高中数学奥赛学案平面几何证明.docx
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高中数学奥赛学案平面几何证明
平面几何证明
1.线段或角相等的证明
(1)利用全等△或相似多边形;
(2)利用等腰△;
(3)利用平行四边形;
(4)利用等量代换;
(5)利用平行线的性质或利用比例关系
(6)利用圆中的等量关系等。
2.线段或角的和差倍分的证明
(1)转化为相等问题。
如要证明a=b±c,可以先作出线段p=b±c,再去证明a=p,即所谓“截长补短”,角的问题仿此进行。
(2)直接用已知的定理。
例如:
中位线定理,Rt△斜边上的中线等于斜边的一半;△的外角等于不相邻的内角之和;圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。
3.两线平行与垂直的证明
(1)利用两线平行与垂直的判定定理。
(2)利用平行四边形的性质可证明平行;利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。
(3)利用比例关系可证明平行;利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。
例题讲解
1.从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。
从A点作弦AE平行于CD,连结BE交CD
于F。
求证:
BE平分CD。
2.△ABC内接于⊙O,P是弧AB上的一点,过P作OA、OB的垂线,与AC、BC分别交于S、T,AB交于M、N。
求证:
PM=MS充要条件是PN=NT。
3.已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点,两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2,M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。
求证:
∠O1AO2=∠M1AM2。
4.在△ABC中,AB>AC,∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D,DE⊥AB于E,求证:
AE=
。
.
5.∠ABC的顶点B在⊙O外,BA、BC均与⊙O相交,过BA与圆的交点K引∠ABC平分线的垂线,交⊙O于P,交BC于M。
求证:
线段PM为圆心到∠ABC平分线距
离的2倍。
6.在△ABC中,AP为∠A的平分线,AM为BC边上的中线,过B作BH⊥AP于H,AM的延长线交BH于Q,求证:
PQ∥AB。
7.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H,在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q。
求证:
MQ∥NP。
8.ABCD是圆内接四边形,其对角线交于P,M、N分别是AD、BC的中点,过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。
求证:
KP⊥AB。
9.以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D、E。
过D、E作BC的垂线,垂足分别是F、G,线段DG、EF交于点M。
求证:
AM⊥BC。
例题答案:
1.分析1:
构造两个全等△。
连结ED、AC、AF。
CF=DF←△ACF≌△EDF←
←
←∠PAB=∠AEB=∠PFB
分析2:
利用圆中的等量关系。
连
结OF、OP、OB。
←∠PFB=∠POB←
←
注:
连结OP、OA、OF,证明A、O、F、P四点共圆亦可。
2.分析:
只需证
,PM·PN=MS·NT。
(∠1=∠2,∠3=∠4)→△APM∽△PBN
→
→PM·PN=AM·BN
(∠BNT=∠AMS,∠BTN=∠MAS)→△BNT∽△SMA
→
→MS·NT=AM·BN
3.分析:
设B为两圆的另一交点,连结并延长BA交P1P2于C,交O1O2于M,则C为P1P2的中点,且P1M1∥CM∥P2M2,故CM为M1M2的中垂线。
在O1M上截取MO3=MO2,则∠M1AO3=∠M2AO2。
故只需证∠O1AM1=∠O3AM1,即证
。
由△P1O1M1∽P2O2M2,M1O3=M2O2,O1P1=O1A,O2P2=O2A可得。
4.分析:
方法1、2AE=AB-AC
←在BE上截取EF=AE,只需证BF=AC,连结DC、DB、DF,从而只需证△DBF≌△DCA
←DF=DA,∠DBF=∠DCA,∠DFB=∠DAC
←∠DFA=∠DAF=∠DAG。
方法2、延长CA至G,使AG=AE,则只需证BE=CG
←连结DG、DC、DB,则只需证△DBE≌△DCG
←DE=DG,∠DBE=∠DCG,∠DEB=∠DGC=Rt∠。
5.分析:
若角平分线过O,则P、M重合,PM=0,结论显然成立。
若角平分线不过O,则延长DO至D‘,使OD’=OD,则只需证DD‘=PM。
连结D’P、DM,则只需证DMPD‘为平行四边形。
过O作m⊥PK,则D
D’,K
P,∴∠D‘PK=∠DKP
BL平分∠ABC,MK⊥BL→BL为MK的中垂线→∠DKB=∠DMK
∴∠D’PK=∠DMK,∴D‘P∥DM。
而D’D∥PM,
∴DMPD‘为平行四边形。
6.分析:
方法1、结合中线和角平分线的性质,考虑用比例证明平行。
倍长中线:
延长AM至M’,使AM=MA‘,连结BA’,如图6-1。
PQ∥AB←
←
←
←
∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)=180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ
方法2、结合角平分线和BH⊥AH联想对称知识。
延长BH交AC的延长线于B’,如图6-2。
则H为BB‘的中点,因为M为BC的中点,连结HM,则HM∥B/C。
延长HM交AB于O,则O为AB的中点。
延长MO至M’,使OM‘=OM,连结M’A、M‘B,则AM’BM是平行四边形,
∴MP∥AM‘,QM∥BM’。
于是,
,所以PQ∥AB。
7.分析:
由AB∥CD知:
要证MQ∥NP,只需证∠AMQ=∠CPN,
结合∠A=∠C知,只需证△AMQ∽△CPN←
,AM·CN=AQ·CP。
连结AC、BD,其交点为内切圆心O。
设MN与⊙O切于K,连结OE、OM、OK、ON、OF。
记∠ABO=φ,∠MOK=α,∠KON=β,则
∠EOM=α,∠FON=β,∠EOF=2α+2β=180°-2φ。
∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α
∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM
又∠OCN=∠MAO,∴△OCN∽△MAO,于是
,
∴AM·CN=AO·CO
同理,AQ·CP=AO·CO。
8.分析:
延长KP交AB于L,则只需证∠PAL+∠APL=90°,
即只需证∠PDC+∠KPC=90°,只需证∠PDC=∠PKF,
因为P、F、K、E四点共圆,故只需证∠PDC=∠PEF,即EF∥DC。
←
←
←△DME∽△CNF
9.
分析:
连结BE、CD交于H,则H为垂心,故AH⊥BC。
(同一法)
设AH⊥BC于O,DG、AH交于M1,EF、AH交于M2。
下面证M1、M2重合。
OM1∥DF→
→OM1=
。
OM2∥EG→
→OM2=
。
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