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正态分布教案导学案
2.4.1正态分布
【教学目标】
1.了解正态分布的意义,掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。
2.了解假设检验的基本思想,会用质量控制图对产品的质量进行检测,对生产过程进行控制。
【教学重难点】
教学重点:
1.正态分布曲线的特点;
2.正态分布曲线所表示的意义.
教学难点:
1•在实际中什么样的随机变量服从正态分布;
2.正态分布曲线所表示的意义.
【教学过程】
一、设置情境,引入新课
这是一块高尔顿板,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,最后掉入髙尔顿板下方的某一球槽内。
问题1.在投放小球之前,你能知道这个小球落在哪个球槽中吗?
问题2.重复进行高尔顿板试验,随着试验次数的增加,掉入每个球槽中小球的个数代表什么?
问题3.为了更好的研究小球分布情况,对务个球槽进行编号,以球槽的编号为横坐标,以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标,你能画岀它的频率分布直方图吗?
问题4.随着试验次数的增加,这个频率直方图的形状会发生什么样的变化?
二、合作探究,得出概念
随着试验次数的增加,这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.
J上灯
^σ(x)=-^=e2σ^,x∈(-∞,+∞),
∖∣2πσ
其中实数”和σ(σ>O)为参数,我们称φμσ(x)的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲
线。
问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴,其刻度单位为球槽的宽度,X表示一
个随机变量,X落在区间(αb]的概率为什么?
其几何意义是什么?
一般地,如果对于任何实数a
⅛X满足
P(a 则称X的分布为正态分布,记作σ2),如果随机变量X服从正态分布,则记为 问题7•结合σ(x)的解析式及概率的性质,你能说说正态分布曲线的特点吗? 可以发现,正态曲线有以下特点: (1)曲线位于X轴上方,与X轴不相交; (3)曲线在X=JLi处达到峰值一J=: σ√2? (4)曲线与X轴之间的而积为1: (5)当σ∙—定时•曲线随着“徳变化而沿X轴平移: (6)当“一泄时,曲线的形状由o■确左,o■越小,曲线越''瘦高",表示总体的分布越集中: b越大,曲线越“矮胖S表示总体的分布越分散。 若X〜N(“σ2),则对于任何实数。 >0,概率 对于固左的“和d而言,给而积随着o∙的减少。 这说明Or越小,X落在区间(“―",“+d]的概率越小,即X集中在“周用概率越大. 特别有 P(P-σ 可以看到,正态总体几乎总取值于区间(χ∕-3σ 而在此区间以外取值的槪率只有0.∞26,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(〃,D的随机变量X只取(“-3b,"+3b)之间的值,简称之为3b原则 三、典型例题 例1.在某次数学考试中,考生的成绩《服从一个正态分布,即疳~N(90,100)β (1)试求考试成绩纟位于区间(70,110)上的概率是多少? (2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人? 解析: 正态分布已经确泄,则总体的期望“和标准差C7就可以求出,这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解. 解: 因为g~N(90,100),所以“=90,σ=10. (1)由于正态变量在区间(χ∕-2σ√∕+2σ)内取值的概率是0.9544,而该正态 分布中, χ∕-2σ=90-2×10=70√∕+2σ=90+2×10=IlO,于是考试成绩§位于区间 (70ZllO)内的概率就是0.9544o (2)由μ=90>σ=10,得〃一b=80,"+b=100°由于正态变量在区间(χ∕-σ√∕+σ)内取值的概率是0.6826,所以考试成绩纟位于区间(80,100)内的概率就是0..6826.一共有2000名考生,所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2000×0.6826≈1365人。 点评: 解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(“―6"+b),(“―2b,"+2b),(“—3b,“+3b)上的概率值,同时又要根据已知的正态分布确泄所给区间属于上述三个区间中的哪一个. 变式训练.已知一次考试共有60同学参加,考生的成绩X~2(110,25),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内? () A(90J10]B(95,125]C.(100J25]D.(lO5J15] 答案C 4.反馈测评 1. 给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值U和标准差Q・ 4•若一个正态总体落在区间(0.2,+-O)里的概率是0.5,那么相应的正态曲线f(X) 在X=时,达到最高点。 答案: 1. (1)0,1; (2)1,2;(3)-1.0.52.C3.C4.0.2 五、课堂小结 1.了解正态曲线、正态分布的概念,知道正态曲线的解析式及曲线的特点。 2.了解假设检验的基本思想并体会它的应用。 六、作业 课本P86习题2.4仁2题 2.4.1正态分布 课前预习学案 一、预习目标 1.通过实际问题,借助直观,认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 2.通过实际问题,知道假设检验的思想。 二、预习内容 1•我们把函数的图像称为正态分布密度曲线,简称O 2.一般地,如果对于任何实数a X的分布为正态分布,记作,如果随机变量X服从正态分布,则记为 3.正态曲线的特点: 4.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(“,σj)的随机变量X只取之间 的值,简称之为I 三、提岀疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下而的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 1.知道正态分布密度曲线、正态分布的概念。 2.知道正态曲线的解析式及函数图像。 3.通过图像知逍正态曲线的特点。 4.能在实际中体会3σ∙原则的应用。 二、学习重难点 学习重点: 1.正态分布曲线的特点;2.正态分布曲线所表示的意义.学习难点: 正态分布在实际中的应用。 三、学习过程 (-)自主学习 大家预习课本P80页,并回答以下几个问题: 问题2.在投放小球之前,你能知逍这个小球落在哪个球槽中吗? 问题2.重复进行高尔顿板试验,随着试验次数的增加,掉入每个球槽中小球的个数代表什么? 问题3.为了更好的研究小球分布情况,对各个球槽进行编号,以球槽的编号为横坐标,以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标,你能画出它的频率分布直方图吗? 问题4.随着试验次数的增加,这个频率直方图的形状会发生什么样的变化? : )合作探究,得出槪念 二、合作探究,得出概念 随着试验次数的增加,这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线 Λ≡≡总体密度曲线 千,—•、、 这条曲线可以近似下列函数的图像: 1-(J- φ(x)=-=^e2,5χ∈(-oo5+coχyJ2πσ 其中实数“和σ(σ>0)为参数,我们称φμσ{x)的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲 线。 问题5•如果在髙尔顿板的底部建立一个水平坐标轴,其刻度单位为球槽的宽度∙X表示 个随机变量,X落在区间(αb]的概率为什么? 其几何意义是什么? 一般地,如果对于任何实数a ⅛X满足 P(GVX≤b)=∫φμσ(x)dx, 问题7•结合%.(Ta)的解析式及槪率的性质,你能说说正态分布曲线的特点吗? 则记为 可以发现,正态曲线有以下特点: (1) (2) 曲线位于X轴上方,与X轴不相交;曲线是单峰的,它关于直线X=μ对称: (3) 曲线在x=μ处达到峰值-4=: σ√2Λr (4) (5) (6) 曲线与X轴之间的而积为1: 当σ-⅛时,曲线随着〃徳变化而沿X轴平移: 当〃一泄时,曲线的形状由σ∙确定,Cr越小,曲线越“瘦高",表示总体的分布越集中: C7越大,曲线越“矮胖笃表示总体的分布越分散。 若X〜N(“σ2)9则对于任何实数a>09概率 Pμ+a P{μ—a Jμ-at^' 对于固泄的“和d而言,给而积随着Cr的减少。 这说明6越小,X落在区间的概率越小,即X集中在“周用概率越大. 特别有 PlP一σ^vX≤"+b)=0.6826, PUl-2σ PUl-3σ 可以看到,正态总体几乎总取值于区间(“―3b 而在此区间以外取值的概率只有0.∞26,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(“,σ2)的随机变量X只取(∕z-3σ√∕+3σ) 之间的值,简称之为3b原则 三、典型例题 例2.在某次数学考试中,考生的成绩《服从一个正态分布,即§~N(90,100)o (3)试求考试成绩纟位于区间(70,110)上的概率是多少? (4)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(8(Uoo)间的考生大约有多少人? 解析: 正态分布已经确泄,则总体的期望“和标准差Cr就可以求出,这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解・ 变式训练•已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X~7V(11O,25),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内? () 答案C 四、反馈测评 1.给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值U和标准差。 • (1)f(x)=-^==e2,x∈(-oo,+∞) 1-2$ (2)f(x)=—eS.X∈(-S,+S) 2J2/ f(x)=-yl=^2(X+,∖x∈(YO,+") 2•若随机变量歹~N(-2,4)贝Jg在区间(-4,2]上的取值的概率等于纟在•下列哪个区间上取 值的槪率() A(2,4]B・(0,2]C.(-2,0]D(-4,4] 3.若随机变量歹服从正态分布M~N(O,1),则疳在区间(-3,3]上取值的概率等于( 4•若一个正态总体落在区间(0.2,-Ho)里的概率是0.5,那么相应的正态曲线f(X)在X=时,达到最髙点。 答案: 1. (1)0,1: (2)b2; 五、课堂小结 ;(3)-b0.52.C3.C4.0.2 1.了解正态曲线、正态分布的概念,知道正态曲线的解析式及曲线的特点。 2.了解假设检验的基本思想并体会它的应用。 课后练习与提髙 一、选择题 下列函数中,可以作为正态分布密度函数的是() I(λ-d2 A,fM=-=e~ >J2π (x-2>2 √2zr∙σ I(X-A)2 C/(Λ∙)=κ=厂Ky∣2πσ 1工 DJ(X)=—e4π 171 1 2.函数/(X)=——(X∈R)的奇偶性为() 2TF A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断 3.若随机变量满足正态分布N(〃,σ2),则关于正态曲线性质的叙述正确的是() A∙b越大,曲线越"矮胖”,Cr越小,曲线越“瘦高 B.Cr越大,曲线越“瘦高",Cr越小,曲线越“矮胖” C.Cr的大小,和曲线的“瘦髙S“矮胖”没有关系 D.曲线的“瘦高S“矮胖”受到“的影响 二、填空题 4・随机变呈X〜N(mσ2),其密度函数f(X)的最大值是 5.工人制造机器零件,零件的尺寸服从分布X〜N(0,4),则不属于(7,4)这个尺寸范围的 零件约占总数的 三、解答题 6.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值等于 态分布的密度函数的解析式・ 6•解: 由于该正态分布的概率密度函数是偶函数•所以其图像即正态曲线关于y轴对称,记 //=Oo而正态密度函数的最大值是—=,e所以—==—=.所以σ=4,故该正态 σ√2^∙σ>J2π4√2λ, (X∈R) 分布的概率密度函数的解析式是f(x)=-^=e^ 4√2λγ 小结与复习 【学习目标】 1在对具体问题的分析中,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列对于刻画随机现象的重要性。 2通过实例,理解超几何分布及其推到过程,并能进行简单的应用。 3了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际应用。 4理解离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量得均值、方差,并能解决一些实际问题。 5通过实际问题,借助直观模型,认识正态分布曲线的特点及表示的意义。 【知识结构】 正态分布 应用 3b原则 【达标练习】 一、选择题 1.给出下列四个命题: 115秒内,通过某十字路口的汽车的数量是随机变量; 2在一段时间内,某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量; 3一条河流每年的最大流量是随机变疑; 4一个剧场共有三个出口,散场后某一出口退场的人数是随机变疑. 其中正确的个数是() A.1B.2C.3D.4 2.设离散型随机变量X的分布列为: 3.袋中有3个红球、2个白球,从中任取2个,用X表示取到白球的个数,则X的分布列为() X 0 1 2 3 P Cg -Cr Gq C; qq C; GCI X 0 1 2 3 P Q Q Q Q G Q X () 1 2 P qπ Q C G X 0 1 2 P "cΓ GCi -Cr ~G~ 4.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好任意去试拔,他第一次失败,第二次成 功的槪率是() A.丄B.—C.t-D.— 10101010 5.甲、乙两人各进行一次射击,甲击中目标的概率是0.8,乙击中目标的槪率是0.6,则两 人都击中目标的概率是() A.1.4B.0.9C.0.6D.0.48 6.某厂大量生产一种小零件,经抽样检验知道其次品率是1%,现把这种零件中6件装成一 7.设随机变量则P(X=3)等于() A.丄B.Ac.? D.— 1616816 8.两台相互独立工作的电脑,产生故障的概率分别为a,b,则产生故障的电脑台数的均值 为() A.UbB.a+bC.1—abI).1—a—b 9.设X~片—2甘,则X落在(-∞,-3.5]∪[-O.5,+∞)内的槪率是() A.95.4%B.99.7%C・4.6%D.0.3% 10・正态分布N(“(J? )在下而几个区间内的取值概率依次为() A.①68.3% ②954% ③99.7% B.①99.7% (2)95.4% @683% C.①68.3% ©99.7% ③954% D.①95.4% ②68.3% ③99.7% □节日期间, 某种鲜花进货价是每束2.5元.销售价每朿5元: "•日卖不出去的鲜花以每 ①(“一36μ+3σ] ②(“-26μ+2σ] ③(“一6χ∕+σ] 朿1・6元价格处理•根据前五年销售情况预测,巧日期间这种鲜花的需求量X服从如下表所 示的分布: 2 O ・20 O;35 O : •30 O・15 若进这种鲜花500朿,则利润的均值为() A.706元B.690元C.754元D.720元 12.某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图曲线可得下列说法中正确的是() A・甲学科总体的方差最小 B.丙学科总体的均值最小 C.乙学科总体的方差及均值都居中 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同 13.事件A,B,C相互独立,若 1—1—1 P(Λ∙B)=-,P(B∙C)=-,P(A∙B∙C)=-,则P(B)=・ 14.两台独立在两地工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0・85,则恰 有1台雷达发现飞行目标的概率为. 15.某灯泡厂生产大批灯泡,其次品率为1.5%,从中任意地陆续取岀IOO个,则苴中正品 数X的均值为个,方差为・ 16.设X~N(“σ2),当X在(h3]内取值的概率与在(5,7]内取值的概率相等时,“= 三.解答题 17.一批产品分一、二、三级,其中一级品的数疑是二级品的两倍,三级品的数■量是二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检查其品级,用随机变量描述检验的可能结果,写出它的分布列. 18.甲、乙两人独立地破译1个密码,他们能译出密码的概率分别为1和丄,求 34 (1)恰有1人译出密码的概率: (2)•若达到译岀密码的概率为竺,至少需要多少乙这样的人. IOO 19.生产工■艺工程中产品的尺寸偏差X(mm)~N(α2'),如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差 的绝对值不超过4mrn的为合格品,求生产5件产品的合格率不小于80%的概率. (精确到0.001)・ 20.甲、乙两划工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所出次品数分別为X】,X"且x∣和X? 的分布列为: 0 1 2 P 6 H) 1 H) 3To X2 0 1 2 P 5 10 3 Io 2 10 试比较两名工人谁的技术水平更髙. 21.张华同学上学途中必须经过AB、C,D四个交通岗,苴中在A,B岗遇到红灯的概率均为丄,在GD岗遇到红灯的概率均为丄・假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独23 立的,X表示他遇到红灯的次数. (I)若就会迟到,求张华不迟到的概率; (2)求山: 一、选择题 1D2C3D4A5D6C7A8B9D10B11A12A 二、填空题 1310.221598.5,1.4775164 214 三、解答题 17解: 设二级品有加个,则一级品有4〃个,三级品有〃个•一级品占总数的一-一=-,4n+2n+n7 二级品占总数的一≥一=1三级品占总数的丄. 4n+2n+n77 又设X=K表示取到的是R级品伙=1,2,3), 则P(X=I)=*,P(X=2)=∣.P(X=3)=*, •••X的分布列为: 1 (1)/(x)={——: e12,X∈(- 2•若随机变量g~N(-2,4)J! ∣Jg在区间(7,2]上的取值的概率等于§在下列哪个区间上取值的槪率() A(2,4]3.(0,2]C.(-2,0]D.(-4,4] 3.若随机变量歹服从正态分布N(OJ),则歹在区间(-3,3]上取值的概率等于()
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