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不定方程及不定方程组
第二十七讲不定方程、方程组
不定方程(组)就是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),其特点就是解往往有无穷多个,不能惟
一确定.
对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,加上条件限制后,解就可确定•
二元一次不定方程就是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题
加以解决,与之相关的性质有:
设a、b、c、d为整数,则不定方程axbyc有如下两个重要命题:
(1)若(a,b)=d,且d卜c,则不定方程axbyc没有整数解;
xx0bt,
⑵若X。
,yo就是方程axbyc且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则(t为整数)就是方程的
yyoat
全部整数解(称通解).
解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循,需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形,并灵活运用以下知识与方法;奇数偶数,整数的整除性、分离整系数、因数分解。
配方利用非负数性质、穷举,乘法公式,不等式分析等.
举例
【例1】正整数m、n满足8m+9n=mn+6,则m的最大值为.
(新加坡数学竞赛题)
思路点拔把m用含n的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法).再结合整除的知识,求出m
的最大值.
注:
求整系数不定方程axbyc的整数解。
通常有以下几个步骤:
(1)判断有无整数解;
(2)求一个特解;(3)写出通解;(4)由整数t同时要满足的条件(不等式组),代入⑵中的表达式,写出不定方程的正整数解.
分离整系数法解题的关键就是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示,结合整除的知识讨
论.
【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从10千米处开始,每隔
9千米设一个测速照相标志,则刚好在19千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点
的千米数就是().
1115
(3)求方程的正整数解.
xyz6
(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨对于
(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于
(2)易想到完全平方公式,从配方人手,对于
(2)
111
易知x、y、z都大于1,不妨设l xyz 等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果• 注: 方程与不等式的相关性质,寻求井缩小某个字母的取值范围,通过验算获得全部解答. 【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终粒盒内都剩1粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子? (2002年重庆市竞赛题) 思路点拨无论怎么取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,把问题转化为求不定方程的正整数解• 【例5】中国百鸡问题: 一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一•百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》) xyz100 思路点拨设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x、y、z,则有z '5x3y—100 3 通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解 【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃 总数就是365个,问三个小组共有多少名同学? (2001年海峡两岸友谊赛试题) 思路点拨设甲组学生a人,乙组学生b人,丙组学生c人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定 方程? 运用放缩法,从求出a+b+c的取值范围入手• 注: 解不定方程组基本方法有: (1)视某个未知数为常数,将其她未知数用这个未知数的代数式表示; (2)通过消元,将问题转化为不定方程求解; (3)运用整体思想方法求解. 【例7】不定方程4x+7y=2001有组正整数解. x667 易知『667就是其一组特解,•••其通解为 6677t1 6674t1,解之得96"七"166 t可取整数值共71个. 4x+7y=2001有71组正整数解 学力训练 1.已知X、y、z满足x+y=5及z2=xy+y—9,则x+2y+3z= (2002年山东省竞赛题) 2.已知4x- 222 前,2x3y6z砧/古出 「3y—6z=0,x+2y一7c=0(xyz丰0),那么222的值为 x5y7z 3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有种不同的买法 4.购买5种数学用品A1、A2、A3、A4、A5的件数与用钱总数列成下表: 品名件八、 A1 A A A4 A 总钱数 第一次购件数\ l 3 4 5 6 1992(元) 第二次购件数 1 5 7 9 11 2984(元) (北京市竞赛题) 5•希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,这三种球的价格分别就是足球每 个60元,篮球每个30元排球每个10元,那么其中排球有个. (温州市中考题) 6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有()• A.1组B.2组C.4组D.无数组 7.二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有(). A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (“希望杯”邀请赛试题) 8.以下就是一个六位数乘上一个一位数的竖式,各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=(). A.27B.24C.30D.无法确定1 (“五羊杯”邀请赛试题) 9.求下列方程的整数解: (1)1lx+5y=7; (2)4x+y=3xy. 10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票 进站,设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也就是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕 如果要在5分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几 个检票口? (广州市中考题) 11.下面就是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则: 游戏在两位同学之间进行,用伸出手掌表示“布” 两人同时口念“锤子、剪子、布”,一念到“布”时,同时出手,“布”赢“锤子”,“锤子”赢“剪子”,“剪 子”赢“布”. 现在我们约定: “布”赢“锤子”得9分,“锤子”赢“剪子”得5分,“剪子”赢“布”得2分. (1)小明与某同学玩此游戏过程中,小明赢了21次,得108分,其中“剪子”赢“布”7次.聪明的同学请您用 所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次? (2)如果小明与某同学玩了若干次,得了30分,请您探究一下小明各种可能的赢法,并选择其中的三种赢法填人下表. ,则22y+z的值为 0 13.有理数x,y,z满足%63y2 x3y2xy2z 14.1998年某人的年龄恰等于她出生的公元年数的数字之与,那么她的年龄就是岁. 15.江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用2台抽水机抽水,40分钟可 抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完•如果要在10分钟内抽完水,那么,至少需要抽水机台• 16.有甲、乙、丙3种商品,某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元若购甲4件、乙10件、丙I件共需 33元,则此人购甲、乙、丙各1件共需元• 17.一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球,红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有 数字3,小明从布袋中摸出10个球,它们上面所标数字的与等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过 个• 18. (1)求满足y4+2x4+仁4x2y的所有整数对(x,y); (2)求出所有满足5(xy+yz+zx)=4xyz的正整数解. (新加坡奥林匹克试题) 19.兄弟二人养了一群羊,当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时,将这群羊全部卖出,兄弟二人平分卖羊得来的钱: 哥哥先取I0元,弟弟再取10元;这样依次反复进行,最后,哥哥先取10元,弟弟再取不足10元,这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟,兄弟二人所得的钱数相等.问这顶草帽值多少钱? (北京市竞赛题) ,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得16970,求此人家的电话号码. (武汉市选拔赛试题) 21.某布店的一页账簿上沾了墨水,如下表所示 月 日 摘要 数量(米) 单价(元/米) 金额(元) 1 13 全毛花呢 XX 49、36 XXX7、28 所卖呢料米数瞧不清楚了,但记得就是卖了整数米;金额项目只瞧到后面3个数码7.28,但前面的3个数码瞧不 清楚了,请您帮助查清这笔账 (上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题) 22.一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区.她们出发后以每天17km的速度前进,沿河岸向 上游行进若干天后到达目的地,然后在生态区考察了若干天,完成任务后以每天25km的速度返回,在出发后的 第60天,考察队行进了24km后回到出发点试问: 科学考察队在生态区考察了多少天? (四川省竞赛题) 参考答案 2)不建方程、方建组 【例題購器】 洌17&握拒旳=*"[=9卜=9时皿豪大H为版 丹—吊Jf0 (? ]+1»=氛由就博方Wh(21ao*l>.(2.(1 亠即严扌■今点比甲厂4或5就“專却工・$时」tq*由比耶們时心」e共加. 圳"由于r.j.i圧方秆申灿拉平可得厚方抵的)5 l>r(4.3»4) 蝌4提于1设鱼手樂韭有m社犠子.11上St趴月.4持的■#、公情魅12除时"黑JE为h即加+12均自又工亠1讪 柑曲自拾D*12tt4-1-11*^^^■a+e^*LL|fl+i圧g応20山故0<: 皿+】£剜爪0<4<1> 2+皆订応=4*1—121*即|[子日共书J21粒稱子, Zbi的屉"心是那的-估仆町程的"刘: : 二补上整I于是有 r-IOO-j--y-IOO+4/-(2SR? 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