1、精品概率论与数理统计第五章练习答案郝志峰docx概率论与数理统计第五章习题1 解：设醍甲击中目标的次数，则的所有可能取值是0,1,2；并服从二项 分布B(2,08)。设是乙击中目标的次数，则的所有可能取值也是0,1,2;并 服从二项分布B(2,0.6)o于是二维随机变量(f,/的所有可能取值对是(0,0),(0,1), (0,2),(1,0),(1,1), (1,2),(2,0),(2,1), (2,2)。对应的概率为:p( = 0,7； = 0) = (1- 0.8)2 *(1-0.6)2 = 0.0064;P( = 0,77 = 1) = (1- O S)? * c；(l - 0.6)*
2、0.6 = 0.0192;P( = 0,帀=2) = (1 - 0.8)2 * 0 62 = 0.0144;p(f = 1,” = 0) = C；(l - 0.8)* 0.8 * (1 一 0.6)2 = 0.0512;P( = 1,帀=1) = C；(1 一 0.8)* 0.8 * C；(1 一 0.6)* 0.6 = 0.1536;P( = 1刀=2) = C；(l - 0.8)* 0.8 * 0.62 = 0.1152;P( = 2, = 0) = 0.82 * (1 一 0.6)2 = 0.1024;P(f = 2, = 1) = 0.82 * C；(l 一 0.6)* 0.6 = 0
3、.3072;p(f = 2.TJ = 2) = 0.82 * 0.62 = 0.2304.即(,)的联合概率分布列为1) = 1 arctan e,从而对 k = 1，2,有:n2 2P(f& 1) = 1 arctan e9P(k 1,2 1)= P1 1)P(2 1) = (1 arctan e)27T2 2P(JJi = 0,2 - 1) = P(i 1,2 - 1) - P 1)P(2 - 1) - (1 arctan e)一arctan e 7T 7T2 2P(TJi = 1，2 = ) = Pg 1)= P(?i - 1)卩(2 1)= arctan e(l arctan e) n
4、 兀2Pg = I,% =D = P(3 1，2 1)= P DP 1)= (-arctan e)2 7C所以(弘,“2)的联合分布列为：010(1-arctan )2 n* 2 2(1 arctan e)arctan en n12 2(1 arctan e) 一 arctan en n2 、2(arctane) n5解:1 = +O9+O9f(x,y)dxdy =f+ + Ae(3x+4y)dxdy = e3xdx+oe4ydy =J-8 j8 Jo Jo Jo Jo 2所以A = 12(2)当工 0或者y 0,j 0时，f(x,y) = A2e(3x+4y)于是对应的分布函数：F(x,y)
5、 = 12e(3x+4y)dxdy = (e3x - l)(e4y -1).因此：F(x,y) = U, y 0时0, 当x0或者y0时(3)P(0 3,04)= F (3,4) - F (0,4) - F (3,0) 4- F (0,0) = (e9 一 l)(e16 一 1).6解：由于D的面积为2,所以(,)对应的概率密度是:-lx+jl-lx-J1f(x,y) = 20, 其他(i)当x1时，/(x,j) = 0,于是对应的边缘分布心(兀) = 0；(ii)当一 15兀5 0时，一1一兀WyWx + l,对应的概率密度是/*)=丄，于是2f 1 + X 1f = .X2dy = 1+x
6、;(iii)当0xW,-l+x j-x + l,对应的概率密度是= 于是小)=f鳥gi;1+兀,因此:-lx00x(3)P( = 7J)= P( = 1,7 = 1)+ P( = 2,7 = 2)+ P( = 3, = 3) + P( = 4刀=4)1 1 1 1 254 8 12 16_ 48 *8解：对任意的兀，y,满足:兀 n1= F(+oo，+oo) = A(B + -)(C + -)22V 0 = F(-8)=A(B )(C4-arctan)2 3X 7T0= F(x,-) = A(B + arctan )(C )2 2利用兀的任意性可知：b = c = -,AMa = 4-2 7T
7、ME)唸5古1+暑)2 +舊专越浪1 jr X. 7E 7T 7T X(3)边缘分布函数 Ft(x)= F(x,+oo) = ( + arctan )( + ) = ( + arctan )，所以 旷 2 2 2 2 7C 2 2龙4+兀2边缘密度函数心(x)=(x)专亓會尹 2 1 边缘分布函数 Fn(y)= F(+,丿)=A(兰 + )( + arctan ) = (4-arctan丄),所以“ 龙2 2 2 2 3 n 2 3边缘密度函数）曲心册9 解：P(772) = Jo(Jo e 2dy)dx = Jo d - 2 )dx = 1 - e 2 dx=1 一 V2J(0(1)- 0(
8、0) = 1 -72(0.8413 一 0.5) = 0.1445 其中(兀)为标准正态分布的分布 函数, 2(2x- + 2cx)dx = 4- c,10 解(1)1 =匚匚7，y)dxdy =f(/x2 + cxyx = J(： 所以c二3(2)利用F(x9y)=X V f(x,y)dxdy,下面我们对兀*的范围分情况进行讨论JOO J8(i)当兀 0或者丿 1 并且y 2时,F(兀,y) = +roOf(x9y)dxdy = 1；JOO JOO(iii)当0 S W 1并且 0 3 5 2时，F(x,y) =fJ f(x,y)dxdyJ OO J 8=J： J：(宀討呛 dx = f(x
9、2y + xy2)dx = x3y + x2y2; (iv)当0 x 2时，F(x9y)= F(x,2) = x3 +-x2;Q J(v)Sx 1 并且 0W y 2Bt,F(x,j)=F(1,j) = |j + j2;因此:0,丄兀3 丄工23 1223 1 2_ X + _ X 933y +y 93 12*X 0或者y 00 xlfio j20 x2xlK0 j1并且丿2f(x) = f(x9y)dy = f2 ? 1 9 2Jo(x + 3XJ) = 2x + 3X,0,0 xl其他帀的边缘密度函数为：/（刃=J7（x,y）dx = J +3XJX - 3 + 6 J， F 0,0 j
10、2 或者 y v 0 时，几(y) = 0,于是 f(xy) =A(j)当0丿52时，J) = y + $丿,于是于是当y vo时，/(y)=0,所以f(xy)= fX；没有定义; frj(y)2e(2x+y) a -2x当八。时，= =2e12解：由于服从区间(0,1)上的均匀分布，所以:1, 0 xl0, 其他又根据=x(0x l)时刀服从区间(兀,1)上的均匀分布，可得：1 丫f(yx)=; , pvl1- X0, 其他因此,(,)的联合密度函数为：其他/(x,j)= f(x)f(yx) = l-x?0,(2)帀的边缘密度为:0 j J也甘+ =In 213解：根据联合分布列的 性质及“
11、是独立的随机变量可得A + B =-31 1 A 八9 3 91 1 1 1 a d *+ +A + B = 16 9 18 31 A 1 1 W1 、 =(+ )(+ A)9 6 9 18 92 1解得：人= 代入联合分布列验证可知:“的确是独立的随机变量于是根据边缘分布以及是独立随机变量:-P1 =3 P1PieP11P.1丄12一一1 - 81 一241 - 4=2P1-12“P-21 - 8-1 - 4 161314解：设(刀)的概率分布为 P( = xi9fj = yj) = Pij,i = 1,2；J = 1,2,3-* + * * 4 2 3 4 2 2P23 = P3 - P1
12、3 = +- +=寺因此，联合分布列如下 表:J11/241/81/121/4兀21/83/81/43/41/61/21/313 115解：由于仙分别是参数为牛，斗的0-1分布,所以: 11 =3011Poo + P01 = N341Poo + Pio =P10 + P11Pll =亍 解得： Poo = T，P1Q = 74 联合分布列为Poi 001/411/41/216解：(D F(x)= F(x,+oo) = 0) = P( 1) = xdx = 1 - el.19解0100.10.110.80E& =0.8,E2 =0.1;E2 =0.8,E22=0.1;D& =砖 =0 16,D2
13、 = 2-(2)2=0.09;E2 = 0 * (0.1 + 0.8 + 0.1) + 1*0 = 0;于是Cov(2)=E2 - EE=-0.08;C(勺念2)20解:由于/(兀)是定义在(-oo,+oo)上的偶函数，于是灯(工)是定义在(-8,2)上的奇函数,因此 = f+ xf(x)dx = 0. JOOf+ 8= -JoX2f(x)是定义在(-8,2)上的偶函数,E2 = rx2f(x)dx = 2广 x2f(x)dx = 2p X2J-8 JO JO= -x2ex 2xe-xdx = -2xdex =-2xex +2exdx = -2ex = 2;于是 Df =E2 (e)2=2 .
14、(2)同样，兀| x | /(x)是定义在(一 8,2)上的奇函数，所以|) =二I x | f(x)dx = 0,J OO因此,Co陀,| |)=|)-E(f)E(| I)-0(| |) = 0由于 廊| |的协方差为0,即典| |不相关又因为对任何使0 v伦(a) v啲正常数a, 我们有 P( ) v 1,于是 a,| f | a) =P(| 2(2一尢一皿 啊易$D= E2-(E)2 =-()2 =;D77=E772-(Et7)2 =-()2 =412 144 4 12二=J；j：(2-x-yXy dx =Cov(rj)= E切-EgEq = |-()2 = 一占；D( + )=珂 +
15、D” + 2Co 陀，“)=昔 + 昔 + 2(二)=学144 144 144 36(2)协方差不等于0,所以相关,因此也不独立.22解：先求的边缘密度函数炉兀）,厶（刃当工 1时,概率密度函数/（兀,y） = 0,所以心（兀）=0;当0 5兀51 时，（兀）=f（x9y）dy = 2xeyb）dy = 2x;因此:2x9 0 x 10, 其他当y 50, frj（y） = fix, y）dx = 2xe_（v_5）rfx =小宀;因此：f7j(y) =广 Z, j50， J5由于/（兀，刃=（兀）厶（刃,所以相互独立.E（切）=EgEq =（兀 * 2xdx）（ ye（y5）dy） = 4.
16、23解：设两台仪器无故障工作 时间为随机变量$,2,于是有：5严0,设随机变量对应的分布函数为F,t), 当/ 0时，显然耳(r)= o；P(“ 0t ot o时，24证明：独立，所以有:f(x9y) = f(x)f7J(y).于是:Vik = E(i7k) = yk f(x,y)dxdy yk f(x) fiy jdxdy=J二必叮二/“(y)狞=EgiEqk = viQvQk；% = E心=f+J+OO(x- Ey(y - ET)k f(x,y)dxdyJ oo J oo=- Ey(y - Eq)k f(x)frJ(y)dxdyp + oo f+ oo =J (X - Ey f(x)dx
17、* J_8(y 一 Eq)k f7j(y)dy=E - E打 E(rj- EtiT =角皿；Coy (,)= E( - E)( 一 Etj) = “口 =如“心=一 E)E(q - Etj) = 0.25证明：根据题意可知 := P(A), Et = P(B);又因为 P(初=1)= P(f = 1,4 = 1)= P(AB P7 = 0) = 1- P(AB), 于是 E(切)=P(AB)由于中=0,可知:Cov (,7/) = 0.因此 0= Cov(tj)= E(切)- EgErj = P(AB)- P(A)P(B);即事件A和事件B相互独立于是，A与瓦不与B,不与臣也相互独立 p( =
18、 1, = 1)= P(AB)= P(A)P(B)= = 1)P( = 1);P( = 1,7 = 0)= P(AB) = P(A)P(B) = P( = 1)P(7 = 0);p( = 0,4 = 1)= P(AB) = P(A)P(B) = P( = 0)P(r = 1);p(g = 0,q = 0)= P(AB) = P(A)P(B) = P( = 0)P(7 = 0); 从而帀相互独立于是26解：由于和“服从正态分布N(o),可知服从正态分布N(0,l) 乙X2 X2(1-|2)=广| OOc I2 =e 2 dx = x2=e 2 dx a/2 兀 yjln风一处(冷_处2_扌.27
19、解：根据题意有：E = = 0;D = 9,Dtj = 16.Cov (,?)= *3*4 = _6(1)E 匚=E(+ 号)=|e()+|e() = J,D =。(+) = *毗)+ 扫()+2*存(仙)=*。(歹)+占。()+ *(?0卩(歹,)=丄*9 +丄*16 +丄 *( - 6)=3 9 4 3(2)Cou6G丄 *9 +丄 *(_6)= 03 2所以和了的相关系数也为0.(3)对于二维正态分布，不相关和相互独立等价所以f和了相互独立28 解：设f(x,y)是二维随机变量 6,冬)的概率密度函数Fjj(z) = p(7 z) = + 冬2 z)= JJ f(x,y)dxdyx2+y
20、2z当z0时，F(z)= JJ fx,y)dxdy = JJ (x)f(y)dxdyx2+y2z x2+y2z_xi _/ 2 _ri = e 2 e 2 dxdy =” e 2 * rdr dO2JJ2 In J。 Inx2 + y2 0于是的概率密度函数为 几匕）=岂旦dz丄厂,20,29 解：“的概率密度函数为别为 _（一“）fZg &A（J）= 5 2兀0, 函数为（兀） 由于相互独立，于是根据卷积公式:+ 8 龙上=L 办（z- yV7j（y）dy = J ”y）设标准正态分布的分布一 (z-y-U)= e 2rJ-兀 In1 1 12” 巳厉 27Ta-K y 7t其他dyIn（2
21、-丿-“严dy = |*龙 e 2/2 与2兀一龙Ji云r（土二）-（4）0, z 030解:设事件 A=ar9事件 b =arjr.3 5根据题意 P(AB)= P(1,771)= P(max(,) 1) = 1 一 P(f 1, 1) = 1 - P( A B )=-.831 解：(1)(41,% )的所有可能取值为由于】大值不可能比小值要小,(I, J), i = 1,2,3；J = 1,2,3.所以P(1 = 1,2 = 2)= P(1 = 1,帀2 = 3)= pg = 2,02 = 2) = 0；Pg = 1，2 =1)= P = 12 =1)= PG = 1)卩忆2 =1)= |*|=|；P(i = 2,帀 2 = 2) = P(i = 2,2 = 2) = P(i = 2)P(2 = 2) = * =; pg = 3, “2 =3)= p = 3,2 = 3)= P = 3)P(2 =3) = |*|=|;2P(“1 = 2，“2 = !)= P(1 = 1,2 = 2)+ P(1 = 2,2 = 1)=-；P(l = 3, “2 = 1)= P(1 = 1,2 = 3)+ P(1 = 3, 2 = 1) = ；2P(i = 3,7/2 = 1)= P(i = 3，2 = 2)+ P(i =
