高中数学必修4第二章 平面向量.docx
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高中数学必修4第二章平面向量
第二章平面向量的目录
§2.1平面向量的实际背景及基本概念(两课时)(新授课)§2.2.1向量的加法运算及其几何意义(新授课)
§2.2.2向量的减法运算及其几何意义(新授课)
§2.2.3向量数乘运算及其几何意义(新授课)
§2.3.1平面向量基本定理(新授课)
§2.3.2—§2.3.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算(新授课)§2.3.4平面向量共线的坐标表示(新授课)
§2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(新授课)§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(新授课)§2.5.1平面向量应用举例(新授课)
§2.5.2向量在物理中的应用(新授课)
第二章平面向量小结(复习课)
第二章平面向量基础练习
(一)
第二章平面向量基础练习
(一)参考答案
第二章平面向量基础练习
(二)
第二章平面向量基础练习
(二)参考答案
第二章平面向量基础练习(三)
第二章平面向量基础练习(三)参考答案
第二章平面向量单元测试题
(一)
第二章平面向量单元测试题
(一)答案
第二章平面向量单元测试题
(二)
第二章平面向量单元测试题
(一)答案
第二章平面向量
一、课程目标:
向量是近代数学中的重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。
在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义。
能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力。
二、学习目标:
1、通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。
2、通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。
3、通过实例,掌握向量数乘运算,并理解其几何意义。
4、了解向量的线性运算性质及其几何意义。
5、了解平面向量的基本定理及其意义。
6、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
7、会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
8、理解用坐标表示平面向量共线的条件。
9、通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及物理意义。
10、体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
11、掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
12、能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
13、经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发挥运算能力和解决实际问题的能力。
三、课时分配
本章教学约需12课时,具体分配如下:
2.1平面向量的实际背景及基本概念约2课时
2.2平面向量的线性运算约2课时
2.3平面向量的基本定理极坐标表示约2课时
2.4平面向量的数量积约2课时
2.5平面向量应用举例约2课时
小结约2课时
三、本章知识框图:
§2.1平面向量的实际背景及基本概念(两课时)(新授课)
一、教学目标:
知识与技能:
了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
过程与方法:
通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
情感、态度与价值观:
通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
二、教学重点与难点
重点:
理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.难点:
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
三、教学设想:
(一)情景设置:
如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:
猫能否
追到老鼠?
(画图)
结论:
猫的速度再快也没用,因为方向错了.
分析:
老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、
有长短的量.
引言:
请同学指出哪些量既有大小又有方向?
哪些量只有大小没有方向?
(二)探求新知:
1、向量的概念:
我们把既有大小又有方向的量叫向量
2、请同学阅读课本后回答:
(可制作成幻灯片)
(1)数量与向量有何区别?
(2)如何表示向量?
(3)有向线段和线段有何区别和联系?
分别可以表示向量的什么?
(4)长度为零的向量叫什么向量?
长度为1的向量叫什么向量?
(5)满足什么条件的两个向量是相等向量?
单位向量是相等向量吗?
(6)有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
(7)如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这时它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
(三)探究学习
1、数量与向量的区别:
CBD
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
2、向量的表示方法:
①用有向线段表示;
②用字母a、b
(黑体,印刷用)等表示;③用有向线段的起点与终点字母:
AB;④向量的大小――长度称为向量的模,记作||.
3、有向线段:
具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:
起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作0.0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.
说明:
零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.
说明:
(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;
(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.
6、相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明:
(1)向量a与b相等,记作a=b;
(2)零向量与零向量相等;
(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有..
向线段的起点无关.........
7、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的......aA(起点)B(终点)
起点无关)......
说明:
(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;
(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
(四)典例剖析:
例1、判断:
(1)平行向量是否一定方向相同?
(2)不相等的向量是否一定不平行?
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?
(7)共线向量一定在同一直线上吗?
例2、下列命题正确的是()
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形
的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
例3、如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一:
与向量长度相等的向量有多少个?
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
变式三:
与向量共线的向量有哪些?
(五)知识巩固:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.①向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB=
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
⑦物理中的作用力与反作用力是一对共线向量
⑧直角坐标平面上的x轴y轴都是向量
2.书本88页练习,习题2.1A组123
(六)课堂小结:
1、描述向量的两个指标:
模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、向量的图示,要标上箭头和始点、终点.
4、平行向量就是共线向量。
(七)布置作业:
书本86页习题2.1第3、5题
四、课后反思:
§2.2.1向量的加法运算及其几何意义(新授课)
一、教学目标:
知识与技能:
掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;
过程与方法:
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;
情感、态度与价值观:
会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力;
二、教学重点与难点
重点:
会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
难点:
理解向量加法的定义.
三、教学设想:
(一)基础知识回顾:
1、复习:
(1)向量的定义以及有关概念
强调:
向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置
(2)平行向量和共线向量的定义
(二)创设情景,揭示课题:
(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,
则两次的位移和:
(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,
则两次的位移和:
(3)某车从A到B,再从B改变方向到C,
则两次的位移和:
新授课ABCABC
(4)船速为,水速为,则两速度和:
(三)探求新知:
1、向量的加法:
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)ABC
如图,已知向量a、b.在平面a+0-=0+a
探究:
(1)两相向量的和仍是一个向量;
(2)当向量与不共线时,+的方向不同向,且|+|<||+||;(3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||>||,则+的方向与相同,且|+|=||-||;若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|.
(4)“向量平移”(自由向量):
使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n个向量连加
3、例1:
已知向量、,求作向量+
作法:
在平面小结
(1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适用)
b
B
a
B
a+b
aba
(2)向量加法的交换律:
+=+
5、向量加法的结合律:
(+)+=+(+)证:
如图:
使,,
则(+)+=,+(+)=ABBDAD
∴(a+b)+c=a+(b+c)
从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(四)典例剖析
1、一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行的速度的大小为4km/h,求水流的速度.
变式1
、一艘船距对岸,以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时,船的实际航程为8km,求河水的流速.
变式2、一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为v2,船的实际航行的速度的大小为4km/h,方向与水流间的夹角是60,求v1和v2.
(五)课时小结
1、向量加法的几何意义;
2、向量加法的交换律和结合律;
3、注意:
|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当方向相同时取等号.
(六)布置作业:
习题2.2A组2.3
四、课后反思
§2.2.2向量的减法运算及其几何意义(新授课)
一、教学目标:
知识与技能
1、了解相反向量的概念;
2、掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义;
过程与方法
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
情感态度与价值观
使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
二、教学重点与难点:
重点:
向量减法的概念和向量减法的作图法.
难点:
减法运算时方向的确定.
三、教学设想
(一)课前复习:
1、向量加法的法则:
三角形法则与平行四边形法则
2、向量加法的运算定律:
例:
在四边形中,.AB
解:
CBBABACBBAADCD
(二)创设情境,引入课题
1.用“相反向量”定义向量的减法
(1)“相反向量”的定义:
与a长度相同、方向相反的向量.记作a
(2)规定:
零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0
如果a、b互为相反向量,则a=b,b=a,a+b=0
(3)向量减法的定义:
向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差.
即:
ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作ab
3.求作差向量:
已知向量a、b,求作向量
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=aa
b
BbbC
作法:
在平面AB=b
则=ab
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意:
1AB表示ab.强调:
差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量,ab=a+(b)显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.
B’ba
Ab
(三)典例剖析
例1、(P95例三)已知向量a、b、c、d,求作向量ab、cd.
解:
在平面上取一点O,作=a,=b,=c,=d,作,,则=ab,=cd
例2、平行四边形ABCD中,a,b,
用a、b表示向量AC、DB.bCABBbAB
变式一:
当a,b满足什么条件时,a+b与ab垂直?
变式二:
当a,b满足什么条件时,|a+b|=|ab|?
变式三:
a+b与ab可能是相当向量吗?
(四)知识巩固
1、在菱形ABCD中,下列各式中不成立的是()
A.AC
C.BDABBCB.ADBDABACBCD.BDCDBC
2、下列各式中结果为O的有()
①AB
③ABBCCA②OAOCBOCOACBDCD④MNNQMPQP
A.①②B.①③C.①③④D.①②③3、下列四式中可以化简为AB的是()
①ACCB②ACCB③OAOB④OBOA
A.①④B.①②C.②③D.③④4、在下面各式中,不能化简为AD的是()
A.(ABCD)BCB.(ADMB)(BCCM)
C.MBADBMD.OCOACD
5、在△ABC中,向量BC可表示为()
①ABAC②ACAB③BAAC④BACA
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④6、已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中OAa,OBb,OCc则EF=
()
A.abB.baC.cbD.bc
7、当C是线段AB的中点,则ACBC=()
A.ABB.BAC.ACD.O
8、在平行四边形ABCD中,BCCDAD等于()
A.BAB.BDC.ACD.AB
9、化简:
ABDABDBCCA=_______________。
10、一架飞机向北飞行300km后改变航向向西飞行400km,则飞行的总路程为___________,两次位移和的和方向为____________,大小为______________。
(五)课时小结
1、如果把两个向量的起点放在一起,则这两个向量是以减向量的终点为起点,以被减向量的终点的向量。
2、一个向量比如BA,等于它的终点,相对于点O的位置向量OA,减去它的起点相对于点
O的位置向量OB,或简化为“终点向量减去起点向量”即BAOAOB
3、向量减去的实质是向量加法的逆运算。
利用相反向量的定义,ABBA就可以把减法化
为加法。
如DBABDBBADA,在用三角形法则做向量减法时,只要记住“连接两向量终点,箭头指向被减数”即可。
(六)布置作业:
习题2.2第4、5题
四、课后反思:
§2.2.3向量数乘运算及其几何意义(新授课)
一、教学目标:
知识与能力:
1、掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义;
2、掌握实数与向量的积的运算律;
3、理解向量共线定理,能够运用定理解决共线等问题。
过程与方法:
通过阐述向量数乘运算,使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.情感态度与价值观:
使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
二、教学重点与难点:
重点:
掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点:
对向量共线定理的理解。
三、教学过程:
(一)复习引入:
1、向量的加法:
求两个向量和的运算,叫做向量的加法。
向量加法法则有三角形法则和平行四边形法则。
2、向量的减法:
向量加上的相反向量,叫做与的差。
即:
()。
差向量的意义:
,则。
即0可以表示为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。
(二)讲解新课:
1、实数与向量的积
练习1:
已知非零向量,作出和()()。
探究:
相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化?
(1)3a与a方向相同且
(2)2a与a
上题结果可记为:
PB(a)(a)2a
定义:
实数λ与向量
的积是一个向量,记作:
。
其大小和方向规定如下:
大小:
方向:
λ>0与方向相同;
λ<0时,与方向相反。
特别地,当0或时。
2、运算律练习2:
(1)根据定义,求作向量3(2a)和6a(a为非零向量),并进行比较。
结论:
3(2a)6a,(24)a2a4a
(2)已知向量a、b,求作向量2(ab)和2a2b,并进行比较。
结论:
2(ab)2a2b归纳得:
设a、b为任意向量,、为任意实数,则有:
结合律:
(a)()a
第一分配律:
()aaa
第二分配律:
(ab)ab
练习3:
计算(口答)
(1)(3)4
(2)3()2()(3)(2a3bc)(3a2bc)
解:
(1)原式=12
(2)原式=(321)(32)5
(3)原式=(23)(32)(11)52
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
对于任意向量、及任意实数、,恒有(12)12。
3、向量共线定理
探究:
问题①如果ba,那么,向量与是否共线?
问题②如果非零向量与共线,那么,?
对于向量()、,如果有一个实数,使得,那么,由数乘向量的定义知:
向量与共线。
若向量与共线,,且向量的长度是的长度的
倍,即有,当与同方向时,有;当与反方向时,有
所以始终有一个实数,使。
向量共线定理向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数,使得。
.........
(三)讲解范例:
例1、如图,已知3、3,试判断与是否共线?
解:
∵3、3
又333()3
∴与ECAB
D共线。
解后小结:
证明向量共线,可以直接运用定理。
在本题中,若B、C分别是AD、AE的三等分点,你能否利用向量关系来证明BC‖DE呢?
例2、已知任意两非零向量、,试作OAab,OBa2b,OCa3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?
为什么?
解:
作图如右(过程略)
依图观察,知A、B、C三点共线。
证明如下:
∵ACOCOA(a3b)(ab)2b
又
(2)()
∴AC2AB
又与有公共点A,
∴A、B、C三点共线。
小结:
证明三点共线,可以直接运用定理,找出两向量间关系,再利用它们有一个公共点,得到三点共线。
(四)课堂练习:
P1003、4、5
(五)课堂小结:
通过本节学习,要求大家掌握实数与向量的积的定义,掌握实数与向量的积的运算律,理解向量共线定理,并能在解题中加以运用。
(六)布置作业:
P1029、12、13
四、课后反思
§2.3.1平面向量基本定理(新授课)
一、教学目标:
知识与技能
1、了解平面向量基本定理;
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
3、能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
过程与方法:
通过类比物理中力的分解与合成,理解平面向量基本定理.
情感态度与价值观:
让学生体会知识之间是有联系的,学会新旧知识之间的迁移
二、重点与难点:
重点:
平面向量基本定理.
难点:
平面向量基本定理的理解与应用.
三、教学设想
(一)复习回顾:
1、一般地,我们规定___________________是一个向量,这种运算称做向量的数乘记作a,
它的长度与方向规定如下:
(1)|a|=___________________________________;
(2)当________________时,a的方向与a的方向相同;当____________时,a的方向
与a方向相反,当_____________时,a=O。
2、向量数乘和运算律,设,为实数。
(1)(a)_____________________________________________;
(2)()a__________________________________________;
(3)(ab)__________________________________________;
(4)()a____________________=________________________;
(5)(ab)___________________________
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