从比分数在名学生(男女生比例为)中任选人,求其中至多含有名男生的概率.
【答案】
(1);
(2),;(3).
【解析】
试题分析:
(1)根据频率分布图求分数在的频率0.35,根据公式总人数频率=频数,再
计算分数在的频率,再根据总人数求分数在的人数;
(2)众数是最高的小矩形的底
边的中点值,中位数是中位数两边的面积分别是;(3)首先计算分数在115~120的学生有6人,
其中男生2人,女生4人,给这6人编号,列举所有任选2人的基本事件的个数,以及其中至多
有1名男生的基本事件的个数,并求其概率.
试题解析:
(1)分数在内的学生的频率为,
所以该班总人数为.
分数在内的学生的频率为:
,
分数在内的人数为.
(2)由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标,
即为.
9
设中位数为,∵,∴.
∴众数和中位数分别是,.
(3)由题意分数在内有学生名,其中男生有名.
设女生为,男生为,从名学生中选出名的基本事件为:
共种,其中至多有名男生的基本事件共种,
∴所求的概率为.
19.已知三棱锥中,,,,是中点,是中点.
(1)证明:
平面平面;
(2)求点到平面的距离.
【答案】
(1)见解析;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)连结,根据勾股定理可证明,以及根据等腰三角形证明,所有
证明了平面,也即证明了面面垂直;
(2)根据等体积转化,求点到平面
的距离.
试题解析:
(1)证明:
连结,在中,,是中点,
10
∴
,
又∵
,
,∴
.
∵
,∴
,
,
∴
.
又
,
平面
,
平面
,
∴
平面
,∵
平面
,∴平面
平面.
(2)∵是
的中位线,∴
.
∵是
中点,
,∴
.
又平面
平面
,两平面的交线为
,∴
平面
,
∵
平面
,∴
.
设点到平面
的距离为,则
,
∴
,
.
【点睛】本题考查了立体几何中垂直的证明,以及等体积转化法求点到面的距离,垂直关系的证明是线面关
系的重点也是难点,一般证明线线垂直,转化为证明线面垂直,或是转化为相交直线后,可根据三边证明满足
勾股定理;若要证明线面垂直,可根据判断定理证明,即线与平面内的两条相交直线垂直,则线与面垂直;若
要证明面面垂直,则根据判断定理,转化为证明线面垂直,总之,在证明垂直关系时,“线线垂直”“线面垂
直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开,这是化解空间垂直
关系难点的技巧所在.
20.已知点是椭圆的左、右顶点,为左焦点,点是椭圆上异于的任意一点,
11
直线与过点且垂直于轴的直线交于点,直线于点.
(1)求证:
直线与直线的斜率之积为定值;
(2)若直线过焦点,,求实数的值.
【答案】
(1)见解析;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)设,利用点在椭圆上的条件,化简,得到定值;
(2)设直线的
斜率分别是,并且表示直线,以及求出交点的坐标,根据,表示直线的斜率,
根据三点共线,表示,得到的齐次方程,求的值,并且代入求的值.
试题解析:
(1)证明:
设,由已知,
∴.①
∵点在椭圆上,∴.②
由①②得(定值).
∴直线与直线的斜率之积为定值.
(2)设直线与斜率分别为,由已知,
直线的方程为,
直线,则.
∵,∴.
由
(1)知,故,
又三点共线,得,
即,得.
∵,∴,
,解得或(舍去).
∴.
12
由已知
,得
,
将
代入,得
,故.
21.
已知函数
,
.
(1)当
时,求
的单调区间;
(2)当
时,若对任意
,都有
成立,求的最大值.
【答案】
(1)的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)当
时,代入函数,求
,
是函数的增区间,
是
函数的减区间;
(2)当
成立,整理为
,设
,利用导数求函数的最
小值,求整数的最大值.
试题解析:
(1)解:
由题意可知函数的定义域为.
当
时,
,
.
①当
或
时,
,
单调递增.
②当
时,
,
单调递减.
综上,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为.
(2)由
,得
,
整理得
,
∵
,∴
.
令
,则
.
令
,∵
,∴
.
∴
在
上递增,
,
∴
存在唯一的零点
.
∴
,得
.
当
时,
,
∴
在
上递减;
当
时,
,
13
∴在上递增.
∴,
要使对任意恒成立,只需.
又,且,∴的最大值为.
【点睛】本题考点为导数的应用,本题属于中等问题,分两步,第一步,利用导数求函数的单调区间,是一
道比较常规的问题,第二步参变分离后,利用导数研究函数单调性,进而求最值,利用最值求参数取值范围,
这一步涉及求二次导数,根据二次导数的恒成立,确定一次导数单调的,再根据零点存在性定理,得到函数的
极值点的范围,思维巧妙,有选拔优秀学生的功能.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴正半轴为极轴,
建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.直线交曲线于两点.
(1)写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设点的直角坐标为,求点到两点的距离之积.
【答案】
(1),;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)先写出直线的普通方程,再根据极坐标和直角坐标的转化公式转化为极坐标方
程;曲线两边同时乘以,转化为直角坐标方程;
(2)直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,
得到,而求解.
试题解析:
(1)由直线的参数方程为(为参数)得的普通方程为.
∴直线的极坐标方程为.
曲线的直角坐标方程为.
(2)∵直线:
经过点,
∴直线的参数方程为(为参数).
将直线的参数方程为代入,化简得
,∴.
14
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(1)求证:
的最小值等于;
(2)若对任意实数和,,求实数的取值范围.
【答案】
(1)见解析;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)根据含绝对值三角不等式,证明结论;
(2)将不
等式整理为,转化为求的最小值,利用含绝对值三角不等式求解.
试题解析:
(1)证明:
∵
,∴
.
当且仅当
时“=”成立,即当且仅当
时,
.
∴
的最小值等于.
(2)解:
当
即
时,
可转化为
,
即
成立,∴.
当
时,
∵
,
当且仅当
时“=”成立,即当且仅当
时“=”成立,
∴
,且当
时,
,
∴
的最小值等于
,
∵
,
∴
,即
.
由
(1)知
,∴
.
由
(1)知当且仅当
时,
.
综上所述,的取值范围是
.
15
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