七年级数学上全册知识点整理完美版.docx
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七年级数学上全册知识点整理完美版
有理数的概念
一、本节学习指导
本带知识点比较多,同学们要认真学习并加以总结,用自己的语言来理解部分知识是有助于我们记忆的。
对于本行的知识如果一时记不住也不要急,毕竟我们才刚刚进入初级数学的学习。
本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、正数和负数
(1)、大于。
的数叫做正数。
(2)、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
(3)、数0既不是正数,也不是负数,0是正数与负数的分界。
(4)、在同一个问题中,分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
2、有理数
(D凡能写成分数形式的数,都是有理数,整数和分数统称有理数.
注意:
0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,如:
-(-2)=4,这个时候的汽不是有理数;
正有理数<
'正整数正分数
整数
♦正整数零
(2)有理数的分类:
①有理数<
零
②有理数
负整数
负有理数
负整数负分数
分数
‘正分数负分数
⑶自然数00和正整数;a>0Oa是正数;
a<0Oa是负数;a'OOa是正数或00是非负数;
aWOOa是负数或0U>a是非正数.
3、数轴【重点】
(1)、用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。
它满足以下要求:
IIIIII)
-2-10123
①在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点;
②通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;
③选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3-;从原点向左,用类似的方法依次表示-1,-2,-3…
(2)、数轴的三要素:
原点、正方向、单位长度。
(3)、画数轴的步骤:
一画(画一条直线并选取原点);二取(取正反向);三选(选取单位长度);四标(标数字)。
数轴的规范画法:
是条直线,数字在下,字母在上。
注意:
所有的有理数都可以用数字上的点表示,但是数轴上的所有点并不都表示有理数。
(4)、一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度:
表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。
4、相反数
(1)、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
①注意:
a的相反数是-a:
a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-(a+b)=-a-b:
②非零数的相反数的商为-1;
③相反数的绝对值相等。
(2)、一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,他们分别在原点的两侧,表示a和-a,我们说这两点关于原点对称。
(3)、a和-a互为相反数。
0的相反数是0,正数的相反数是负数,负数的相反数是正数。
相反数是它本身的数只有0。
(4)、在任意一个数前而添上“-”号,新的数就表示原数的相反数。
(5)、若两个数a、b互为相反数,就可以得到a+b=0;反过来若a+b=0,则a、b互为相反数。
(6)、多重符号的相乘由“一”的个数来定;若的个数为偶数,相乘结果为正数;若
“-”的个数为奇数,化简结果为负数。
比如:
-2X4X(-3)X(-1)X(-5),首先由4个负号,所以最终结果是正数,再算数字相乘得到120
5、绝对值
(1)、绝对值的定义:
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作Ia|。
(2)、正数的绝对值等于它本身;。
的绝对值是0(或者说0的绝对值是它本身,或者说0的绝对值是它的相反数);负数的绝对值等于它的相反数:
(注意:
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;0是绝对值最小的数。
®>0)
(a40)
a(a>0)
(3)、绝对值可表示为:
|a|=<0(a=0)或同=<
-a(a<0)
(4)、-~-=1<=>t/>0.—=—lOav°.a'a
(5)、任何数的绝对值总是非负数(非负数是正数或0),即|a|20。
(6)、互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等。
(7)、有理数比大小:
①正数比。
大,。
大于负数,正数大于负数:
②两个负数比较,绝对值大的反而小;
③数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大:
(8)、比较两个负数的大小的步骤如下:
①先求出两个数负数的绝对值;
②比较两个绝对值的大小:
③根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。
三、经验之谈:
本节我们要理解很多的名词概念,希望同学们多读几遍。
其次我们还要重点理解正数和负数的关系,以及对绝对值几何意义,还有数轴的画法。
总之本在我们要认真学习。
有理数的运算
一、本节学习指导
有理数的运算和我们小学学习的四则运算很相似,运算规律都一样,不同的是有负数参与,所以相对要复杂一些,本节要多加练习。
本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、有理数的加法
(1)、有理数加法法则:
①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
②异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值:
③一个数与0相加,仍得这个数.
(2)、加法计算步骤:
先定符号,再算绝对值。
(3)、有理数加法的运算律:
①加法的交换律:
a+b=b+a:
②加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).
(4)、为了计算简便,往往会采取以下方法:
①互为相反的两个数,可以先相加;
②符号相同的数,可以先相加:
③分母相同的数,可以先相加:
④几个数相加能得到整数,可以先相加。
2、有理数的减法
(1)、有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数:
即a-b=a+(-b).(有理数减法运算时注意两“变”:
①减法变加法:
②把减数变为它的相反数.)
注:
有理数的减法实质就是把减法变加法。
3、有理数的乘法
(1)、有理数乘法法则:
①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
②任何数同零相乘都得零:
(2)、一个数同1相乘,结果是原数;一个数同-1相乘,结果是原数的相反数。
(3)、乘积为1的两个数互为倒数;
注意:
0没有倒数:
若ab=l〈==>a、b互为倒数。
(4)、几个不是偶的数相乘,积的符号由负因式的个数决定。
负因数的个数是偶数时,积是正数:
负因数的个数是奇数是,积是负数。
(5)、有理数乘法的运算律:
①乘法的交换律:
ab二ba:
②乘法的结合律:
(ab)c=a(be);
③乘法的分配律:
a(b+c)=ab+ac.
4、有理数的除法
(1)、有理数除法法则:
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
(2)、有理数除法符号法则:
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0。
(3)、乘除混合运算的步骤:
①先把除法转化为乘法:
②确定积的符号;③运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。
5、有理数的乘方
(1)、求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做事。
在个中,a叫做底数,n叫做指数。
(2)、a"表示的意义是门个a相乘。
如:
23=2X2X2=8
(3)、分数的乘方,在书写时一定要把整个分数用小括号括起来。
如:
(1/2)2
(4)、负数的乘方,在书写时一定要把整个负数(连同负号)用小括号括起来。
(5)、10的几次方,哥的结果中1后而就有几个0。
如:
10’=100000
(6)、负数的奇次塞是负数,负数的偶次塞是正数。
显然,正数的任何次府都是正数,。
的任何正整数次呆都是0.1的任何次事都是lo-1的奇数次基是-1,-1的偶数次事是1。
6、科学记数法
(1)、把一个大于10数表示成aX10"的形式(其中a是整数数位只有一位的数,而且1WIaIV10,n是正整数),使用的是科学计数法。
(2)、用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是n-l.
例:
240000000用科学计数法记为2.4X10*
7、近似数
(1)、接近实际数字,但是与实际数字还是有差别,这个数是一个近似数。
(2)、精确度:
近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。
(3)、利用四舍五入法得到的近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
(4)、从一个数的左边的第一个非0数字起,到末尾数字止,所有的数字都是这个数的有效数字。
(5)、解题技巧:
①近似数精确到哪一位,只需看这个数的最末一位在原数的哪一位。
②当四舍五入到十位或十位以上时,应先用科学记数法表示这个数,再按要求取近似数。
(6)、aXl(T中有效数字是指a的有效数字。
7、等于本身的数汇总:
①相反数等于本身的数:
0
②倒数等于本身的数:
1,-1
③绝对值等于本身的数:
正数和0
④平方等于本身的数:
0,1
⑤立方等于本身的数:
0,1,-1.
第二章整式的加减
1.单项式:
表示数字或字母乘积的式子,单独的一个数字或字母也叫单项式。
2.单项式系数:
单项式中不为零的数字因数,叫单项式数字系数,简称单项式的系数:
3.单项式的次数:
单项式中所有字母的指数的和,叫单项式的次数.
4.多项式:
几个单项式的和叫做多项式,
5.多项式的项与项数:
多项式中每个单项式叫多项式的项;不含字母的项叫做常数项。
多项式里所含单项式的个数就是多项式的项数:
6.多项式的次数:
多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数:
常数项的次数为0注意:
(若a、b、c、p、q是常数)ax二+bx+c和x:
+px+q是常见的两个二次三项式.
7.多项式的升塞排列:
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大排列起来,叫做按这个字母的升吊排列。
多项式的降寨排列:
把一个多项式的各项按某个字母的指数从大到小排列起来,叫做按这个字母的降幕排列。
(注意:
多项式计算的最后结果一般应该进行升累(或降事)排列.
8.整式:
单项式和多项式统称为整式,即凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.
9.整式分类:
整式1单项式.(注意,分母上含有字母的不是整式。
)
多项式
10.同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
11.合并同类项法:
各同类项系数相加,所得结果作为系数,字母和字母指数不变,
12.去括号的法则:
(原理:
乘法分配律)
(1)括号前面是号,把括号和它前面的号去掉,括号里各项的符号都不变:
(2)括号前面是“一”号,把括号和它前面的“一”号去掉,括号里各项的符号都要改变。
13.添括号的法则:
(1)若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;
(2)若括号前边是“-”号,括号里的各项都要变号.
14.整式的加减:
进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项:
整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把多项式的同类项合并.
整式加减的步骤:
(1)列出代数式:
(2)去括号;(3)添括号(4)合并同类项。
整式的加减:
一找:
(划线):
二“+”(务必用+号开始合并)三合:
(合并)
元一次方程知识点汇总
【知识点归纳】
一、方程的有关概念
L方程:
含有未知数的等式就叫做方程.
2.一元一次方程:
只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次)的方程叫做一元一次方程.
3.方程的解:
使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
注:
⑴方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
二、等式的性质
等式的性质
(1):
等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍相等.用式子形式表示为:
如果a=b,那么a土c二b±c
等式的性质
(2):
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.用式
ah
子形式表示为:
如果a=b,那么ac=be;如果a=b(cW0),那么一cc
三、移项法则:
把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.
四、去括号法则(依据分配律:
a(b+c)=ab+ac)
1.括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.
2.括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.
五、解方程的一般步骤
1.去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2.去括号(按去括号法则和分配律)
3.移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)
4.合并(把方程化成ax=b(aWO)形式)
5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a(或乘未知数的倒数),得到方程的解x%
a
六、用方程思想解决实际问题的一般步骤
1.审:
审题,分析题中已知什么,求什么,找:
明确各数量之间的关系:
2.设:
设未知数(可分直接设法,间接设法),表示出有关的含字母的式子;
3.列:
根据题意列方程;
4.解:
解出所列方程,求出未知数的值:
5.检:
检验所求的解是否是方程的解,是否符合题意;
6.答:
写出答案(有单位要注明答案).
七、有关常用应用题类型及各量之间的关系
1.和、差、倍、分问题(增长率问题):
增长量=原有量X增长率现在量
=原有量+增长量
(1)倍数关系:
通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,几分之几,增长率,减少,缩小……”来体现.
(2)多少关系:
通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余……”来体现.
审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别.
2.等积变形问题:
(1)“等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提,是等量关系的所在.常用等量关系为:
①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积.
(2)常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
①圆柱体的体积公式V二底而积X^=S-h=nr:
h
②长方体的体积丫=长乂宽Xj^=abc
3.劳力调配问题:
从调配后的数量关系中找等量关系,要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:
(1)既有调入又有调出:
(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变
4.数字问题:
要正确区分“数”与“数字”两个概念,同一个数字在不同数位上,
表示的数值不同,这类问题通常采用间接设法,常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程.列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式,一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和.
(1)要搞清楚数的表示方法:
一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,十位数可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a(其中a、b、c均为整数,且0WaW9,0WbW9,1WcW9).
(2)数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系.较大的比较小的大1:
偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示:
奇数用2"1或2n-l表示.
5.工程问题(生产、做工等类问题):
工作量=工作效率X工作时间
工作效率
工作资一工作时间
工作时间=
工作量
工作效率
合做的效率=各单独做的效率的和.一般情况下把总工作量设为1,完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1.分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
工程问题常用等量关系:
先做的+后做的;完成量.
6.行程问题:
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关犍,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
(1)行程问题中的三个基本量及其关系:
路程二速度X时间时间=史理速度=也.
速度时间
要特别注意:
路程、速度、时间的对应关系(即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少)
(2)基本类型有
①单人往返各段路程和=总路程各段时间和=总时间匀速行驶时速度不
变
②相遇问题(相向而行):
快行距+慢行距=原总距两者所走的时间相等或有提前量.
③追及问题(同向而行):
快行距一慢行距=原总距两者所走的时间相等或有提前量.
④环形跑道上的相遇和追及问题:
同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程.
行程问题可以采用画示意图的方法来帮助理解题意,并注意两者运动时出发的时间和地点.
⑤航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度;
逆水(风)速度=静水(风)速度一水流(风)速度.
水流速度=,(顺水速度一逆水速度)
2
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静速)不变的特点考虑相等关系.即顺水逆水问题常用等量关系:
顺水路程二逆水路程.
⑥考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析,一切就一目了然.
常见的还有:
相背而行:
行船问题:
环形跑道问题
7.商品销售问题:
(1)
商品利润率=
商品利润
商品成本价
xlOO%
(2)商品销售额=商品销售价X商品销售量:
(3)商品销售利润=(销售价一成本价)X销售量;
(4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.关系式:
商品售价二商品标价X折扣率.
8.银行储蓄问题:
⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数(存期),利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税.
⑵利息=本金X利率X期数本息和=本金+利息利息税=利息乂税率(20%)
5-每个期数内的利息…八八此
本金
注意利率有日利率、月利率和年利率:
年利率=月利率X12=日利率X365.
9.溶液配制问题:
溶液质量=溶质质量+溶剂质量溶质质量=溶液中所含溶质的
质量分数.
常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系,分析时可采用列表的方法来帮助理解题意.
10.年龄问题:
大小两个年龄差不会变;主要等量关系:
抓住年龄增长,一年一岁,
人人平等.
11.时钟问题:
⑴将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据:
①时针的速度是0.5°/分②分针的速度是6°/分③秒针的速度是6°/秒
12.配套问题:
这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系
13.比例分配问题:
各部分之和=总量
比例分配问题的一般思路为:
设其中一份为x,利用已知的比,写出相应的代数式.
14.比赛积分问题:
注意比赛的积分规则,胜、负、平各场得分之和二总分
15.方案选择问题:
根据具体问题,选取不同的解决方案
《几何图形初步》知识点总汇
一、知识结构框图
余角和补角好
点.线、面%体"
两点之间、线段戢运I
几国形之
二、具体知识点梳理
(一)几何图形(是多姿多彩的)
平体图形:
棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
1、几何图形1
平而图形:
三角形、四边形、圆等.
主「正)视图从正而看;
<
2、几何体的三视图侧(左)视图——从左面边看:
俯视图从上面看.
(1)会判断简单物体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图.
(2)能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
3、立体图形的平面展开图
(1)同一个立体图形按不同的方式展开,得到的平面图形不一样的.
16)了解直棱柱、圆柱、圆锥的平面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型.
4、点、线、而、体
(1)几何图形的组成
点:
线和线相交的地方是点,它是几何图形最基本的图形.
线:
而和而相交的地方是线,分为直线和曲线.
而:
包围着体的是而,分为平面和曲面.
体:
几何体也简称体.
(2)点动成线,线动成面,面动成体.
(二)直线、射线、线段
1、基本概念
图形
直线
射线
线段
端点个数
无
一个
两个
表示法
直线a
直线AB(BA)
射线AB
线段a
线段AB(BA)
作法叙述
作直线AB作直线a
作射线AB
作线段a
作线段AB、连接AB
延长叙述
不能延长
反向延长射线AB
延长线段AB
反向延长线段BA
2、直线的性质
经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简称:
两点确定一条直线.
3、画一条线段等于已知线段
(1)度量法
(2)用尺规作图法
4、线段的大小比较方法
(1)度量法
(2)叠合法
5、线段的中点(二等分点)、三等分点、四等分点等
定义:
把一条线段平均分成两条相等线段的点叫做线段的中点.
图形:
•••
AMB
符号:
若点V是线段AB的中点,则加仁=Lab,AB=2AM=2B\L
2
6、线段的性质:
两点的所有连线中,线段最短.简称:
两点之间,线段最短.
7、两点的距离:
连接两点的线段长度叫做这两点的距离.
8、点与直线的位置关系
(1)点在直线上:
(2)点在直线外.
(三)角
1、角:
由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.
2、角的表示法(四种):
Z1;Na:
N夕;ZABC.
3、角的度量单位及换算
4、角的分类:
锐角、直角、钝角、平角、周角.
5、角的比较方法
(1)度量法
(2)叠合法
6、角的和、差、倍、分及其近似值
7、画一个角等于已知角
(1)借助三角尺能画出15°的倍数的角,在。
〜180°之间共能画出11个角.
(2)借助量角器能画出给定度数的角.
(3)用尺规作图法,可以作出任意给定的角.
8、角的平线线
定义:
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.
图形:
符号:
9、互余、互补
⑴着N1+N2=9(T,则N1与N2互为余角.其中N1是N2的余角,N2是N1的余ft.
(2)若Nl+N2=180°,则N1与N2互为补角.其中N1是N2的补角,N2是N1的补fi.
(3)余(补)角的性质:
同(等)角的余角相等.同(等)角的补角相等.
10、方向角
(1)正方向:
(2)北(南)偏东(西)方向:
(3)东(西)」匕(南)方向.附送教
师精彩课堂用语(不需要可自行删除)
(听说读问写)
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆听☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
1、谢谢大家听得这么专心。
2、大家对这些内容这么感兴趣,真让我高兴。
3、你们专注听讲的表情,使我快乐,给我鼓励。
4、我从你们的姿态上感觉到,你们听明白了。
5、我不知道我这样说是否合适。
6、不知我说清了没有,说明白了没有。
7、我的解释不知是否令你们满意,课后让我们大家再去找有关的书来读读。
8、你们的眼神告诉我,你们还是没有明白,想不想让我再讲一遍?
9、会“听”也是会学习的表现。
我希望大家认真听好我下面要说的一段话。
10、从听课的情况反映出,我们是一个素质良好的集体。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆说☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
1、谢谢你,你说的很正确,很清楚。
2、虽然你说的不完全正确,但我还是要感谢你的勇气。
3、你很有创见,这非常可贵。
请再响亮地说一遍。
4、XX说得还不完全,请哪一位再补充。
5、老师知道你心里已经明白,但是嘴上说不出,我把你的意思转述出来,然
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