18函数及其图何雄.docx
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18函数及其图何雄
第十八章函数及其图象第1课时
18.1变量与函数
(一)
教案编写何雄审定胥洪军
教学目标
知识与技能目标通过观察具体实例中数量地相互关系,理解常量与变量、自变量和因变量
函数极其表示方法,探索自变量与因变量之间地关系
过程与方法目标了解自变量与函数的意义,能列举函数的实例,并能写出简单的函数关系式;
情感与态度目标体验数学与现实生活地紧密联系
教学重点理解常量与变量、自变量和因变量函数极其表示方法,探索自变量与因变量之间地关系
教学难点探索自变量与因变量之间地关系
教学用具小黑板
教学过程
情景导入:
一、观察教材中的插图,它是某一天内的气温变化图
看图,你能从图中得到哪些信息,这张图是怎样展示这天各时刻的温度和刻画这天的气温变化规律的?
点拨:
(1)这一天的6时、10时、14时的气温分别时多少?
在这一天中,任意给出某一时刻,你能说出这时的气温吗?
(2)这一天的最高气温时多少?
最低气温时多少?
(3)这一天什么时段的气温在逐渐升高,什么时段的气温在逐渐降低?
从图中可以看出随着时间t(小时)的变化,相应地气温T℃随之变化。
二、银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表时2002年7月中国工商银行为“整存整取“的存款方式的年利率
存期x
三月
六月
一年
二年
三年
五年
年利率y(%)
1.7100
1.8900
1.9800
2.2500
2.5200
2.7900
观察上表,说一说随着存期x的增长,相应的年利率y是怎样变化的?
三、收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(KHZ)为单位标刻的,下面是一些对应的数值
波长l(m)
300
500
600
1000
1500
频率f(KHZ)
1000
600
500
300
200
你能从上表中发现什么规律吗?
点拨:
l与f的乘积是一个定植,即lf=300000
说明波长l越大,频率f就越小。
四、圆的面积随着半径的增大而增大,如果用r表示圆的半径,s表示圆的面积,则s与r之间的关系为S=
,也就是说,圆的半径越大,他的面积就越大。
利用关系式,试求出半径为1cm,1.5cm,2cm,2.6cm,3.2cm时的面积,并填入下表
半径r(cm)
1
1.5
2
2.6
3.2
…
圆面积(c㎡)
…
你认为,表示两个数量之间的关系,有几种方法?
(关系式,列表,图象)
你认为他们各自有哪些优点,有哪些缺点?
学生自由解答
定义1:
在某一变化过程中,可以取不同的量,叫做变量.你能说出上面的几个例题中的变量吗?
定义2两个变量x,y,对于x的每一个值,y都有唯一的值和他对应,我们就说,x是自变量,y是因变量,此时,y是x的函数.函数概念的四要素:
变化过程、两个变量、一个不漏、独一无二
师生互动举出日常生活中遇到的函数关系的例子.
函数的几种表示方法:
解析法、列表法、图象法
解析法:
用数字式子表示函数关系,列表法:
通过列表给出函数y与自变量x的对应关系。
图象法:
把自变量x作为点的横坐标,对应的函数值y作为点的纵坐标,在图象中描出对应点,所有这些点的集合,叫做这个函数的图象。
你能指出上面几个例题中分别用的方法吗?
针对几种不同的方法,你能说出他们的优点、缺点吗?
点拨解析法——优点:
能从解析法清楚地看到两个变量之间地全部相依关系,且适合于理论分析与推导计算。
缺点:
在计算对应值时有时要做复杂地计算
列表法——优点:
对于表中自变量的每一个值,可以不通过计算,直接把函数值找到,查询很方便。
缺点:
表中不能把全部的自变量与函数对应值全部列出,而且看不出变量间的关系式。
图象法——优点:
可以形象地反映出函数变化的趋势和某些性质,把抽象的函数概念形象化。
缺点:
从自变量的值常常难以找出对应的函数值。
定义3,在问题的研究过程中,他的取值始终保持不变,我们称为常量。
你能指出上面几个例题中的常量吗?
你能指出你在上面举出的例子中的变量与常量吗?
练习,
(1)下表是2000年统计的某市中小学男生各年龄组的平均身高
年龄组(岁)
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
男生平均身高(cm)
115.4
118.3
122.2
126.5
129.6
135.5
140.4
146.1
154.8
162.9
168.2
从上表可以看出该城市14岁男生的平均身高是多少?
(2).该城市男生的平均身高从哪一岁开始增加特别迅速?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系,并指出其中的常量与变量.
二、写出下列各问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量
(1)圆的周长C与半径r的函数关系式
(2)火车以60千米/时的速度行使,它驶过的路程s(千米)与所用时间t的函数关系式
(3)n边形的内角和的度数S与边数n的函数关系式.
作业设计
1.指出下列变化关系中,哪些y是x的函数?
哪些不是?
说出你的理由.
①xy=2;(是)②x2+y2=10;(否)③x+y=5;(是)④│y│=3x+1;(否)⑤y=x2-4x+5;(是)
(2)写出下列问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量.
①等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式;
②时速为110千米的火车行驶的路程y(千米)与行驶的时间x(小时)之间的关系式;
③底边长为10的三角形的面积y与高x之间的关系式;
④某种弹簧原长20厘米,每挂重物1千克,伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘米)与所挂上的重物x(千克)之间的关系式;
⑤某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0.2升水,饮水机中剩余水量y(升)与放水时间x(分)之间的关系式.
2.课后习题
3.课时练相关练习
第十八章函数及其图象第2课时
§18.1变量与函数
(二)
教案编写何雄审定胥洪军
教学目标
知识与技能目标根据实际列出函数关系式,并能确定已知函数的自变量的取值范围和已知一变量值会求出另一变量值,培养学生从表格和图象获取信息的能力.
过程与方法目标理解函数自变量与函数值的对应关系,会求指定条件下的函数值.
情感与态度目标会求具体问题中的函数关系式.
教学重点确定已知函数的自变量的取值范围
教学难点确定已知函数的自变量的取值范围
教学用具小黑板直尺等
教学过程
一、复习
1、函数的四要素
2、函数的几种表示方法
二、探索新知:
(1)看课本27页,试一试
(1)
你能从中发现了什么?
(学生发言)
如果将涂黑的部分横向的加数用x表示,纵向的加数用y表示,你能写出y与x之间的函数关系式吗?
提问1、在这个关系式中,你能提出哪些有价值的问题?
(在这个关系式中x的取值有什么限制?
对于每一个x值,y都有唯一的一个值和它对应)
提问2、当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数为多少?
当纵向的加数为6时,横向的加数为多少?
(2)请写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式?
提问:
在这个关系式中x的取值有什么限制?
(3)如教材中的图,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合,试写出重叠部分面积y(cm²)与MA长度x(cm)之间的函数关系式。
提问1:
在这个关系式中x的取值有什么限制?
如果有,请写出它的取值范围。
提问2:
设MA=1cm,重叠部分的面积是多少?
(注意解题格式:
老师边讲授,边板书)
例题1:
等腰三角形中的顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式中,自变量x的取值范围是什么?
(点拨:
实际问题中,自变量x的取值会受到实际意义的限制)
例题2:
求下列函数中自变量x的取值范围
(1)、y=3x—1
(2)、y=2x²+7
(3)、y=
(4)、y=
分析:
用数学式子表示的函数,一般来说,自变量只能使式子有意义,
(1)
(2)中,自变量所在的式子是整式,x可以取任意数,(3)x所在的式子式分式,必须使分母不为零,(4)中是根式,必须使被开方数为非负数。
当然,还要根据在实际问题中考虑实际的限制。
例如在开始的几个问题
三.教材中的练习:
1、求下列函数中自变量x的取值范围(口答)
(1)y=
(2)
(3)
(4)
2、分别写出下列各问题中的函数关系式及其自变量的取值范围(看谁答的正确又快)
(1)、某市民用电费标准为每度0.5元,求电费y(元)关于用电量x的函数关系式
(2)、已知等腰三角形的面积为20cm²,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式
(3)、在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆,得到一个圆环,设圆环的面积为S(cm²),求S关于r的函数关系式.
3、一架雪橇沿着一斜坡滑下,它在时间t(秒)滑下的距离S(米)由下式给出,S=10t+2t²,假如滑到坡底的时间为8秒,试问坡长为多少?
4、当x=2及x=—3时,分别求出下列函数的关系式
(1)、y=(x+1)(x+2)
(2)、y=
5、如图17-1-7所示,一堵旧墙长8米,现要借助旧墙用20米长的篱笆围成一个矩形养鸡场,其中垂直于墙的一边留一个宽1米的木门,设垂直于墙的另一边长为x米,试求养鸡场的面积y(米2)与x(米)的函数关系式,并求出x的取值范围.
作业设计
1.课后习题。
2.课时练相关练习。
第十八章函数及其图象第3课时
§18.2.1平面直角坐标系
教案编写何雄审定胥洪军
教学目标
知识与技能目标掌握有关平面直角坐标系的一些概念,并能在平面直角坐标系中由点确定坐标,由坐标确定点,初步渗透对应思想。
.
过程与方法目标学会用函数图象描述运动变化过程和从函数图象中获取相关信息的思想方法.
情感与态度目标通过操作、探究,体验解析法和图象法表示函数关系的相互转化,感受数形结合¬的数学思想.
教学重点平面直角坐标系的一些概念
教学难点点确定坐标,由坐标确定点
教学用具小黑板三角尺
教学过程
一、情景导入:
你去过电影院吗?
你是怎样找到座位的。
准备一张电影票,让学生说明找到位置的方法,引入平面直角坐标系的概念,说明函数图象在生活中的重要性。
一、探索新知:
概念:
在平面上画两条原点重合,互相垂直且具有单位相同长度的数轴,这样就建立了直角坐标系。
提问:
你认为在平面直角坐标系的概念中,要注意的几个方面
规定:
把水平的一条数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向
把垂直的一条数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向。
要求学生在练习本上画出一个平面直角坐标系
点拨:
如图,找一点P(3,2),这时,作PM
,垂足分别为M和N,点M在x轴上对应的数是3,称为点P的横坐标,点N在y轴上对应的数2,称为点P的纵坐标。
请在直角坐标系中标出点P(2,3)学生动手:
在坐标系中分别描出B(—2,3),C(3,—2),D(3,2),E(2,3),F(—3,—2),G(3,—20)
思考:
点P与点A、B、C、D是否是同一点。
从这里可以说明平面直角坐标系中的点具有什么特点。
用自己的一句话概括—————————说明(平面直角坐标系的点与全体实数是一一对应)。
规定:
两条坐标系把平面分成I,II,III,IV,四个区域,分别称为第一、二、三、四象限,坐标轴上的点不属于任何一个象限。
你能指出A、B、C、D、E、F、G几点所在象限。
通过上面几点的研究,你能说明x轴,y轴,第一、二、三、四象限点的特征
象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
点的坐标
(+,+)
(—,+)
(—,—)
(+,—)
点拨
X轴(a,0)y轴(0,b)
三、练习:
1、平面直角坐标系内的点与成一一对应
2、点(—5,4)在第象限,到x轴的距离为,到y轴的距离是
3、举两个点,他不在四个象限内。
练习
1、在平面直角坐标系中,描出点A(2,—3),分别找出他关于x轴、y轴及原点的对称点,并写出这些点的坐标。
能否从此题中得出点关于坐标轴以及原点对称点之间的特征吗?
说一说
2、点(,)与(6,—2)关于x轴对称,(—3,—4)与(,)关于y轴对称,(—5,9)关于原点对称点是(,)。
3、若点(m²+9,m+2)在第四象限,则m的范围是。
练习:
完成课本32页的第3、4题。
(1)在平面直角坐标系中的点与有序实数对之间成一一对应关系.
(2)如果点P(x,y)的坐标满足xy>0,那么点P在第一、三象限,如果满足xy=0,那么点P在坐标轴上.
(3)如果点P(m-2,m-3)在第四象限,那么m的取值范围是2 (4)如果点P的坐标是(-2,3),则点P关于x轴的对称点的坐标是(-2,-3);点P关于y轴的对称点的坐标是(2,3);点P关于原点的对称点的坐标是(2,-3). (5)若点(m,2)与(3,n)关于原点对称,则m+n的值是-5. (6)已知线段AB的两个端点的坐标分别是A(3,4),B(-2,1),求 ①把线段AB向右平移2个单位后的线段的两个端点坐标; ②线段AB关于x轴对称图形的两个端点的坐标; ③线段AB关于y轴对称图形的两个端点的坐标; 答案: ①A1(5,4),B1(0,1)②A2(3,-4),B2(-2,-1)③A3(-3,4),B3(2,1) 作业设计: 1、课后习题 2、课时练相关练习 第十八章函数及其图象第4课时 §18.2.2函数的图象 (一) 教案编写何雄审定胥洪军 教学目标 知识与技能目标正确运用描点法画出一些简单的图象,培养学生认真、严谨的学习态度 过程与方法目标会用描点法画简单函数的图象. 情感与态度目标通过观察函数图象,会解答简单的实际问题. 教学重点正确运用描点法画出一些简单的图象,培养学生认真、严谨的学习态度 教学难点正确运用描点法画出一些简单的图象,培养学生认真、严谨的学习态度 教学用具小黑板 一、导入 我们曾经研究过的气温曲线图,获得了一些知识,现在,我们再来回顾一下,你是怎样找到各个时刻得气温的? 再这个直角坐标系中,他的横轴是t轴,表示时间,他的纵轴是T轴,表示气温,这一气温曲线实质上给出了某日的气温T(℃)与时间(t)的函数关系, 请你说出上午10时的气温(可以用坐标表示为(10,2),也就是说: 当t=10时,对应的函数值是T=2。 你能找到t=8,16时的气温吗? 用坐标表示在这个曲线图中,(20,2)所表示的什么意思? 实质上,气温曲线图是用图象表示函数的一个实际的例子,怎样画图象呢? 一般步骤: 列表,描点,连线。 例题1、画出函数 的图象 分析: 首先应找一些自变量的值,并求出对应的函数值 x …… —3 —2 —1 0 1 2 3 …… y …… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …… 由这些对应值,可以得到一系列的有序实数对 …,(—3,4.5),(—2,2),(—1,0.5),(0,0),(1,0.5),(2,2),(3,4.5)… 在直角坐标系中,描出这些有序实数对(坐标)的对应点——描点。 用光滑的曲线把这些的点连起来。 提示: 1、1、再多算一些对应值,增补一些对应点,你能发现什么? 是不是这些点好象逐渐连起来了。 3、在画图象时,为什么要将两边的线延长一些? 4、从这个图象可以看出 (1)图象是一种图形,是由点组成,这些点的横、纵坐标分别是某个函数的自变量与对应的因变量的值 (2)图象是函数关系的一种表现形态。 静态地看图象上的点的坐标与函数中的自变量、因变量的取值是对应关系;动态地看,图象直观地体现了函数关系的某个变化过程。 可以说图象刻画了函数的本质。 (3)图象的多样性,生活中存在丰富多彩的图象,有的是曲线,有的是间断的线段;还有的是一些孤立的点。 练习1: 在所给的直角坐标系中,画出函数 的图象。 (先填写下表,再描点,连线) x —3 —2 —1 0 1 2 3 y 练习2: 画出函数 作业设计 (1)若点(a,6)在函数y= 的图象上,则a=0.5. (2)若函数y=kx+5的图象经过点(1,-2),则k=-7. (3)如果A、B两人在一次百米赛跑中,路程s(米)与赛跑的时间t(秒)的关系如图17-2-10所示,则下列说法中正确的是(C)A.A比B先出发;B.A、B两人的速度相同;C.A先到达终点;D.B比A跑的路程多 (4)某人从甲地出发,骑摩托车去乙地,共用2小时.已知摩托车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)的关系如图17-2-11所示.假设这辆摩托车每行驶100千米的耗油量为2升,根据图中提供的信息,这辆车从甲地到乙地共耗油0.9升,请你用语言简单描述这辆摩托车行驶的过程先以30千米/时速度行驶1小时,再休息半小时,又以同样速度行驶半小时到达乙地. (5)根据下列问题,求出相应的函数解析式,并用描点法画出该函数的图象. 一种豆制品每千克售价4元,总售价y(元)与所售出的数量x(千克)之间的关系. 第十八章函数及其图象第5课时 §18.2.2函数的图象 (二) 教案编写何雄审定胥洪军 教学目标 知识与技能目标会从图象中分析变量的关系,进一步增进学生理解万事万物是相互联系着的不可分割的辩证唯物主义思想 过程与方法目标会用描点法画简单函数的图象. 情感与态度目标通过观察函数图象,会解答简单的实际问题. 教学重点会从图象中分析变量的关系 教学难点会从图象中分析变量的关系 教学用具小黑板 教学过程 一、直接导入 问题1: 王教授和孙子经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山。 有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷爷,两人都爬上了山,图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时记时),看图后回答: (1)小强让爷爷先上多少米? (2)山顶离山脚的距离有多少米? 谁先爬上山顶? 练习1、下图为世界总人口数的变化图,根据该图回答: (1) 从1830年到1998年,世界总人口数呈怎样的变化趋势? (2)在图中,显示哪一段时间中世界总人口数变化最快? 2、一枝蜡烛长,点燃后每20cm小时燃烧掉5cn,则下列3幅图象中能大致刻画出蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间t之间的函数关系的是() 思考: 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习,在某处按函数关系式y= 击球,球正好进洞,其中,y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离。 (1)试画出高尔夫球飞行的路线; (2)从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是多少? 球的起点与洞之间的距离是多少? 让学生自己动手,画好图象后,解答。 可能,学生会忘记自变量的取值范围,在学生分析过程中,逐步渗透。 练习。 1、收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(KHZ)为单位标刻的,下面是一些对应的数值 波长l(m) 300 500 600 1000 1500 频率f(KHZ) 1000 600 500 300 200 你能从上表中发现什么规律吗? 既lf=300000 画出函数图象,并结合图象指出图象是否有最大(小)值。 2、如图,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm,AC与MN在同一直线上,开 始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合,试写出重叠部分面积y(cm²)与MA长度x(cm)之间的函数关系式。 画出函数图象,并结合图象指出图象是否有最大(小)值。 作业设计 1、课后习题 2、课时练相关练习 第十八章函数及其图象第6课时 §18.3.1一次函数 (1) 教案编写何雄审定胥洪军 教学目标 知识与技能目标从实际问题出发,研究探讨一次函数的定义. 过程与方法目标一次函数包括正比例函数的一般形式的理解与掌握.同时知道它们之间的联系与区别. 情感与态度目标通过利用函数解决简单问题,体验函数与人类生活的密切联系,增强对函数学习¬的求知欲,发展学生的探索与创新精神. 教学重点在实际问题中理解掌握一次函数的定义 教学难点一次函数的一般形式的理解 教学用具小黑板 教学过程 一、探究新知: 问题1内容见教材P: 39页 分析: 1、为了理解题目中的具体条件,最好用线段图来表示,这样很清晰的看出已知什么? 要求什么? 2、汽车距北京的路程随着行车时间而变化.要想找出这两个变化的量的关系,并根据此得出相应的值,显然应探究这两个变量之间的函数关系式.我们设汽车在高速公路上行使时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,则得到s与t的函数关系式是: s=570–95t 3、用具体的值代入计算,如t=1时,s=? t=3时,s=? 请同学们思考,这说明了什么? (当行使了1小时时,小明离北京还有475千米。 ) 4、请问: 自变量的取值范围是什么? 问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节约12元.试写出小张的存款与从现在开始的月份数之间的函数关系式. 分析: 1、设月份数为x,小张的存款为y,得到的函数关系式为: y=50+12x 2、当x=1时y=62,x=2,y=74,这说明了什么? (随着月份的增加,小张的存款越来越多) 3、自变量的取值范围是什么? 概念: 一次函数的定义: 1、问: 上述的两个函数有什么共同点? 2、定义用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数. 3、一般形式: y=kx+b,其中k,b是常数,k≠0 4、特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)也叫做正比例函数. 5、问: 一次函数与正比例函数的区别与联系是什么? 6、问: 前两节所看到的函数中,哪些是一次函数? 例1下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数? (1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm); (2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm); (3)食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩下煤y吨; (4)汽车每小时行40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时). 例2已知函数y=(k-2)x+2k+1,若它是正比例函数,求k的值.若它是一次函数,求k的值. 例3已知y与x-3成正比例,当x=4时,y=3. (1)写出y与x之间的函数关系式; (2)y与x之间是什么函数关系;(3)求x=2.5时,y的值. 二、牛刀小试 1、若函数y=(3-m)xm2-8是正比例函数,则常数m的值是A7B-7C-3D3 2、给出下列函数: (1)x+y=0 (2)y=x+2(3)y+3=3(x-1)(4)y=2x +1(5)
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