最新中考数学知识点梳理 考点15 多边形与平行四边形教师版.docx
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最新中考数学知识点梳理考点15多边形与平行四边形教师版
2022年最新
中考数学知识点梳理
考点总结
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真题演练
(涵盖近年来的中考真题和中考模拟)
教师版
考点15多边形与平行四边形
考点总结
一、多边形
1.多边形的相关概念
1)定义:
在平面内,由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2)对角线:
从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线,并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形;n边形对角线条数为
.
2.多边形的内角和、外角和
1)内角和:
n边形内角和公式为(n–2)·180°;
2)外角和:
任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
1)定义:
各边相等,各角也相等的多边形.
2)正n边形的每个内角为
,每一个外角为
.
3)正n边形有n条对称轴.
4)对于正n边形,当n为奇数时,是轴对称图形;当n为偶数时,既是轴对称图形,又是中心对称图形.
二、平行四边形的性质
1.平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形用“”表示.
2.平行四边形的性质
1)边:
两组对边分别平行且相等.
2)角:
对角相等,邻角互补.
3)对角线:
互相平分.
4)对称性:
中心对称但不是轴对称.
3.注意:
利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法:
1)平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
2)平行四边形中有相等的边、角和平行关系,所以经常需结合三角形全等来解题.
3)过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
4.平行四边形中的几个解题模型
1)如图①,AE平分∠BAD,则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形,即AB=BE.
2)平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形,如图②中△ABD≌△CDB;
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形,如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD;
根据平行四边形的中心对称性,可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等,如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.
3)如图③,已知点E为AD上一点,根据平行线间的距离处处相等,可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
4)如图④,根据平行四边形的面积的求法,可得AE·BC=AF·CD.
三、平行四边形的判定
1)方法一(定义法):
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2)方法二:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3)方法三:
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
4)方法四:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5)方法五:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
四、三角形的中位线
1)定义:
三角形两边中点的连线叫中位线。
2)性质:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
真题演练
一.选择题(共10小题)
1.(2021•高阳县模拟)小刚设计了用n个完全相同的△ABC纸片(如图1)拼接正多边形的游戏,用6个△ABC纸片按照图2所示的方法拼接起来,能够围成正六边形.如果用若干个△ABC纸片按照图3所示的方法拼接起来,那么能够围成的正多边形为( )
A.正六边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形
【分析】先根据正六边形计算一个内角为120度,可知△ABC各角的度数,再根据图3中正多边形的内角的度数,可得结论.
【解答】解:
∵正六边形每一个内角为120°,
∴∠ACB=120°﹣80°=40°,
∴∠CAB=180°﹣120°=60°,
∴图2中正多边形的每一个内角为60°+80°=140°,
∵
9,
∴可以得到外轮廓的图案是正九边形.
故选:
C.
2.(2021•路南区一模)如图,在正六边形ABCDEF内作正方形BCGH,连接AH,则∠HAB等于( )
A.75°B.60°C.55°D.45°
【分析】正六边形的每个内角为120°,即可求∠ABC,正方形每个内角为90°,即可求∠HBC,进而求∠ABH的大小,根据BA=BH即可求∠HAB的度数.
【解答】解:
正六边形的每个内角为120°,正方形每个内角为90°,
∴∠ABC=120°,∠HBC=90°,
∴∠ABH=30°,
又∵BA=BH,
∴∠HAB
75°,
故选:
A.
3.(2021•路南区二模)一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个图形是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题.
【解答】解:
∵多边形的外角和是360度,多边形的内角和是外角和的2倍,
∴内角和是720度,
720÷180+2=6(边),
∴这个多边形的边数为6.
故选:
D.
4.(2021•张家口一模)如图,将透明直尺叠放在正五边形之上,若正五边形有两个顶点在直尺的边上,且有一边与直尺的边垂直.则∠α=( )
A.60°B.28°C.54°D.72°
【分析】先求出正五边形每一个内角的度数等于108°,根据平行线的性质求出∠BED=90°,从而得到∠AEB=108°﹣90°=18°.根据三角形内角和等于180°求出∠ABE的度数,最后“根据两直线平行,同位角相等“即可求出答案.
【解答】解:
如图,
∵正五边形内角和=(5﹣2)×180°=540°,
∴∠A=∠AED=540°÷5=108°,
∵BE∥CD,
∴∠BED=180°﹣90°=90°,
∴∠AEB=∠AED﹣∠BED=108°﹣90°=18°.
在△ABE中∠ABE=180°﹣∠A﹣∠AEB=180°﹣108°﹣18°=54°,
∵BE∥CD,
∴∠α=∠ABE=54°.
故选:
C.
5.(2021•桥西区模拟)如图,正五边形ABCDE,DG平分正五边形的外角∠EDF,连接BD,则∠BDG=( )
A.144°B.120°C.114°D.108°
【分析】根据正五边形的外角公式可得∠EDF,易得每个内角的度数为108°,再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答.
【解答】解:
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠EDF=360°÷5=72°,∠CDE=∠C=180°﹣72°=108°,BC=DC,
∴∠BDC
36°,
∴∠BDE=108°﹣∠BDC=108°﹣36°=72°,
∵DG平分正五边形的外角∠EDF,
∴∠EDG
36°,
∴∠BDG=∠BDE+∠EDG=72°+36°=108°,
故选:
D.
6.(2021•迁西县模拟)下面的多边形中,内角和与外角和相等的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解.
【解答】解:
设多边形的边数为n,根据题意得
(n﹣2)•180°=360°,
解得n=4.
故选:
B.
7.(2021•路北区二模)如图,若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形,要完成这一圆环还需( )个五边形.
A.6B.7C.8D.9
【分析】先根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°求出正五边形的每一个内角的度数,再延长五边形的两边相交于一点,并根据四边形的内角和求出这个角的度数,然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数,然后减去3即可得解.
【解答】解:
五边形的内角和为(5﹣2)×180°=540°,
所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,
如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°,
360°÷36°=10,
∵已经有3个五边形,
∴10﹣3=7,
即完成这一圆环还需7个五边形.
故选:
B.
8.(2020•宜昌)游戏中有数学智慧,找起点游戏规定:
从起点走五段相等直路之后回到起点,要求每走完一段直路后向右边偏行,成功的招数不止一招,可助我们成功的一招是( )
A.每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B.每段直路要短
C.每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D.每段直路要长
【分析】根据题意可得行走路线是正五边形,再根据正五边形的每个外角等于72度即可判断.
【解答】解:
∵从起点走五段相等直路之后回到起点,要求每走完一段直路后向右边偏行,
∴
72°,
∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走.
故选:
A.
9.(2020•北京)正五边形的外角和为( )
A.180°B.360°C.540°D.720°
【分析】根据多边形的外角和等于360°,即可求解.
【解答】解:
任意多边形的外角和都是360°,
故正五边形的外角和的度数为360°.
故选:
B.
10.(2021•遵化市一模)平面直角坐标系中,已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,﹣1),C(﹣m,﹣n),则点D的坐标是( )
A.(﹣2,l)B.(﹣2,﹣l)C.(﹣1,﹣2)D.(﹣1,2)
【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称,由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称,即可得出点D的坐标.
【解答】解:
∵A(m,n),C(﹣m,﹣n),
∴点A和点C关于原点对称,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴D和B关于原点对称,
∵B(2,﹣1),
∴点D的坐标是(﹣2,1).
故选:
A.
二.填空题(共5小题)
11.(2018•高碑店市一模)如图,在Rt△ABC中,AC=5,∠B=30°,点P,Q分别是边AB,AC上的点.BP=2AQ,PD⊥BC于点D.当PQ⊥DQ时,AQ= 4 .
【分析】设AQ=x,依据PD
BP=AQ,PD∥AQ,判定四边形PAQD是平行四边形,再根据∠AQP=30°,即可得出AQ=2AP,进而得到方程x=2(10﹣2x),解方程即可得出结论.
【解答】解:
设AQ=x,
∵PD⊥BC,∠B=30°,BP=2AQ=2x,
∴Rt△BDP中,PD
BP=AQ,
∵∠C=∠BDP=90°,
∴PD∥AQ,
∴四边形PAQD是平行四边形,
当PQ⊥DQ时,∠APQ=90°,
又∵∠A=60°,
∴∠AQP=30°,
∴AQ=2AP,
即x=2(10﹣2x),
解得x=4,
∴AQ=4,
故答案为:
4.
12.(2021•顺平县二模)如图所示,一机器人在平地上按图中的步骤行走,要使机器人行走路程不小于10m,则α的最大值为 36° .
【分析】根据图中的信息可知机器人走过的路线是正多边形,要使机器人行走的路程不小于10m,则正多边形的边数最少为10,再用外角和的度数除以10即可得出α的范围.
【解答】解:
根据题意得,机器人走过的路线是正多边形,每个外角都等于α,
∵要使机器人行走的路程不小于10m,
∴正多边形边数最少为10,
360°÷10=36°,
则a≤36°,
13.(2021•古冶区一模)如图,正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起,则∠CAB= 117 °.
【分析】根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义可得结论.
【解答】解:
由题意得:
正八边形的每个内角都为:
135°,正五边形的每个内角都为:
108°,
故∠CAB=360°﹣135°﹣108°=117°,
故答案为:
117.
14.(2021•新华区校级模拟)如图,由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 84° .
【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3,∠4,再根据三角形内角和为180°,求出∠2,即可求出∠1解决问题.
【解答】解:
如图,
由题意得:
∠3=360°÷6=60°,∠4=360°÷5=72°,
则∠2=180°﹣60°﹣72°=48°,
所以∠1=360°﹣48°﹣120°﹣108°=84°
故答案为84°.
15.(2021•河北模拟)如图,已知正五边形ABCDE,BG平分∠ABC,DG平分正五边形的外角∠EDF,则∠G= 54 度.
【分析】根据正五边形的轴对称性以及多边形的外角和等于360度解答即可.
【解答】解:
如图:
由正五边形ABCDE,BG平分∠ABC,可得∠DPG=90°,
∴∠G+∠EDG=90°,
∵∠EDF
72°,DG平分正五边形的外角∠EDF,
∴∠EDG
∠EDF=36°,
∴∠G=90°﹣∠EDG=54°.
故答案为:
54.
三.解答题(共3小题)
16.(2020•曲阳县模拟)如图,平行四边形ABCD内一点E,满足ED⊥AD于D,延长DE交BC于F,且∠EBC=∠EDC,∠ECB=45°,找出图中一条与EB相等的线段,并加以证明.
【分析】延长DE,交BC于F,由平行四边形的性质可得到∠BFE=∠DFC=90°,由已知可推EF=FC,已知∠EBC=∠EDC,则可以利用AAS来判定△BEF≌△DCF,从而得到CD=BE.
【解答】解:
CD=BE.
证明:
如图,延长DE交BC于F,
∵AD∥BC,ED⊥AD,
∴DF⊥BC,
∴∠BFE=∠DFC=90°,
又∵∠ECB=45°,
∴∠FEC=∠ECB=45°,
∴FE=FC,
∵∠EBC=∠EDC,
∴△BEF≌△DCF(AAS),
∴CD=BE.
17.(2020•邢台模拟)已知在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,以AD、AE为腰做等腰三角形ADE,且∠ADE=∠ABC,连接CE,过E作EM∥BC交CA延长线于M,连接BM.
(1)求证:
△BAD≌△CAE;
(2)若∠ABC=30°,求∠MEC的度数;
(3)求证:
四边形MBDE是平行四边形.
【分析】
(1)证明∠BAC=∠DAE,得出∠BAD=∠CAE,由SAS即可得出结论;
(2)求出∠ACB=∠ACE=30°,由平行线的性质得出∠MEC+∠ECD=180°,即可得出结果;
(3)由△BAD≌△CAE,得出DB=CE,再证明∠ACE=∠EMC,得出ME=EC,推出DB=ME,即可得出结论.
【解答】
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠BAC=180°﹣2∠ABC,
∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE,
∴AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE,
∵∠ADE=∠ABC,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS);
(2)解:
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=30°,
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE=30°,
∴∠ACB=∠ACE=30°,
∴∠ECB=∠ACB+∠ACE=60°,
∵EM∥BC,
∴∠MEC+∠ECD=180°,
∴∠MEC=180°﹣60°=120°;
(3)证明:
∵△BAD≌△CAE,
∴DB=CE,∠ABD=∠ACE,
∵AB=AC,
∴∠ABD=∠ACB,
∴∠ACB=∠ACE,
∵EM∥BC,
∴∠EMC=∠ACB,
∴∠ACE=∠EMC,
∴ME=EC,
∴DB=ME,
又∵EM∥BD,
∴四边形MBDE是平行四边形.
18.(2007•泉州)已知正n边形的周长为60,边长为a
(1)当n=3时,请直接写出a的值;
(2)把正n边形的周长与边数同时增加7后,假设得到的仍是正多边形,它的边数为n+7,周长为67,边长为b.有人分别取n等于3,20,120,再求出相应的a与b,然后断言:
“无论n取任何大于2的正整数,a与b一定不相等.”你认为这种说法对吗?
若不对,请求出不符合这一说法的n的值.
【分析】
(1)边长=周长÷边数;
(2)分别表示出a和b的代数式,让其相等,看是否有相应的值.
【解答】解:
(1)a=20;
(2)此说法不正确.
理由如下:
尽管当n=3、20、120时,a>b或a<b,
但可令a=b,得
,即
.
∴60n+420=67n,
解得n=60,
经检验n=60是方程的根.
∴当n=60时,a=b,即不符合这一说法的n的值为60.
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