精品概率论与数理统计第五章练习答案郝志峰docx.docx
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概率论与数理统计第五章习题
1•解:
设醍甲击中目标的次数,则§的所有可能取值是0,1,2;并服从二项分布B(2,0・8)。
设〃是乙击中目标的次数,则〃的所有可能取值也是0,1,2;并服从二项分布B(2,0.6)o于是二维随机变量(f,/的所有可能取值对是(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)。
对应的概率为:
p(§=0,7;=0)=(1-0.8)2*(1-0.6)2=0.0064;
P(§=0,77=1)=(1-OS)?
*c;(l-0.6)*0.6=0.0192;
P(§=0,帀=2)=(1-0.8)2*062=0.0144;
p(f=1,”=0)=C;(l-0.8)*0.8*(1一0.6)2=0.0512;
P(§=1,帀=1)=C;(1一0.8)*0.8*C;(1一0.6)*0.6=0.1536;
P(§=1刀=2)=C;(l-0.8)*0.8*0.62=0.1152;
P(§=2,"=0)=0.82*(1一0.6)2=0.1024;
P(f=2,"=1)=0.82*C;(l一0.6)*0.6=0.3072;
p(f=2.TJ=2)=0.82*0.62=0.2304.
即(§,〃)的联合概率分布列为
><
0
1
2
0
0.0064
0.0192
0.0144
1
0.0512
0.1536
0.1152
2
0.1024
0.3072
0.2304
2•解:
W)所有可能取值对是(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。
对应的概率分别为:
P©=0疋2=0)=0・1;(即抽到三等品);P(^=0,^2=l)=0.1;(BP抽到二等品)P(fi=1,^2=0)=0.8;(BP抽到一等品);P©=1,良=1)=0
(即抽到的产品同时是一等品和二等品,不可能事件)。
即(§1,歹2)的联合概率分布列为:
0
1
0
0.1
0.1
1
0.8
0
3•解:
根据P(^2=0)=1可知:
P©=0,臭=—l)+P(6=0,冬=。
)+
P(f[=0,§2=1)+P(§1=1,§2=0)+P(§1=一1,§2=0)=lo
利用离散型随机变量所有可能取值对应的概率非负,并且和等于1,得到:
P(§1=一1,§2="I)=卩(§1=-1^2=1)=P(§1=="I)=P(§1=1,§2=1)=0。
2
=——arctanen
又利用$和冬的边缘分布可以得到eg的联合概率分布列为:
-1
0
1
・i
0
1/4
0
1/4
0
1/4
0
1/4
1/2
1
0
1/4
0
1/4
1/4
1/2
1/4
4•解:
根据§的概率密度可知:
2
于是P(§>1)=1arctane,从而对k=1,2,有:
n
22
P(f&>1)=1arctane9P(^k<1)=一arctane.
7Tn
(〃1,“2)的所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),对应的概率为:
2
P(〃1=0,〃2=0)=P0>1,§2>1)=P@1>1)P(§2>1)=(1——arctane)2
7T
22
P(JJi=0,^2-1)=P(^i>1,^2-1)-P©>1)P(§2-1)-(1arctane)一arctane
"7T7T
22
P(TJi=1,〃2=°)=Pg<1,§2>1)=P(?
i-1)卩(§2>1)=—arctane(larctane)
•…•…n兀
2
Pg=I,%=D=P(3<1,§2<1)=P© 所以(弘,“2)的联合分布列为: 0 1 0 (1-—arctan^)2n *22 (1arctane)—arctane nn 1 22 (1arctane)一arctane nn 2、2 (—arctane)n 5•解: ⑴1=\+O9\+O9f(x,y)dxdy=f+°°\+°°Ae~(3x+4y)dxdy=e~3xdx[+o°e~4ydy=— J-8j—8JoJoJoJo]2 所以A=12・ (2)当工<0或者y<0时,联合密度函数f(x,y)=0,于是对应的分布函数F(x,y)=0.当x>0,j>0时,f(x,y)=A2e~(3x+4y)于是对应的分布函数: F(x,y)=12e~(3x+4y)dxdy=(e~3x-l)(e~4y-1). 因此: F(x,y)=< (e~3x一l)(gW-1),当工>U,y>0时 0,当x<0或者y<0时 (3)P(0<^<3,0<^<4)=F(3,4)-F(0,4)-F(3,0)4-F(0,0)=(e~9一l)(e"16一1). 6•解: 由于D的面积为2,所以(§,〃)对应的概率密度是: -l f(x,y)=<2 0,其他 (i)当x<-l或者兀>1时,/(x,j)=0,于是对应的边缘分布心(兀)=0; (ii)当一15兀50时,一1一兀WyWx+l,对应的概率密度是・/*"』)=丄,于是 2 f1+X1 f^=].^X2dy=1+x; (iii)当0 小)=f鳥gi; 1+兀, 因此: -l 0 7•解: ⑴根据°+2*丄+3*丄+4*丄=1,可得: 81216 (12 (2疋的边缘分布为: 11 4 (12 "的边缘分布为: 2513 U848 3 1 4 3 7 48 4) 1; 4) /I、 16> (3)P(§=7J)=P(§=1,7]=1)+P(§=2,7]=2)+P(§=3,"=3)+P(§=4刀=4) 111125 481216_48* 8•解: 对任意的兀,y,满足: 兀n 1=F(+oo,+oo)=A(B+-)(C+-) 22 V{0=F(-8』)=A(B)(C4-arctan—) 23 X7T 0=F(x,-«>)=A(B+arctan—)(C) 22 利用兀{的任意性可知: b=c=-,AMa=4-・ 27T ME)唸"5古1+暑)2]+舊专越浪 1jrX.7E7T\7TX (3)边缘分布函数Ft(x)=F(x,+oo)=—(—+arctan—)(—+—)=—(—+arctan—),所以旷22227C22 龙4+兀2 边缘密度函数心(x)="(x)专亓會尹21边缘分布函数Fn(y)=F(+°°,丿)=A(兰+—)(—+arctan—)=—(—4-arctan丄),所以 “龙22223n23 边缘密度函数")曲心册 9•解: P(77<^2)=Jo(Jo~e2dy)dx=Jod-2)dx=1-e2dx =1一V2J(0 (1)-0(0))=1-72^(0.8413一0.5)=0.1445・ 其中①(兀)为标准正态分布的分布函数・ 2 (2x-+2cx)dx=—4-c, 10解 (1)1=匚匚7",y)dxdy=£[f(/x2+cxy^x=J(: 所以c二・ 3 (2)利用F(x9y)=\X[Vf(x,y)dxdy,下面我们对兀*的范围分情况进行讨论・ J—OOJ—8 (i)当兀<0或者丿<耐,概率密度/(x,j)=0,于是F(兀,刃=0; (ii)当兀>1并且y>2时,F(兀,y)=\+°°roOf(x9y)dxdy=1; J—OOJ—OO (iii)当0SW1并且0352时, F(x,y)=「fJf(x,y)dxdy J—OOJ—8 =J: J: (宀討呛dx=f^(x2y+^xy2)dx=^x3y+^x2y2; ■■ (iv)当0 F(x9y)=F(x,2)=^x3+-x2; QJ (v)Sx>1并且0Wy<2Bt, F(x,j)=F(1,j)=|j+^j2; 因此: 0, 丄兀3丄工2 312 2312 _X+_X9 33 —y+—y9 312* X<0或者y<0 0 0 x>l^K0 兀>1并且丿>2 f^(x)=^f(x9y)dy=< f2? 192 Jo(x+3XJ)^=2x+3X, 0, 0 其他 帀的边缘密度函数为: /"(刃=J「7(x,y)dx=J」"+3XJ^X-3+6J,F0, 0 其他 (3疋的边缘密度函数为: 厶3)=匸必=丄(2e 0, (2x+y))dx=e-y, (4)当y>2或者yv0时,几(y)=0,于是f(x\y)= A(j) 当0<丿52时,J)=y+$丿,于是 于是当yvo时,/〃(y)=0,所以f(x\y)=f^X;^没有定义;frj(y) 2e~(2x+y)a-2x 当八。 时,= =2e 12•解: ⑴由于§服从区间(0,1)上的均匀分布,所以: 1,0 0,其他 又根据^=x(0 1丫 f(y\x)=< ;,^pvl 1-X 0,其他 因此,(§,〃)的联合密度函数为: ] 其他 /(x,j)=f^(x)f(y\x)= 0, (2)帀的边缘密度为: 0 [y—-—dx--ln(l-j), 其他 Joi-兀' 0, (3)P(f+〃>"J也甘+=In2・ 13•解: 根据联合分布列的性质及“是独立的随机变量可得 A+B=- 3 11A八 〔939 1111ad* —+—+—+—+A+B=1 69183 1A11W1▲、 —=(—+—+—)(—+A) [969189 21 解得: 人==§•・ 代入联合分布列验证可知: “的确是独立的随机变量 于是根据边缘分布以及 是独立随机变量: - P1= 3P1 Pie P11 P.1 丄12 一一 1-8 1一24 1-4 = 2 P1 - 12“ "P - 2 1-8-1-41 6 1 3 14•解: 设(§刀)的概率分布为P(^=xi9fj=yj)=Pij,i=1,2;J=1,2,3- —*—+**——— 423422 P23=P・3-P13=+-+=寺因此,联合分布列如下表: J1 1/24 1/8 1/12 1/4 兀2 1/8 3/8 1/4 3/4 1/6 1/2 1/3 1 31 15•解: 由于仙分别是参数为牛,斗的0-1分布,所以: "11=3 0 1 1 Poo+P01=N 3 4 1 Poo+Pio=— P10+P11 Pll=亍解得: \ Poo=T, P1Q=7 4联合分布列为 Poi~°・ 0 0 1/4 1 1/4 1/2 16•解: (DF^(x)=F(x,+oo)=< 18•解: ⑴利用f,"是独立的随机变量 (2)P(§W1I">0)=P(§<1)=\\^~xdx=1-e~l. 19解 0 1 0 0.1 0.1 1 0.8 0 E&=0.8,E^2=0.1;E^2=0.8,E^22=0.1; D&=砖=016,D§2=^2-(^2)2=0.09; E^2=0*(0.1+0.8+0.1)+1*0=0; 于是Cov(^^2)=E^^2-E^E^=-0.08; C"(勺念2) 20•解: ⑴由于/(兀)是定义在(-oo,+oo)上的偶函数,于是灯(工)是定义在(-8,2)上的奇函数, 因此=f+xf(x)dx=0. "J—OO f+8 =-Jo X2f(x)是定义在(-8,2)上的偶函数, E§2=r°°x2f(x)dx=2广x2f(x)dx=2pX2 J-8JOJO =-x2e"x^^2xe-xdx=-^2xde~x=-2xe~x+2e~xdx=-2e~x=2; 于是Df=E§2—(e§)2=2. (2)同样,兀|x|/(x)是定义在(一8,2)上的奇函数,所以|)=「二Ix|f(x)dx=0, J—OO 因此,Co陀,|§|)=£©§|)-E(f)E(|§I)"-0"(|§|)=0・ ⑶由于廊|§|的协方差为0,即典|§|不相关•又因为对任何使0v伦(a)v啲正常数a,我们有P(§")v1,于是 所以與|§|不独立. 21.解: ⑴砖=匚匚灯gyg=血U二yf(x9y)dxdy=Jo[ldy(2-x—y)dx^ly閉訂二匚円(x,yg寸;[胆(2_乂_恥dx=^x2e沪可二丿二几“‘皿❻寸;[j>2(2一尢一皿啊易$ D^=E^2-(E^)2=--(—)2=—;D77=E772-(Et7)2=--(—)2= 412144412 二=J;[j: ®(2-x-yXydx= Cov(^rj)=E切-EgEq=|-(^)2=一占; D(£+〃)=珂+D”+2Co陀,“)=昔+昔+2 (二)=学 14414414436 (2)协方差不等于0,所以相关,因此也不独立. 22•解: 先求的边缘密度函数炉兀),厶(刃・ 当工<0或者兀>1时,概率密度函数/(兀,y)=0,所以心(兀)=0; 当05兀51时,(兀)=『f(x9y)dy=2xe~{y~b)dy=2x;因此: 2x90 0,其他 当y<5时,概率密度函数/(工,y)=0,所以«(刃=0; 当y>50^,frj(y)=fix,y)dx=£2xe_(v_5)rfx=小宀;因此: f7j(y)= 广Z,j>5 0,J<5 由于/(兀,刃=(兀)厶(刃,所以相互独立. E(切)=EgEq=((兀*2xdx)(^ye~(y~5)dy)=4. 23•解: 设两台仪器无故障工作时间为随机变量$,§2,于是有: 5严 0, 设随机变量〃对应的分布函数为F,t),当/<0时,显然耳(r)=o; P(“<0=P(5+爲")訂;卩二=[厶广弘口—广讯〜小血=l-e~5t-5te~5t 1-产一5/严, 0, 5e~Sx*5e~Sydy 所以: F^(0= t>0 t<0 25te~st 0, 因此: 概率密度如⑴=答巴=期望Et]=*25te~5tdt=一广 =-广2tde~5t=f+°°2e'5tdt=--e JoJo5 Etj2=j^t2*25te~sidt=5t3de~5t=J;方差”=Erj2-(Erj)2=^--(|)2=箱. r>o t 5t2de~5t=jo 2 5 +^l5t2e-stdt —5f]+8Io 25525 当(>o时, 24•证明: 独立,所以有: f(x9y)=f^(x)f7J(y). 于是: Vik=E(^i7]k)=ykf(x,y)dxdyykf^(x)f^iyjdxdy =J二必叮二•/“(y)狞=EgiEqk=viQvQk; %=E心 =f+°°J+OO(x-E^y(y-ET])kf(x,y)dxdy J—ooJ—oo =-E^y(y-Eq)kf^(x)frJ(y)dxdy p+oof+oo• =J(X-E^yf^(x)dx*J_8(y一Eq)kf7j(y)dy =E@-E打E(rj-EtiT=角皿; Coy(§,〃)=E((§-E§)(〃一Etj))=“口=如“心=一E§)E(q-Etj)=0. 25•证明: 根据题意可知: =P(A),Et]=P(B); 又因为P(初=1)=P(f=1,4=1)=P(AB\P^7]=0)=1-P(AB),于是E(切)=P(AB)•由于中=0,可知: Cov(^,7/)=0. 因此0=Cov(^tj)=E(切)-EgErj=P(AB)-P(A)P(B); 即事件A和事件B相互独立•于是,A与瓦不与B,不与臣也相互独立・p(§=1,^=1)=P(AB)=P(A)P(B)==1)P(〃=1); P(§=1,7]=0)=P(AB)=P(A)P(B)=P(§=1)P(7]=0); p(§=0,4=1)=P(AB)=P(A)P(B)=P(§=0)P(r]=1); p(g=0,q=0)=P(AB)=P(A)P(B)=P(§=0)P(7]=0);从而帀相互独立・ 于是 26•解: 由于§和“服从正态分布N(o£),可知服从正态分布N(0,l)・乙 X2・X2 £(1§-〃|2)=广|」 <—OO cI2^=e2dx=\^x2^=e2dxa/2兀yjln 风一处(冷_处]2」_扌. 27•解: 根据题意有: E§==0;D§=9,Dtj=16. Cov(§,? ])=—*3*4=_6・ (1)E匚=E(£+号)=|e(^)+|e(^)=J, D<=。 (£+£)=*毗)+扫(〃)+2*存"(仙) =*。 (歹)+占。 (")+*(? 0卩(歹,") =丄*9+丄*16+丄*(-6)=3・ 943 (2)Cou6G 丄*9+丄*(_6)=0・ 32 所以§和了的相关系数也为0. (3)对于二维正态分布,不相关和相互独立等价•所以f和了相互独立・ 28•解: 设f(x,y)是二维随机变量6,冬)的概率密度函数・ Fjj(z)=p(7] x2+y2^z 当z<0时,耳(z)=0; 当z>0时, F"(z)=JJf{x,y)dxdy=JJ(x)f^(y)dxdy x2+y2^zx2+y2^z _xi_/2[_ri■ =e2e2dxdy=「”e2*rdrdO 2JJ2InJ。 In x2+y2 丄 =1-e 二 e彳,z>0 于是〃的概率密度函数为几匕)=岂旦 dz 丄厂, 2 0, 29•解: “的概率密度函数为别为 [_(一“) fZg& A(J)=52兀 0,函数为①(兀)・由于相互独立,于是根据卷积公式: 『+8『龙 上⑵=L办(z-yV7j(y)dy=J”y) 设标准正态分布的分布 一・(z-y-U) =e2 J-兀In 11£1 2”巳厉27T a -K 其他 dy In (2-丿-“严 dy=|*龙[e2/2与 2兀」一龙Ji云r ①(土二^)-①(4^) 0,z<0 30•解: 设事件A=a^ 35 根据题意P(AB)=P(^<1,77<1)=P(max(^,^) 8o P(AB)=P(A\JB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=-・ 8 7P(min (1)=1-P(min(f,〃)>1)=1一P(f>1,">1)=1-P(AB)=-. 8 31•解: (1)(41,%)的所有可能取值为 由于】 大值不可能比〕 小值要小, (I,J),i=1,2,3;J=1,2,3. 所以 P(〃1=1,〃2=2)=P(〃1=1,帀2=3)=pg=2,02=2)=0; Pg=1,〃2=1)=P©=1^2=1)=PG=1)卩忆2=1)=|*|=|; P(〃i=2,帀2=2)=P(§i=2,§2=2)=P(§i=2)P(§2=2)=—*—=—;pg=3,“2=3)=p©=3,§2=3)=P©=3)P(§2=3)=|*|=|; 2 P(“1=2,“2=! )=P(§1=1,§2=2)+P(§1=2,§2=1)=-; P(〃l=3,“2=1)=P(§1=1,§2=3)+P(§1=3,§2=1)=^; 2 P(〃i=3,7/2=1)=P(§i=3,§2=2)+P(§i=
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