第12讲巧解圆的周长和面积二.docx
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第12讲巧解圆的周长和面积二
第12讲巧解圆的周长和面积
(二)
(1)圆上任意一点到圆心的距离相等。
(2)圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
(3)圆周率是一个无限不循环小数,圆周率是圆周长c与直径d的比值π=
。
(4)圆的面积S=πr2,这一公式的得来是用等分圆周逼近法求出来的。
(5)扇形是圆的一部分,圆心角是n度的扇形面积公式为S扇形=
.n先把圆周长2πr分成360份,每份长
,所以圆心角为n度的扇形的弧长为AB=
n=
n。
例1、两条爬行动物速度相同的小小虫同时从起点出发,分别沿A、
B两条拍到爬行(如右图),其起点部分于终点部分都是直道,中间绕过的是半圆形道。
如果跑道每道宽1.22米,要使它们同时到达各自的终点与跑道A的终点相距多少米?
解:
设跑道A的半径为R米,那么跑道B的半径为(R+1.22)米,在半圆部分产生了差距。
跑道A的半圆周长为πR米,跑道不B的半圆周长为π(R+1.22)米
两个半圆的长度差为π(R+1.22)-πR=π×1.22≈3.83(米),这就是跑道A、B相距的距离。
答:
跑道B的终点应与跑道A的终点相距3.83米。
做一做:
赤道是地球的“腰带”,它长约4万千米,如果这条想象的“长带”离开地球表面2米,那么,它会比原来长出多少米?
例2、如右下图,如果四个圆的半径为1厘米,求:
(1)阴影部分的总面积。
(2)四个圆盖住的总面积。
分析与解
(1)图中阴影部分是由四个圆的重叠部分形成的,这四个圆的四条直径围成个正方形,四个半圆的面积之和减去正方形的面积,就是阴影部分的面积:
2×π×
-22=2π-4=2.28(厘米2)
(2)四个圆盖住的总面积=4S圆–S阴
=4×π×12-2.28
=12.56-2.28=10.28(厘米2)
答:
阴影部分的总面积为0.57(厘米2),四个圆盖住的总面积为10.28(厘米2)。
做一做:
求右下图中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。
例3、如右图,其中圆的周长等于正三角形的一条边的边长。
该圆沿着三角形外周滚动一周,问:
圆自转了多少圈?
解:
在每条边上各一圈,共3圈;在每个角上各转
圈,共转1圈;总共转3+1=4(圈)。
做一做:
桌上放置着大小一样的两枚硬币,其中一枚硬币固定不动,另外一枚硬币沿着定币的外缘做无滑动的滚动。
当动币绕着定币滚动一周之后,动币自动转了几圈?
例4、如下图所示,一个圆正在五角星形的外侧,从A处开始做于正五角形的变相切(即紧靠边)的滚动。
如果BC长度等于圆周长,问:
当此圆滚动回到原出发点时(包括自转)共转了几圈?
解:
正五角星形每个角都是36°,没转过一个角,圆要转
=
圈,转5个角,合2圈;同时又要转10条边,总计12圈。
另外,当圆处在如果在如图的D、A、B位置时,圆并没有转过线段DA和AB,所以在凹角处,圆没有转圈。
因此,圆总计转2+10=12(圈)。
做一做:
如右图,若一个圆的周长等于一个正方形的边长,将此圆绕着正方形外侧滚动一周,则圆转了几圈?
?
例5、如下图,在一个大正方形里有一个小正方形里有一个小正方形ABCD,小正方形沿大正方形的变翻转,翻转两次后,求顶点B所划过的曲线的长度,并画出这一曲线(大正方形的边长为2厘米,小正方形的边长为1厘米)。
解:
B点轨道是两条弧,弧的半径为1厘米,圆心角为90°,一条弧长为
×90=
π
所以,两条弧共长
π×2=π≈3.14(厘米)。
答:
顶点B所划过的曲线的长度是3.14
做一做:
有一个边长为1的等边三角形,现将三角形沿水平线翻动,如下图所示,B点从开始的位置到结束的位置,它所经过的路线总长度是多少?
例6、如图1,大轮B是个定轮,小轮A沿B轮的外沿滚动。
问:
(1)图1中,若小轮A公转一周所扫过的面积是301.44厘米2,则小轮A的半径是多少?
图
(2)中,小轮的圆心A所划出的图形是什么曲线?
周长是多少?
(你可以用硬币进行试验)
解:
(1)小轮扫过的面积是一个圆环,其面积为301.44厘米2。
根据题意有π(R+2r)2-πR2=301.44
3.14×(5+2r)2-3.14×52=301.44
3.14×(5+2r)2=301.44+3.14×52
(5+2r)2=(5+6)2
r=3(厘米)
(2)圆心A所划出的曲线是一个圆,如图2,其半径为(R+r)圆周长l为:
L=2π(R+r)=2π×(5+3)=50.24(厘米)
答:
小轮A的半径是3厘米,圆心A划出的图形是一个圆,周长是50.24厘米。
做一做:
有一个边长为1厘米的等边三角形,现将三角形沿水平线翻动,如果这个三角形的面积近似为0.87平方厘米,求三角形运动时所扫过的面积。
例7、取八枚大小相同的硬币,摆成图
(一)形状。
最上端那个硬币(圆A)顺着排成圈6个硬币滚动着旋转一周。
问:
硬币A自己一共旋转了几圈?
分析与解:
如图
(二),首先我们把硬币A、硬币B和硬币C上的圆周都平均分成6份,得到等分点A1、A2、A3....B1、B2、B3……C1、C2、C3·····相邻两点的弧长都是整圆周长的
。
开始时硬币A上的A1点和硬币B上的B1的接触,硬币A从B1点出发,沿圆弧到B2点(和A2重合,圆A滚过了60°),同时使硬币A上的另一点A3和硬币C上的C1点重点,硬币A再演圆弧到达C2点(此时和A4重合,圆A又滚动了60°),所以这时圆A一共滚过了120°,这也就相当于硬币A绕硬币B滚过了
圈。
由于这些圆的半径都相等,硬币A在B、C、D、E、F、G这六个圆上所滚过的弧长都相等,都等于其中一个圆周长的
,即在每个圆上都滚过了
圈。
所以硬币A顺着排成圈的6个硬币滚动着旋转一周,一共滚动过了(
×6)圈。
考虑硬币A的自转,它一共旋转的圈数为;
解(1+1)×
×6=4(圈)
小结:
可以得出硬币A旋转的图数是
×6的2倍,即硬币A绕自己的中心一共旋转了
×6×2=4图。
做一做:
如图,小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动,小正六边形的边长时大正六边形边长的一半。
如果小正六边形沿大正六边形的边滚动一周后回到出发时的位置,那么在这个过程中,线段OA绕O点旋转了几圈?
巧练习——温故知新
1、如下图,所有圆弧都是半圆,最大半圆AB长为36厘米,求阴影部分部分图形的周长(A、B、C、在一条直线上)。
2、钟楼上的一只大钟的秒针长1米,这根秒针的尖端一天要走多少米?
3、如右图所示,桌面上放真一块木板,板上有一个圆孔,孔内有一个小圆板,小圆的直径刚好等于大圆的半径。
将小圆板滚动,问:
(1)小圆的圆心在滚动时画出的是什么样的曲线?
如果大圆的周长是10厘米,那么小圆的圆心Q2在运动时画出的曲线有多长?
(2)小圆的圆周上有一点B,如图所示,它正好与大圆的A重合,将小圆紧贴着大圆滚动下去,请你把所有这样的与B点重合的大圆上的点标出来。
(3)圆中小圆上有一个箭头,正处于水平位置,指向左方,那么在小圆滚动的过程中,这个箭头向时小圆在什么位置?
把所有这样的位置都画出来。
4、大雪后的一天,小亮和爸爸共同测一圆形花圃的直径。
他们沿着花圃圆周行走,他俩的起点和走向的方向完全相同,小亮每步54厘米,爸爸每步长72厘米,由于俩人的脚印有重合,所以雪地上只留下60个脚印。
求这个花圃直径。
5、两个五分的硬币放在桌面上,一个硬币固定不动,另一个硬币紧贴着这个硬币的边缘,并绕着它转动一周,当这个硬币在回到原来的位置时,它自身转了几周?
(你可以试一下)
6、青湖一条直线,将下图中的五个圆分成面积相等的两部分。
7、如下图,在正方形内有一个圆(内切圆),圆内又有一个内接正方形,顶点在圆周上,如此继续作图。
设大正方形面1,求从外到内数第二个正方形的面积,第四个正方形的面积及第n个正方形的面积。
8、如下图,有一只被栓在一个建筑物墙角上,这个建筑物是边长都等于6米的等边三角形,绳子是8米。
求绳被狗拉紧时,狗运动后所围成的区域或面积。
9、如下图,两个用纸片剪成的正方形放在桌面上,小正方形ABCD的面积为20米2,大正方形OPQR的面积为36米2。
如果大正方形顶点O落在小正方形中心O上并以O为圆中心不停的旋转。
(1)求大正方形旋转所扫过的面积:
(2)大正方形于小正方形重叠部分(如图中阴影部分所示)的位置于形状在不断变化,那么大正方形转到什么位置时,重叠部分的面积最大?
为什么?
10、如下图所示,一个正方形边长为10厘米,内有一个半径为2厘米的圆片贴紧着正方形的内壁运动,求他扫过的面积。
11、有一机械装置如下图所示,杆长AB=50厘米,干端上链接一个小圆片,半径为5厘米。
干AB如图那样运动,其运动的最大角度是60°,求小圆片所所扫过的面积。
12、当一个圆盘沿着一个直径是它的两倍的圆盘内壁无滑动旋转一周时,小圆盘自转几圈?
13、一个圆在如下图所示的去西安内壁滚动一周,圆自身转了几圈?
14、正方形ABCD沿着直线l“滚动”。
当A点再次接触直线l时,正方形的半条对角线OA再滚定过程中扫过的面积如图中的阴影部分所示。
设OA厘米,求阴影部分的面积。
15、如图,一头羊被7米长的绳子栓在正五边形建筑的一个顶点O上,建筑物边长3米,周围都是草地,这头羊能吃到的草地上的面积多少平方米?
(π≈3)
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- 12 讲巧解圆 周长 面积