中考复习讲义等腰三角形中的常考热点问题.docx
- 文档编号:16809013
- 上传时间:2023-07-17
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:217.61KB
中考复习讲义等腰三角形中的常考热点问题.docx
《中考复习讲义等腰三角形中的常考热点问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考复习讲义等腰三角形中的常考热点问题.docx(18页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
中考复习讲义等腰三角形中的常考热点问题
中考复习讲义:
等腰三角形中的常考热点问题
一、问题导读
等腰三角形创新问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大,不仅能考查学生的数学基础知识,而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力,因而倍受关注,越来越成为热点和亮点考题,成为中考的一道亮丽风景,它既检测了同学们对所学的知识的理解与运用能力,又检测了同学们分析问题和解决问题的能力,能全面检测同学们的数学综合素质.
二、典例精析
类型1条件开放型问题
例1.有下列三个等式①AB=DC;②BE=CE;②∠B=∠C.如果从这三个等式中选出两个作为条件,能推出Rt△AED是等腰三角形,你认为这两个条件可以是______(写出一种即可)
【分析】依据条件判定△ABE≌△DCE,即可得到AE=DE,进而得出Rt△AED是等腰三角形.
【解答】当AB=DC,BE=CE,∠AEB=∠DEC时,Rt△ABE≌Rt△DCE(HL),故AE=DE,即Rt△AED是等腰三角形;
当AB=DC,∠B=∠C,∠AEB=∠DEC时,△ABE≌△DCE(AAS),故AE=DE,即Rt△AED是等腰三角形;
当BE=CE,∠B=∠C,∠AEB=∠DEC时,△ABE≌△DCE(ASA),故AE=DE,即Rt△AED是等腰三角形.
故答案为:
①②或①③或②③.(答案不唯一)
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定,如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
变式.如图,AD是△ABC的边BC上的中线,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是______(把所有的正确答案的序号都填在横线上)
①∠BAD=∠ACD;②∠BAD+∠B=∠CAD+∠C;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD
【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断即可.
【解答】①无法判定;
②∵∠BAD+∠B=∠CAD+∠C,
∴∠ADB=∠ADC,
∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴AD⊥BC,
在△ABD与△ADC中
∴△ADB≌△ADC(SAS),
∴∠B=∠C,故②正确;
③延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE、AF;
∵AB+BD=CD+AC,
∴DE=DF,
又∵AD⊥BC;
∴△AEF是等腰三角形;
∴∠E=∠F;
∵AB=BE,
∴∠ABC=2∠E;
同理,得∠ACB=2∠F;
∴∠ABC=∠ACB,即AB=AC,△ABC是等腰三角形.
④同理可得AB﹣BD=AC﹣CD;
故答案为:
②③④
评注:
本题是添加条件的创新题,重点考查了等腰三角形的判定和性质.要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件,有一定的开放性和思考性.这种类型的题目能激起同学们的挑战欲望和创新热情,实属一道“人人能达到”的好题.
变式练习1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,连接AD、AE,如果只添加一个条件使∠BAD=∠CAE,则添加的条件不能为( )
A.∠ADE=∠AEDB.∠B=∠C
C.AD=AED.BD=CE
类型2结论开放型问题
例2.已知△ABC,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β.
(1)如图,若点D在线段BC上,点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α=_______ °,β=_____ °,②求α,β之间的关系式.
(2)请直接写出不同于以上②中的α,β之间的关系式可以是_________.(写出一个即可.)
【分析】
(1)①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE,进而求出∠BAD,即可得出结论;
②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论;
(2)①当点E在CA的延长线上,点D在线段BC上,同
(1)的方法即可得出结论;
②当点E在CA的延长线上,点D在CB的延长线上,同
(1)的方法即可得出结论.
【解答】
(1)①∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴∠BAC=60°,
∵AD=AE,∠ADE=70°,
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°,
∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°,
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°,
∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°,
故答案为:
20,10;
②设∠ABC=x,∠AED=y,
∴∠ACB=x,∠AED=y,
在△DEC中,y=β+x,
在△ABD中,α+x=y+β=β+x+β,
∴α=2β;
(2)①当点E在CA的延长线上,点D在线段BC上,
如图1
设∠ABC=x,∠ADE=y,
∴∠ACB=x,∠AED=y,
在△ABD中,x+α=β﹣y,
在△DEC中,x+y+β=180°,
∴α=2β﹣180°,
②当点E在CA的延长线上,点D在CB的延长线上,
如图2,同①的方法可得α=180°﹣2β.
故答案为:
α=2β﹣180°或α=180°﹣2β.
变式.如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,G是AD上一点,且AG=DG,连接BG并延长BG交AC于E,又过C作AD的垂线交AD于H,交AB为F,则下列说法正确的是_______(填序号).
①D是BC的中点;②∠CDA>∠2;③BE是△ABC的边AC上的中线;
④CH为△ACD的边AD上的高;⑤△AFC为等腰三角形;
⑥连接DF,若CF=6,AD=8,则四边形ACDF的面积为24.
【分析】根据等腰三角形的定义、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断,对角线垂直的四边形的面积=对角线乘积的一半;
【解答】①错误.假设结论成立,则↓ABC是等腰三角形,显然不可能,故①错误;
②正确.∵∠ADC=∠1+∠ABD,∠1=∠2,
∴∠ADC>∠2,故②正确;
③错误.假设结论成立,则∵AG=GD,AE=EC,
∴EG∥BC,显然不可能,故③错误,
④正确,∵CH⊥AD,
∴CH为△ACD的边AD上的高,故④正确,
⑤正确.∵∠1=∠2,AD=AD,∠AHF=∠AHC=90°,
∴△AHF≌△AHC(ASA),
∴AF=AC,故⑤正确,
⑥正确.∵AD⊥CF,
∴S四边形ACDF=1/2×AD×CF=1/2×6×8=24.
故答案为②④⑤⑥.
【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念,对角线垂直的四边形的面积,注意:
三角形的角平分线、中线、高都是线段,且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键.
变式练习2.如图,点D是等腰△ABC底边的中点,点E是AD延长线上的任一点,连接BE,CE,则下列结论:
①BE=AC;②AE平分∠BEC;③AE=AB;④∠ABE=∠ACE,其中正确的有______(填写序号).
类型3、操作性问题
例3.△ABC中,AB=AC,过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三角形,则∠BAC( )
【分析】利用三角形内角和定理求解.由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点,因此本题要分情况讨论.
【解答】①如图1,当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形,则AB=AC,AD=CD=BD,
设∠B=x°,则∠BAD=∠B=x°,∠C=∠B=x°,
∴∠CAD=∠C=x°,
∵∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴x+x+x+x=180,
解得x=45,
则顶角是90°;
②如图2,
AB=AC=CD,BD=AD,
设∠C=x°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=x°,
∵BD=AD,
∴∠BAD=∠B=x°,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°,
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠ADC=2x°,
∴∠BAC=3x°,
∴x+x+3x=180,x=36°,则顶角是108°.
③如图3,
当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形,则有AB=AC,BC=BD=AD,
设∠BAC=x°,
∵BD=AD,
∴∠ABD=∠BAC=x°,
∴∠CDB=∠ABD+∠BAC=2x°,
∵BC=BD,
∴∠C=∠CDB=2x°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=2x°,
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180,
x=36°,
则顶角是36°.
④如图4,
当∠BAC=x°,∠ABC=∠ACB=3x°时,也符合,
AD=BD,BC=DC,
∠BAC=∠ABD=x,∠DBC=∠BDC=2x,
则x+3x+3x=180°,x=.
则∠BAC=90或108或36或度.
故选:
A.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及其判定.作此题的时候,首先大致画出符合条件的图形,然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系,列方程求解.
变式.如图,在△ABC中,∠A=120°,∠B=40°,如果过点A的一条直线l把△ABC分割成两个等腰三角形,直线l与BC交于点D,那么∠ADC的度数是______.
【分析】有两种情况:
把120°的角分为100°和20°或40°和80°,分别画出图形,即可求解.
【解答】分两种情况:
①如图1,把120°的角分为100°和20°,
则△ABD与△ACD都是等腰三角形,其顶角的度数分别是100°,140°;
∴∠ADC=140°
②把120°的角分为40°和80°,
则△ABD与△ACD都是等腰三角形,其顶角的度数分别是100°,20°,
∴∠ADC=80°,
故答案为140°或80°.
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形各角之间的关系,难度适中,画出图形是关键.
变式练习3.如图,若AB=AC,下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A.
(1)
(2)(3)B.
(1)(3)(4)
C.
(2)(3)(4)D.
(1)
(2)(4)
类型4动点型问题
例4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动;同时点Q从点A出发同样的速度沿A→C→B匀速运动.当点P到达点A时,P、Q同时停止运动,设运动时间为t秒,当t为______时,以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.
【分析】分情况讨论:
①当AQ=PQ时,如图1,证明△ADQ∽△ACB,则AD/AQ=AC/AB,列方程可得t的值;
②当BP=BQ时,如图2,根据BP=BQ列方程可得t的值;
③当BQ=PQ时,如图3,同①证明三角形相似可得t的值.
【解答】①当BP=PQ时,如图1,
由题意得:
BP=PQ=AQ=t,
Rt△ABC中,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∴AP=5﹣t,
②当BP=BQ时,如图2
由题意得:
BP=AC+CQ=t,
∴BQ=3+4﹣t=7﹣t,
∴7﹣t=t,t=3.5;
③当BQ=PQ时,如图3,
过Q作QD⊥AB于D,
∴BD=1/2BP=1/2t,BQ=7﹣t,
∵∠B=∠B,∠BDQ=∠ACB=90°,
∴△BDQ∽△BCA,
【点评】本题是几何动点问题,考查了等腰三角形的判定、三角形相似的性质和判定.分类讨论的数学思想是本题考查的重点,并与方程相结合解决问题.
变式.如图,已知点P是射线BM上一动点(P不与B重合),∠AOB=30°,∠ABM=60°,当∠OAP=______时,以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形.
【分析】先根据题意画出符合的情况,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可.
【解答】分为以下5种情况:
①OA=OP,
∵∠AOB=30°,OA=OP,
∴∠OAP=∠OPA=1/2(180°﹣30°)=75°;
②OA=AP,
∵∠AOB=30°,OA=AP,
∴∠APO=∠AOB=30°,
∴∠OAP=180°﹣∠AOB﹣∠APO=180°﹣30°﹣30°=120°;
③AB=AP,
∵∠AOM=60°,AB=AP,
∴∠APO=∠ABM=60°,
∴∴∠OAP=180°﹣∠AOB﹣∠APO=180°﹣30°﹣60°=90°;
④AB=BP,
∵∠ABM=60°,AB=BP,
∴∠BAP=∠APO=1/2(180°﹣60°)=60°,
∴∠OAP=180°﹣∠AOB﹣∠APO=180°﹣30°﹣60°=90°;
⑤AP=BP,
∵∠ABM=60°,AP=BP,
∴∠ABO=∠PAB=60°,
∴∠APO=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠OAP=180°﹣∠AOB﹣∠APO=180°﹣30°﹣60°=90°;
所以当∠OAP=75°或120°或90°时,以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形,
故答案为:
75°或120°或90°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点,能画出符合的所有图形是解此题的关键.
变式练习4.如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(0,2)和(3,4),点P在x轴上运动,若△ABP是等腰三角形,则满足条件点P的坐标是______.
类型5规律探究问题
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1,∠DA3A2及∠EA4A3的度数,找出规律即可得出∠An的度数.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠CA2A1,∠DA3A2及∠EA4A3的度数,找出规律是解答此题的关键.
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出B1A1∥A2B2∥A3B3,以及a2=2a1,得出a3=4a1=4,a4=8a1=8,a5=16a1…进而得出答案.
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质,根据已知得出a3=4a1=4,a4=8a1=8,a5=16a1…进而发现规律是解题关键.
变式练习5.如图,在平面直角坐标系中,有一个正三角形ABC,其中B、C的坐标分别为(1,0)和C(2,0).若在无滑动的情况下,将这个正三角形沿着x轴向右滚动,则在滚动的过程中,这个正三角形的顶点A、B、C中,会过点(2018,1)的是点( )
A.A和BB.B和CC.C和AD.C
类型6计数问题
例6.如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,点P是x轴上一动点,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有______;
【分析】分为三种情况:
①OA=OP,②AP=OP,③OA=OA,分别画出即可.
【解答】当OA与x轴正半轴夹角不等于60°时,以O为圆心,以OA为半径画弧交x轴于点P和P′,此时三角形是等腰三角形,即有2个满足条件的点P;
以A为圆心,以OA为半径画弧交x轴于点P″(O除外),此时三角形是等腰三角形,即有1个满足条件的点P;
作OA的垂直平分线交x轴于一点P1,
则AP=OP,
此时三角形是等腰三角形,即有4个满足条件的点P;
当OA与x轴正半轴夹角等于60°的时候,图中的P1,P'和P'会重合,是一个点,加上原来的负半轴的P点,总共2个点,
故答案为4或2个.
变式.如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=3,ON=7,点P是直线OB上的点,要使点P,M,N构成等腰三角形的点P有( )个.
A.1B.2
C.3D.4
【分析】先求出点M、N到在OB的距离,再根据等腰三角形的判定逐个画出即可.
【解答】解过M作MM′⊥OB于M′,过N作NN′⊥OB于N′,
∵OM=3,ON=7,∠AOB=45°,
所以只有一小两种情况:
①以M为圆心,以4为半径画弧,交直线OB于P1、P2,此时△NP1M和△NMP2都是等腰三角形;
②作线段MN的垂直平分线,交直线PB于P3,此时△MNP3是等腰三角形,
即有3个点P符合,故选:
C.
【点评】本题考查饿等腰三角形的判定,能求出符合的所有情况是解此题的关键.
变式练习6.在平面直角坐标系中,点A坐标为(2,2),点P在x轴上运动,当以点A,P、O为顶点的三角形为等腰三角形时,点P的个数为( )
A.2个B.3个
C.4个D.5个
变式练习答案:
1.B;2.②④;3.B;4.(3,0)或(3.5,0);5.A;6.C
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 复习 讲义 等腰三角形 中的 热点问题