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系统稳定性意义以及稳定性的几种定义
体系稳固性意义以及稳固性的几种界说
一、引言:
研讨体系的稳固性之前,我们起重要对体系的概念有初步的熟悉.
在数字旌旗灯号处理的理论中,人们把能加工.变换数字旌旗灯号的实体称作体系.因为处理数字旌旗灯号的体系是在指定的时刻或时序对旌旗灯号进行加工运算,所以这种体系被看作是离散时光的,也可以用基于时光的说话.表格.公式.波形等四种办法来描写.从抽象的意义来说,体系和旌旗灯号都可以看作是序列.但是,体系是加工旌旗灯号的机构,这点与旌旗灯号是不合的.人们研讨体系还要设计体系,运用体系加工旌旗灯号.办事人类,体系还须要其它办法进一步描写.描写体系的办法还有符号.单位脉冲响应.差分方程和图形.
电路体系的稳固性是电路体系的一个重要问题,稳固是掌握体系提出的根本请求,也包管电路工作的根本前提;不稳固体系不具备调节才能,也不克不及正常工作,稳固性是体系自身性之一,体系是否稳固与鼓励旌旗灯号的情形无关.对于线性体系来说可以用几点散布来断定,也可以用劳斯稳固性判据剖析.对于非线性体系的剖析则比较庞杂,劳斯稳固性判据和奈奎斯特稳固性判据受到必定的局限性.
二.稳固性界说:
1.是指体系受到扰动感化偏离均衡状况后,当扰动消掉,体系经由自身调节可否以必定的精确度恢复到原均衡状况的机能.若当扰动消掉后,体系能逐渐恢复到本来的均衡状况,则称体系是稳固的,不然称体系为不稳固.
稳固性又分为绝对稳固性和相对稳固性.
绝对稳固性.假如掌握体系没有受到任何扰动,同时也没有输入旌旗灯号的感化,体系的输出量保持在某一状况上,则掌握体系处于均衡状况.
(1)假如线性体系在初始前提的感化下,其输出量最终返回它的均衡状况,那么这种体系是稳固的.
(2)假如线性体系的输出量呈现中断不竭的等幅振荡进程,则称其为临界稳固.(临界稳固状况按李雅普洛夫的界说属于稳固的状况,但因为体系参数变更等原因,现实上等幅振荡不克不及保持,体系总会因为某些身分导致不稳固.是以从工程运用的角度来看,临界稳固属于不稳固体系,或称工程意义上的不稳固.)
(3)假如体系在初始前提感化下,其输出量无穷制地偏离其均衡状况,这称体系是不稳固的.
现实上,物理体系的输出量只能增大到必定规模,此后或者受到机械制动装配的限制,或者体系遭到破坏,也可以当输出量超出必定命值后,体系变成非线性的,从而使线性微分方程不再实用.是以,绝对稳固性是体系可以或许正常工作的前提.
相对稳固性.除了绝对稳固性外,还须要斟酌体系的相对稳固性,即稳固体系的稳固程度.因为物理掌握体系包含一些储能元件,所以当输入量感化于体系时,体系的输出量不克不及立刻追随输入量的变更,而是在体系到达稳态之前,它的瞬态响应经常表示为阻尼振荡进程.在稳态时,假如体系的输出量与输入量不克不及完整吻合,则称体系具有稳态误差.
2.一个体系对随意率性有界的输入,其零状况响应也是有界的,则该体系称为有界输入有界输出稳固体系.即设Mt,My为正实常数,假如体系对于所有的鼓励|f(t)<=Mt,其零状况响应为|y(t)|<=My则体系是稳固的.对于不稳固体系来说,不克不及断言其输出幅值为有界.
3.线性体系在初始前提为零时,输入幻想单位脉冲函数δ(t),这时体系的输入称为单位脉冲响应.若线性体系的单位脉冲响应函数随时光趋于零,则体系稳固.若趋于无穷,则体系不稳固.若趋于常数或者等幅振荡,这时趋于临界稳固状况.
一般反馈体系如图
此时体系的传递函数为
体系的特点方程为1+G(s)H(s)=0,假如特点根落在[s]复平面的左半部分,体系就是稳固的.
证实:
体系输入幻想单位脉冲函数δ(t),它的Laplace变换函数等于1,所以体系输出的Laplace变换为
式中,si(i=1,2,...,n)为体系特点方程的根,也就是体系的闭环顶点.设n个特点根彼此不等,并将上式分化成部分分式之和的情势,即
式中,ci(i=1,2,…,n)待定系数,其值可由Laplace变换办法肯定.
对上式进行Laplace反变换,得到体系的脉冲响应函数为
.可以看出,要知足前提,只有当体系的特点根全体具有负实部方能实现.
是以,体系稳固的充要前提:
体系的特点方程根必须全体具有负实部.反之,若特点根中有一个以上具有正式部时,则体系必为不稳固.或者说体系稳固的充分须要前提为:
体系传递函数的顶点全体位于[s]复平面的左半部.如有部分闭环顶点位于虚轴上,而其余顶点全体在[s]平面左半部时,便会消失临界稳固状况.
三.稳固性剖析:
【本文仅剖析线性时不变(LTI)电路的稳固性.断定一个体系是否稳固可以从时域或复频域两方面进行评论辩论.本文不合错误含受控源电路的稳固性进行剖析】
例1:
对因果体系,只要断定H(s)的顶点,即A(s)=0的根(称为体系特点根)是否都在左半平面上,即可剖断体系是否稳固,不必知道顶点的确实值.
某线性时不变电路的收集函数为
当输入为单位阶跃函数e(f)时,电路零状况响应的象函数为
用留数法解得
.
斟酌到0.0002<<1,取上式的拉普拉斯逆变换,
.上式中的前两项
是衰减函数,第三项
当t较小时,可疏忽不计,但是当t较大时,这个正指数项超出其他两项并跟着的增长而不竭增大,则电路不稳固.现实的电路体系不会完满是线性的,如许,很大的旌旗灯号将使装备工作在非线性部分,不但使体系不克不及正常工作,有时还会产生破坏和安全.
简略电路剖析:
作出运算电路图如图2,其收集函数为
令分母
其根即为该收集函数的顶点.
解得
当电路参数变更时,上式会有四种情势及响应的电路变更:
当
时,Pl,2如上式,是两个不相等的负实根,响应的自由分量由两个衰减的指数函数构成,属于过阻尼振荡.
②当
时,
此时有两个相等的负实根,属于临界阻尼振荡.
③当
时,上式可写为:
是实部为负的两个共轭复根,
响应的自由分量是一个衰减的正弦函数,属于欠阻尼振荡.
④当Rp=∞时,
为两个共轭虚数根,响应为等幅振荡.
以上前三种情势其收集函数的顶点均在s平面的左半平面,第四种情势其收集函数的顶点在虚轴上,电路均是稳固的.可见四种情势所对应的收集函数的顶点仅与电路的构造及参数有关,而与鼓励无关.
由收集函数H(s)的顶点散布可以很便利地得出LTI电路是否稳固的结论.
(1)当H(s)的所有顶点全体位于s平面的左半平面,不包含虚轴,则电路是稳固的.
(2)当日(s)在s平面的虚轴上有一阶顶点,其余所有顶点全体位
于s平面的左半平面,则电路是临界稳固的.
(3)当H(s)含有s右半平面的顶点或虚轴上有二阶或二阶以上
的顶点时,电路是不稳固的.
四.中断因果体系稳固性断定准则—罗斯-霍尔维兹准则:
所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式.
须要前提—简略办法
一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半开平面的须要前提是:
(1)所有系数都必须非0,即不缺项;
(2)系数的符号雷同.
例1 A(s)=s3+4s2-3s+2符号相异,不稳固
例2 A(s)=3s3+s2+2,a1=0,不稳固
例3 A(s)=3s3+s2+2s+8需进一步断定,非充分前提.
(二)罗斯列表
将多项式A(s)的系数分列为如下阵列—罗斯阵列
第1行anan-2an-4…
第2行an-1an-3an-5…
第3行cn-1cn-3cn-5…
它由第1,2行,按下列规矩盘算得到:
......
第4行由2,3行同样办法得到.一向排到第n+1行.
罗斯准则指出:
若第一列元素具有雷同的符号,则A(s)=0所有的根均在左半开平面.若第一列元素消失符号转变,则符号转变的总次数就是右半平面根的个数.
举例:
例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2
罗斯阵列:
2122
180
2
8.50
2
第1列元素符号转变2次,是以,有2个根位于右半平面.
留意:
在排罗斯阵列时,可能碰到一些特别情形,如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0,这时可断言:
该多项式不是霍尔维兹多项式.
例2:
低通滤波器的稳固性.如图4所示为低通滤波器,放大器是幻想的,为使体系稳固,应知足什么前提?
剖析:
画出运算电路图,如图5
对节点列出KCL方程
(2)
又依据放大器部分电路,-j知,
(3)
由(3)得出
代入
(2)式,
整顿得:
则收集函数为
由劳思一赫维茨判据,体系稳固的前提是(3一K)>0,即K<3.
五.稳固性的意义:
稳固性是体系的的一种固有特点,它只取决于体系内部的构造和参数,而和初始前提和外部感化的大小无关.
稳固性是掌握体系重要的机能指标之一,是体系正常工作的重要前提.
以一些工程实例来举例解释体系稳固性的意义:
(1)开关电源体系不稳固现象剖析
开关电源中,其焦点是Dc—Dc变换器,Dc—Dc变换电路可以或许促使直流电压实现大规模的升.降,并且实现的效力较高.比较轻易掌握,是以其在工业掌握和电力传输等范畴中运用普遍.可是,DC-DC变换电路也可能消失必定的误差,如谐波振荡误差等,产这些误差将直接影响到电源体系的稳固性.而采纳谐波抵偿电路将有用改良开关电源体系的稳固性.
下面重要剖析谐波振荡等引起开关电源体系损掉稳固性的道理和原因.谐波振荡是由峰值电流取样和固定频率同时工作所形成的成果,其产生的道理如下图l所示.当开关电源的输入电压和负载产生变更时,从而会引起开关电源电流产生变更,即产生扰动,在扰动产生后,体系可否趋于稳固的运作,症结在于体系电流是否对扰动若何作出收敛响应.而体系电流收敛的产生一般有两种门路,一是在空占比(D)小于0.5时产生收敛,一是空占比(D)大于0.5时产生收敛.这两种收敛情形下,体系对扰动所表示出的稳固状况是不合的.
设Io为扰动没有产生时的电感电流初始值,设Aio为电流上升时产生的扰动量,设△it为电流降低时产生的扰动量,设△d为电感电流占空比产生的扰动量,设m为电流在上升时所产生的斜率,设眦为电流在降低时所产生的斜率,它们之间的关系式如下:
从而可以得出以下式子:
跟着周期的增长,其所产生电流扰动量为
所以,在Ill2/m小于1时,也即D小于0.5时,电流扰动量即电流产生的误差△i将会慢慢的衰减一向到零,从而使得体系趋于稳固;但是,假如lIlz/mt大于l时,也即D大于0.5时,电流扰动量即电流产生的误差△i将会变得越来越大,从而致使全部开关电源变得不敷稳固,体系掉去掌握,将轻微影响着开关电源体系的正常工作,~PDC-DC变换电路将不克不及正常工作,损掉其稳固性.
(2)电力体系小旌旗灯号稳固性剖析和掌握研讨的新进展
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- 系统 稳定性 意义 以及 定义