自考02324离散数学习题15.docx
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自考02324离散数学习题15
自考02324离散数学习题1.5
1.求下列命题公式的析取范式。
⑴(p∧q)→r
(p∧q)∨r
p∨q∨r
⑵(p→q)→r
(p∨q)∨r
(p∨q)∨r
p∨q∨r
⑶p∧(p→q)
p∧(p∨q)
(p∧p)∨(p∧q)
p∧q
⑷(p→q)∧(q∨r)
(p∨q)∧(q∨r)
q∨(p∧r)
⑸(p∨q)∧(r→t)
(p∧q)∧(r∨t)
(p∧q∧r)∨(p∧q∧t)
2.求下列命题公式的合取范式。
⑴(p→q)
(p∨q)
p∧q
⑵q∨(p∧q∧r)
(q∨p)∧(q∨q)∧(q∨r)
(q∨p)∧(q∨r)
⑶(p∧q)∨(p∧q)
((p∧q)∨p)∧((p∧q)∨q))
(p∨p)∧(q∨p)∧(p∨q)∧(q∨q)
(p∨q)∧(p∨q)
⑷(p↔q)
((p∧q)∨(p∧q))
(p∨q)∧(p∨q)
⑸(p→q)→r
(p∨q)∨r
(p∨q)∨r
p∨q∨r
3.求下列命题公式的主析取范式,并求命题公式的成真赋值。
⑴(p∧q)∨(p∧r)
作(p∧q)∨(p∧r)的真值表,如表1.50所示。
表1.50
p
q
r
p∧q
p∧r
(p∧q)∨(p∧r)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
由真值表可知,原式(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)∑5,6,7
使得命题公式(p∧q)∨(p∧r)成真的赋值是:
101,110,111。
⑵⌝(p∨q)→(p∧r)
⌝⌝(p∨q)∨(p∧r)
(p∨q)∨(p∧r)
(p∨q∨p)∧(p∨q∨r)
p∨q∨r
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
∑1,2,3,4,5,6,7
使得命题公式⌝(p∨q)→(p∧r)成真的赋值是:
001,010、011,100,101,110,111。
⑶(⌝p∨⌝q)→(p↔⌝q)
作(⌝p∨⌝q)→(p↔⌝q)的真值表,如表1.51所示。
表1.51
p
q
p
q
p∨q
p↔q
(p∨q)→(p↔q)
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
由真值表可知:
原式(p∧q)∨(p∧q)∨(p∧q)(主析取范式)∑1,2,3
使得命题公式(⌝p∨⌝q)→(p↔⌝q)成真的赋值是:
01,10,11。
⑷(p→q)→(p∨q)
(p∨q)∨(p∨q)
(p∨q)∨(p∨q)
(p∧q)∨(p∨q)
(p∨q∨p)∧(p∨q∨q)
p∨q
(p∧q)∨(p∧q)∨(p∧q)(主析取范式)
∑0,2,3
使得命题公式(p→q)→(p∨q)成真的赋值是:
00,10,11。
⑸(p→(q∧r))∧(p→(q∧r))
(p∨(q∧r))∧(p∨(q∧r))
(p∨q)∧(p∨r)∧(p∨q)∧(p∨r)
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
使得命题公式(p→(q∧r))∧(p→(q∧r))成真的赋值是:
000,111。
4.求下列命题公式的主合取范式,并求命题公式的成假赋值。
⑴(p→q)∧r
(p∨q)∧r
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨r)∧(p∨r)
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)
∏0,2,4,5,6
使得命题公式(p→q)∧r成假的赋值是:
000,010,100,101,110。
⑵(p→q)↔(p→q)
作(p→q)↔(p→q)的真值表,如表1.52所示。
表1.52
p
q
p→q
(p→q)
q
p→q
(p→q)↔(p→q)
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
由真值表可知:
原式(p∨q)∧(p∨q)∏0,1
使得命题公式(p→q)↔(p→q)成假的赋值是:
00,01。
⑶⌝(p∨q)→(p∧r)
⌝⌝(p∨q)∨(p∧r)
(p∨q)∨(p∧r)
(p∨q∨p)∧(p∨q∨r)
p∨q∨r
∏0
使得命题公式⌝(p∨q)→(p∧r)成假的赋值是:
000。
⑷(p→q)∧p
(p∨q)∧p
p∧q∧p
F
∏0,1,2,3
使得命题公式(p→q)∧p成假的赋值是:
00,01,10,11。
⑸(p→(q∨r))∨r
p∨q∨r∨r
p∨q∨r
∏4
使得命题公式(p→(q∨r))∨r成假的赋值是:
100。
5.求下列命题公式的主析取范式,再用主析取范式求出主合取范式。
⑴(p→q)∧(q→r)
(p∨q)∧(q∨r)
((p∨q)∧q)∨((p∨q)∧r)
(p∧q)∨(p∧r)∨(q∧r)
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
∑0,1,3,7
∏2,4,5,6
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)(主合取范式)
⑵(p∨q)∨r
(p∧q)∨r
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧r)∨(p∧r)
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
∑1,3,5,6,7
∏0,2,4
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)(主合取范式)
6.求下列命题公式的主合取范式,再用主合取范式求出主析取范式。
⑴(p↔q)∧r
(p→q)∧(q→p)∧r
(p∨q)∧(q∨p)∧r
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(q∨p∨r)∧(q∨p∨r)∧(p∨r)∧(p∨r)
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)(主合取范式)
∏0,2,3,4,5,6∑1,7(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
⑵(p∧q)→q
(p∧q)∨q
p∨q∨q
T(无主合取范式)
∑0,1,2,3(p∧q)∨(p∧q)∨(p∧q)∨(p∧q)
7.用主析取范式判断下列命题公式是否等价。
⑴p→(q→r)和q→(p→r)
p→(q→r)p∨(q∨r)p∨q∨r
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
∑0,1,2,3,4,5,7
q→(p→r)q∨(p∨r)p∨q∨r
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
∑0,1,2,3,4,5,7
因为p→(q→r)与q→(p→r)的主析取范式相同,所以p→(q→r)q→(p→r)。
⑵(p→q)∧(p→r)和p→(q∧p)
(p→q)∧(p→r)(p∨q)∧(p∨r)p∨(q∧r)
(p∧q)∨(p∧q)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
∑0,1,2,3,7
p→(q∧p)p∨(q∧p)(p∨q)∧(p∨p)p∨q
(p∧q)∨(p∧q)∨(p∧q)∨(p∧q)
(p∧q)∨(p∧q)∨(p∧q)(主析取范式)
∑0,1,3
因为(p→q)∧(p→r)与p→(q∧p)的主析取范式不相同,所以(p→q)∧(p→r)与p→(q∧p)不等价。
8.用主合取范式判断下列命题公式是否等价。
⑴(p→q)→r和p→(q→r)
(p→q)→r(p∨q)∨r(p∧q)∨r(p∨r)∧(q∨r)
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)
∏0,2,6
p→(q→r)p∨(q∨r)p∨q∨r
∏6
因为(p→q)→r与p→(q→r)的主合取范式不相同,所以(p→q)→r与p→(q→r)不等价。
⑵(p∧q)∨(p∧q)和(p∨q)∧(p∧q)
(p∧q)∨(p∧q)∑1,2∏0,3(p∨q)∧(p∨q)
(p∨q)∧(p∧q)(p∨q)∧(p∨q)∏0,3
因为(p∧q)∨(p∧q)和(p∨q)∧(p∧q)的主合取范式相同,所以(p∧q)∨(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)。
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