立体几何中的探索性问题.docx
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立体几何中的探索性问题
立体几何中的探索性问题
、探索平行关系
1.[2016枣强中学模拟]如图所示,在正四棱柱AiC中,E,F,G,H分别是棱CCi,C1D1,DiD,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件,就有MN//平面B1BDDH注:
请填上一个你认为正确的条件,不必考虑
全部可能的情况)
QFCl
AB
答案:
M位于线段FH上(答案不唯一)[解析]连接HN,FH,FN,则FH//DD1,HN//BD,FHnHN=H,DD1QBD=D,•••平面FHN//平面B1BDD1,故只要M€FH,贝VMN?
平面FHN,且MN//平面B1BDD1.
2•如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值;
⑵在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F//平面A1BE?
证明你的结论.
解:
(1)如图所示,取AA1的中点M,连接EM,BM.因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1
为正方形,所以EM/AD.(2分)
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD丄平面ABB1A1,
所以EM丄平面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,/EBM为BE和
平面ABB1A1所成的角.(4分)
设正方体的棱长为2,
则EM=AD=2,BE=22+22+12=3.
于是,在Rt组EM中,sinZEBM=豐=2,(5分)BE3
2即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为3.(6分)
⑵在棱CiDi上存在点F,使BiF//平面AiBE.
事实上,如图(b)所示,分别取CiDi和CD的中点F,G,连接BiF,EG,BG,CDi,FG.
因AiDi/BiCi/BC,且AiDi=
BC,所以四边形AiBCDi是平行四边形,
因此DiC/AiB.
又E,G分别为DiD,CD的中点,
所以EGDiC,从而EG/AiB.
这说明Ai,B,G,E四点共面.所以BG?
平面AiBE.
(8分)
因四边形CiCDDi与BiBCCi皆为正方形,F,G分别为CiDi和CD的中点,
所以FGCiC/BiB,且FG=CiC=BiB,
因此四边形BiBGF是平行四边形,所以BiFBG,
(iO分)
而BiF?
平面AiBE,BG?
平面AiBE,
故BiF//平面AiBE.(i2分)
3.如图,四棱锥P-ABCD中,PD丄平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.
(1)求三棱锥A-PDE的体积;
(2)AC边上是否存在一点M,使得PA//平面EDM?
若存在,求出AM的长;若不存在,
请说明理由.
解析:
(1)'.PD丄平面ABCD,「PD1AD.
又-.ABCD是矩形,
•'ADJCD.
••PDnCD=D,
••AD丄平面PCD,
••AD是三棱锥A-PDE的高.
••E为PC的中点,且PD=DC=4,•'Szpde=;S/pdc=X2X4X4=4.
又AD=2,
118
••/a—PDE=3ADS/PDE=3X2X4=3.
⑵取AC中点M,连接EM,DM,VE为PC的中点,M是AC的中点,•EM/PA.
又-.EM?
平面EDM,FA?
平面EDM,
••PA//平面EDM.
「AM=;AC=5.
即在AC边上存在一点M,使得PA//平面EDM,AM的长为5.
4•如图所示,在三棱锥P-ABC中,点D,E分别为PB,BC的中点.在线段AC上是否存在点F,使得AD//平面PEF?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
FC
又•••点D,E分别为PB,BC的中点,•GPBC的重心,•A;=DG=〔.故在线段ACFCGC2
AF1
上存在点F,使得AD//平面PEF,且匚q=_.
FC2
5.[2016北京卷]如图,在四棱锥P-ABCD中,PC丄平面ABCD,AB//DC,DC丄AC.
(1)求证:
DC丄平面PAC.
(2)求证:
平面PAB丄平面FAC.
⑶设点E为AB的中点,在棱
PB上是否存在点F,使得PA//平面CEF?
说明理由.
解:
(1)证明:
因为PC丄平面ABCD,所以PC丄DC.
又因为DC丄AC,所以DC丄平面PAC.
(2)证明:
因为AB//DC,DC丄AC,所以AB丄AC.
因为PC丄平面ABCD,
所以PC丄AB,
所以AB丄平面PAC,
所以平面PAB丄平面PAC.
⑶棱PB上存在点F,使得PA//平面CEF.证明如下:
取PB的中点F,连接EF,CE,CF.
因为E为AB的中点,
所以EF//PA.又因为FA?
平面CEF,
所以FA//平面CEF.
6.[2016四川卷]如图,在四棱锥F-ABCD中,PA丄CD,AD//BC,ZADC=ZFAB=90°,1
BC=CD=2AD.
(1)在平面FAD内找一点M,使得直线CM//平面FAB,并说明理由;
⑵证明:
平面FAB丄平面FBD.
解:
(1)取棱AD的中点M(M€平面FAD),点M即为所求的一个点•理由如下:
1
因为AD//BC,BC=2AD,所以BC//AM,且BC=AM,
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM//AB.
又AB?
平面FAB,CM?
平面FAB,
所以CM//平面FAB.
1
因为AD//BC,BC=2AD,所以直线AB与CD相交,所以FA丄平面ABCD,
从而FA丄BD.
1
因为AD//BC,BC=2AD,
所以BC//MD,且BC=MD,所以四边形BCDM是平行四边形,
1
所以BM=CD=2AD,所以BD丄AB.又ABnAF=A,所以BD丄平面FAB.
又BD?
平面FBD,
所以平面PAB丄平面PBD.
7.[2016阳泉模拟]如图7-41-10,在四棱锥P-ABCD中,BC//AD,BC=1,AD=3,AC丄CD,且平面PCD丄平面ABCD.
⑴求证:
AC丄PD.
PE
(2)在线段PA上是否存在点E,使BE//平面PCD?
若存在,求出"PA的值;若不存在,请说明理由.
解:
⑴证明:
•••平面PCD丄平面ABCD,平面PCD门平面ABCD=CD,AC丄CD,AC?
平面ABCD,•••AC丄平面PCD,
•/PD?
平面PCD,•AC丄PD.
(2)在线段PA上存在点E,
•/AD=3,BC=1,
..PE=PF=
'PA=PD=
•••在厶PAD中,分别取PA,PD靠近点P的三等分点E,F,连接EF,BE,CF.
11;,•••EF//AD,且EF=;AD=1.
又.BC//AD,•BC//EF,且BC=EF,
•四边形BCFE是平行四边形,•BE//CF,又.BE?
平面PCD,CF?
平面PCD,•BE//平面PCD.
&(10分)[2016河南中原名校联考]如图所示,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD丄平面ABCD,AB//DC,ASAD是等边三角形,且SD=2,BD=2.3,AB=2CD=4.
(1)证明:
平面SBD丄平面SAD.
⑵若E是SC上的一点,当E点位于线段SC上什么位置时,SA//平面EBD?
请证明你的结论.
⑶求四棱锥SABCD的体积.
解:
(1)证明:
.△SAD是等边三角形,
AD=SD=2,又BD=23,AB=4,
•••AD2+BD2=AB2,:
BD丄AD,
又•••平面SAD丄平面ABCD,平面SADA平面ABCD=AD.
•BD丄平面SAD.
又BD?
平面SBD,「.平面SBD丄平面SAD.
⑵当E为SC的三等分点,即ES=2CE时,结论成立.证明如下:
连接AC交BD于点H,连接EH.
1
•••CD//AB,CD=2AB,
⑶过S作SO丄AD,交AD于点O.
•△SAD为等边三角形,
•O为AD的中点,•SO=3•易证得SO丄平面ABCD,
1
•V四棱锥s-ABCD=3S梯形ABCD°SO.
3
S梯形ABCD=2X(2+4)X3=33,
•V四棱锥s-ABCD=3.
、探索垂直关系
1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,已知PA丄底面ABC,AB丄BC,E,F分别是线段PB,PC上的动点,则下列说法错误的是()
P
A.当AE丄PB时,△AEF一定为直角三角形
B.当AF丄PC时,△AEF一定为直角三角形
C.当EF//平面ABC时,△AEF一定为直角三角形
D.当PC丄平面AEF时,△AEF一定为直角三角形
答案:
B[解析]已知PA丄底面ABC,贝UPA丄BC,又AB丄BC,PAAAB=A,贝UBC丄平面PAB,BC丄AE.
当AE丄PB时,又PBABC=B,贝UAE丄平面PBC,贝UAE丄EF,A正确.
当EF//平面ABC时,又EF?
平面PBC,平面PBCA平面ABC=BC,贝UEF//BC,故EF丄平面PAB,贝UAE丄EF,故C正确.
当PC丄平面AEF时,PC丄AE,又BC丄AE,PCABC=C,则AE丄平面PBC,则AE丄EF,故D正确.用排除法可知选B.
2.如图所示,在三棱柱ABC-AiBiCi中,侧棱A"丄底面ABC,底面是以/ABC为直角的
等腰直角三角形,AC=2a,BBi=3a,D是AiCi的中点,点F在线段AAi上,当AF=
时,CF丄平面BiDF.
A
答案:
a或2a[解析]由题意易知,BiD丄平面ACCiAi,所以BiD丄CF.要使CF丄平面BiDF,只需CF丄DF即可.当CF丄DF时,设AF=x,贝UAiF=3a—x.
由Rt△CAFsRt△FAiD得=圧,即一^=勺整理得x2—3ax+2a2=0,解得x
'AiFAiD3a—xa
=a或x=2a.
3.如图所示,PA丄圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的正投影,给出下列结论:
①AF丄PB;
②EF丄PB:
③AF丄BC;④AE丄平面PBC.其中正确结论的序号是.
答案:
①②③[解析]由题意知PA丄平面ABC,:
PA丄BC.又AC丄BC,PAnAC=A,•••BC丄平面FAC,•••BC丄AF.•/AF丄PC,BCnPC=C,AF丄平面PBC,AF丄PB,AF丄BC.又AE丄PB,AEnAF=A,•PB丄平面AEF,•PB丄EF.故①②③正确.
4•如图所示,已知长方体ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD为正方形,E为线段ADi的中点,F为线段BDi的中点.
(1)求证:
EF//平面ABCD;
(2)设M为线段CiC的中点,当DD的比值为多少时,DF丄平面DiMB?
并说明理由.
解析:
⑴证明:
TE为线段ADi的中点,F为线段BDi的中点,•EF/AB.
••EF?
平面ABCD,AB?
平面ABCD,
••EF//平面ABCD.
D1D厂,十十
(2)当AD=2时,DF丄平面DiMB.
'•ABCD是正方形,
••ACJBD.
■•DiD丄平面ABC,
•■DiD_LAC.
「AC丄平面BBiDiD,
••ACJDF.
••F,M分别是BDi,CCi的中点,
••FMAC.
••DFJFM.
'•DiD=/2AD,
•'DiD=BD.
•矩形DiDBBi为正方形.
••F为BDi的中点,
••DFJBDi.
••FMABDi=F,
「DF丄平面DiMB.
5•如图(i),在Rt△ABC中,/C=90°D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△AiDE的位置,使AiF丄CD,如图⑵.
(i)求证:
DE//平面AiCB.
⑵求证:
AiF丄BE.
⑶线段AiB上是否存在点Q,使AiC丄平面DEQ?
说明理由.
解:
⑴--D,E分别为AC,AB的中点,
•'DE/BC.(2分)
又•.DE?
平面AiCB,
•'DE//平面AiCB.(4分)
⑵由已知得ACJBC且DE/BC,/DE1AC.
•'DElAiD,DEJCD.
•'DE丄平面AiDC.
而AiF?
平面AiDC,(6分)
••DE!
AiF.
又■•AiF_LCD,CDADE=D,
•'AiF丄平面BCDE,又BE?
平面BCDE,
•'AiFJBE.(9分)
⑶线段AiB上存在点Q,使AiC丄平面DEQ.理由如下:
4
如图,分别取AiC,AiB的中点P,Q,贝UPQ伯C.
又TDEBC,「.DE/PQ.
•••平面DEQ即为平面DEP.
由⑵知,DE丄平面AiDC,
••DE!
AiC.
又TP是等腰三角形DAiC底边AiC的中点,
••AiClDP.
又DPnDE=D,
••AiC丄平面DEP.(12分)
从而AiC丄平面DEQ.
故线段AiB上存在点Q,使得AiC丄平面DEQ.(14分)6.如图,在正方体ABCD-AiBiCiDi中,E、F分别是CD、AQi的中点.
(1)求证:
ABi丄BF;
(2)求证:
AE丄BF;
(3)棱CCi上是否存在点P,使BF丄平面AEP?
若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由.
解析:
⑴证明:
连接AiB,则ABi丄\iB,
又-.ABilAiF,且AiBnAiF=Ai,
「ABi丄平面AiBF.
又BF?
平面AiBF,/ABilBF.
AiFD,
⑵证明:
取AD中点G,连接FG,BG,贝UFG丄AE,
又-/BAG也zADE,
••AEJBG.
又..BGAFG=G,/AE丄平面BFG.
又BF?
平面BFG,「.AEJBF.
⑶存在.取CCi中点P,即为所求.
连接EP,AP,CiD,
••EP/CiD,CiD/ABi,
••EP/ABi.
由⑴知ABiJBF,ABFJEP.
又由
(2)知AE1BF,且AEAEP=E,
••BF丄平面AEP.
7•如图⑴所示,在RtAABC中,/ABC=90°,D为AC的中点,AE丄BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥"BCD,如图⑵所示.
⑴若M是FC的中点,求证:
直线DM//平面AiEF.
(2)求证:
BD丄AiF.
⑶若平面AiBD丄平面BCD,试判断直线AiB与直线CD能否垂直?
并说明理由.
解:
⑴证明:
在题图⑴中,因为D,M分别为AC,FC的中点,所以DM是厶ACF的中位线,所以DM//EF,
则在题图⑵中,DM//EF,又EF?
平面AiEF,DM?
平面AiEF,
所以DM//平面AiEF.
(2)证明:
因为AiE丄BD,EF丄BD,且AiEAEF=E,
所以BD丄平面AiEF.
又AiF?
平面AiEF,所以BD丄AiF.
⑶直线AiB与直线CD不能垂直.理由如下:
因为平面AiBD丄平面BCD,平面AiBDA平面BCD=BD,EF丄BD,EF?
平面BCD,所以EF丄平面AiBD.
因为AiB?
平面AiBD,所以AiB丄EF,
又EF//DM,所以AiB丄DM•假设AiB丄CD,
因为AiB丄DM,CDADM=D,
所以AiB丄平面BCD,
所以AiB丄BD,这与/AiBD为锐角矛盾,
所以假设不成立,所以直线AiB与直线CD不能垂直.
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- 立体几何 中的 探索 问题