1、第12讲巧解圆的周长和面积二第12讲 巧解圆的周长和面积（二）（1） 圆上任意一点到圆心的距离相等。（2） 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。（3） 圆周率是一个无限不循环小数，圆周率是圆周长c与直径d的比值=。（4） 圆的面积S=r2，这一公式的得来是用等分圆周逼近法求出来 的。（5） 扇形是圆的一部分，圆心角是n度的扇形面积公式为S扇形=.n先把圆周长2r分成360份，每份长，所以圆心角为n度的扇形的弧长为AB= n = n。例1、两条爬行动物速度相同的小小虫同时从起点出发，分别沿A、B两条拍到爬行（如右图），其起点部分于终点部分都是直道，中间绕过的是半圆形道。如果跑道
2、每道宽122米，要使它们同时到达各自的终点与跑道A的终点相距多少米？解：设跑道A的半径为R米，那么跑道B的半径为（R+122）米，在半圆部分产生了差距。跑道A的半圆周长为R米，跑道不B的半圆周长为（R+122）米两个半圆的长度差为（R+122）-R=122383（米），这就是跑道A、B相距的距离。答：跑道B的终点应与跑道A的终点相距383米。做一做：赤道是地球的“腰带”，它长约4万千米，如果这条想象的“长带”离开地球表面2米，那么，它会比原来长出多少米？例2、如右下图，如果四个圆的半径为1厘米，求：（1）阴影部分的总面积。（2）四个圆盖住的总面积。分析与解 （1）图中阴影部分是由四个圆的重叠部
3、分形成的，这四个圆的四条直径围成个正方形，四个半圆的面积之和减去正方形的面积，就是阴影部分的面积:2-22=2-4=228（厘米2）(2)四个圆盖住的总面积=4S圆 S阴=412-228=1256-228=1028（厘米2）答：阴影部分的总面积为057（厘米2），四个圆盖住的总面积为1028（厘米2）。做一做：求右下图中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。例3、如右图，其中圆的周长等于正三角形的一条边的边长。该圆沿着三角形外周滚动一周，问：圆自转了多少圈？解：在每条边上各一圈，共3圈；在每个角上各转圈，共转1圈；总共转3+1=4(圈)。做一做：桌上放置着大小一样的两枚硬币，其中一枚硬币固定不动
4、，另外一枚硬币沿着定币的外缘做无滑动的滚动。当动币绕着定币滚动一周之后，动币自动转了几圈？例4、如下图所示，一个圆正在五角星形的外侧，从A处开始做于正五角形的变相切（即紧靠边）的滚动。如果BC长度等于圆周长，问：当此圆滚动回到原出发点时（包括自转）共转了几圈？解：正五角星形每个角都是36，没转过一个角，圆要转=圈，转5个角，合2圈；同时又要转10条边，总计12圈。另外，当圆处在如果在如图的D、A、B位置时，圆并没有转过线段DA和，所以在凹角处，圆没有转圈。因此，圆总计转（圈）。做一做：如右图，若一个圆的周长等于一个正方形的边长，将此圆绕着正方形外侧滚动一周，则圆转了几圈？例、如下图，在一个大正
5、方形里有一个小正方形里有一个小正方形ABCD，小正方形沿大正方形的变翻转，翻转两次后，求顶点B所划过的曲线的长度，并画出这一曲线（大正方形的边长为2厘米，小正方形的边长为1 厘米）。解：B点轨道是两条弧，弧的半径为1厘米，圆心角为90，一条弧长为 90=所以，两条弧共长2=3.14（厘米）。答：顶点B所划过的曲线的长度是3.14做一做：有一个边长为1的等边三角形，现将三角形沿水平线翻动，如下图所示，B点从开始的位置到结束的位置，它所经过的路线总长度是多少？例6、如图1，大轮B是个定轮，小轮A沿B轮的外沿滚动。问：（1）图1中，若小轮A公转一周所扫过的面积是301.44厘米2，则小轮A的半径是多
6、少？图（2）中，小轮的圆心A所划出的图形是什么曲线？周长是多少？（你可以用硬币进行试验）解：（1）小轮扫过的面积是一个圆环，其面积为301.44厘米2。根据题意有（R+2r）2-R2=301.443.14（5+2r）2-3.1452=301.443.14（5+2r）2=301.44+3.1452（5+2r）2=（5+6）2r=3（厘米）(2)圆心A所划出的曲线是一个圆，如图2，其半径为（R+r）圆周长l为：L=2(R+r)=2（5+3）=50.24（厘米）答：小轮A的半径是3厘米，圆心A划出的图形是一个圆，周长是50.24厘米。做一做：有一个边长为1厘米的等边三角形，现将三角形沿水平线翻动，如
7、果这个三角形的面积近似为0.87平方厘米，求三角形运动时所扫过的面积。例7、取八枚大小相同的硬币，摆成图（一）形状。最上端那个硬币（圆A）顺着排成圈6个硬币滚动着旋转一周。问：硬币A自己一共旋转了几圈？分析与解：如图（二），首先我们把硬币A、硬币B和硬币C上的圆周都平均分成6份，得到等分点、A 2、A 3.B1、B2、B3C1、C2、C3相邻两点的弧长都是整圆周长的。开始时硬币A上的点和硬币B上的B1 的接触，硬币A从B1 点出发，沿圆弧到B2点（和A2重合，圆A滚过了60），同时使硬币A上的另一点A3和硬币C上的C1点重点，硬币A再演圆弧到达C2点（此时和A4重合，圆A又滚动了60），所以这
8、时圆A一共滚过了120，这也就相当于硬币A绕硬币B滚过了圈。由于这些圆的半径都相等，硬币A在B、C、D、 E、F、G这六个圆上所滚过的弧长都相等，都等于其中一个圆周长的 ，即在每个圆上都滚过了圈。所以硬币A顺着排成圈的6个硬币滚动着旋转一周，一共滚动过了（6）圈。考虑硬币A的自转，它一共旋转的圈数为；解(1+1)6=4（圈）小结：可以得出硬币A旋转的图数是6的2倍，即硬币A绕自己的中心一共旋转了62=4图。做一做：如图，小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长时大正六边形边长的一半。如果小正六边形沿大正六边形的边滚动一周后回到出发时的位置，那么在这个过程中，线段绕点旋转了
9、几圈？巧练习温故知新1、如下图，所有圆弧都是半圆，最大半圆AB长为36厘米，求阴影部分部分图形的周长（A、B、C、在一条直线上）。2、钟楼上的一只大钟的秒针长1米，这根秒针的尖端一天要走多少米？3、如右图所示，桌面上放真一块木板，板上有一个圆孔，孔内有一个小圆板，小圆的直径刚好等于大圆的半径。将小圆板滚动，问：（1）小圆的圆心在滚动时画出的是什么样的曲线？如果大圆的周长是10厘米，那么小圆的圆心Q2在运动时画出的曲线有多长？（2）小圆的圆周上 有一点B，如图所示,它正好与大圆的A重合，将小圆紧贴着大圆滚动下去，请你把所有这样的与B点重合的大圆上的点标出来。（3）圆中小圆上有一个箭头，正处于水平
10、位置，指向左方，那么在小圆滚动的过程中，这个箭头向时小圆在什么位置？把所有这样的位置都画出来。4、大雪后的一天，小亮和爸爸共同测一圆形花圃的直径。他们沿着花圃圆周行走，他俩的起点和走向的方向完全相同，小亮每步54厘米，爸爸每步长72厘米，由于俩人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。求这个花圃直径。5、两个五分的硬币放在桌面上，一个硬币固定不动，另一个硬币紧贴着这个硬币的边缘，并绕着它转动一周，当这个硬币在回到原来的位置时，它自身转了几周？（你可以试一下）6、青湖一条直线，将下图中的五个圆分成面积相等的两部分 。7、如下图，在正方形内有一个圆（内切圆），圆内又有一个内接正方形，顶点在圆周上
11、，如此继续作图。设大正方形面1 ，求从外到内数第二个正方形的面积，第四个正方形的面积及第n个正方形的面积。8、如下图，有一只被栓在一个建筑物墙角上，这个建筑物是边长都等于6米的等边三角形，绳子是8米。求绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的区域或面积。9、如下图，两个用纸片剪成的正方形放在桌面上，小正方形的面积为米，大正方形的面积为米。如果大正方形顶点落在小正方形中心上并以为圆中心不停的旋转。（）求大正方形旋转所扫过的面积：（）大正方形于小正方形重叠部分（如图中阴影部分所示）的位置于形状在不断变化，那么大正方形转到什么位置时，重叠部分的面积最大？为什么？、如下图所示，一个正方形边长为厘米，内有一个半径
12、为厘米的圆片贴紧着正方形的内壁运动，求他扫过的面积。11、有一机械装置如下图所示，杆长厘米，干端上链接一个小圆片，半径为厘米。干如图那样运动，其运动的最大角度是，求小圆片所所扫过的面积。12、当一个圆盘沿着一个直径是它的两倍的圆盘内壁无滑动旋转一周时，小圆盘自转几圈？13、一个圆在如下图所示的去西安内壁滚动一周，圆自身转了几圈？14、正方形沿着直线“滚动”。当点再次接触直线时，正方形的半条对角线再滚定过程中扫过的面积如图中的阴影部分所示。设OA厘米，求阴影部分的面积。15、如图，一头羊被7米长的绳子栓在正五边形建筑的一个顶点O上，建筑物边长3米，周围都是草地，这头羊能吃到的草地上的面积多少平方米？（3）
