平面奇点的定性理论.docx
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平面奇点的定性理论
平面非线性系统的奇点分析
(数学与应用数学)
学生:
张西指导老师:
杜正东
摘要:
本文主要讨论了平面非线性常微分方程组的奇点的定性性质,包括其类型和稳定性,
以及系统的相图在奇点附近的拓扑结构。
总结了平面非线性系统奇点分析的一些方法和结果。
并将上述结果应用到了三次约化Kukles系统。
关键词:
奇点,鞍点,焦点,结点。
§1引言
由常微分方程本身的结构来直接研究和判断解的性质,
这是常微分方程定性理论的基本思想。
众所周知,常微分方程(组)大量存在于描述自然现象的数学模型中,
它已成为自然科学和尖端技
术,包括自动控制理论,航天技术生物技术,经济学等的研究中不可缺少的数学工具。
常微分方程
的定性研究的目的是要搞清楚系统在相空间的轨道分布状况。
相对与高维系统来说,
二维自治系统
的情况更单纯,因为在平面上有
Jordan闭曲线定理即:
任何R2上的单闭曲线L将R2分成两部分—
—D1和D2,自D1内任何一点到D2
内任何一点的连续路径必定与
L相交。
只有对奇点的性质的研究透
彻,才能更好的对其他问题进行研究。
对于平面非线性系统的的定性分析,
最重要的是研究一些特
殊的轨道,如奇点(即平衡点)
。
周期轨等,只要我们把一个系统在这些特殊轨道附近的状况分析
清楚了,该系统的整体相图结构也就大致清楚了。
因此作为平面非线性分析的第一步,
奇点分析是
最简单,也是最基本的工作。
本文则主要讨论了平面非线性微分方程组的奇点的定型性质。
总结了平面非线性系统奇点分析
的一些方法和结果。
§2平面线性系统的奇点分析
定义:
[奇点]设dx
(
x
)
0
n满足F(x0)=0,则x=x0叫做方程的一个奇点。
dt
F
若x∈R
给定一个平面非线性系统:
dx
dy
Q(x,y)
dt
P(x,y),
dt
当(0,0)为奇点时,若
P,Q均二阶可微,则在(0,0)附近总可以用
Taylor展式展开表示为:
dx
by
R1(xy)
ax
dt
dy
dy
R2(xy)
cx
dt
的形式,其中R1(x,y),R
2(x,y)
为高阶项,即:
lim
Ri(x,y)
(x2
0(i1,2)
(x,y)(0,0)
y2)
自然想到在原点(0,0)附近的轨道分布是否和它的第一近似方程组:
dx
axby
dt
(2.1
)
dy
dt
cxdy
的相似,其中a,b,c,d是实数,首先我们必须把平面线性系统在奇点附近的状况搞清楚。
为此我们首先给出平面齐次线性方程(2.1)种奇点定性性质的分类准则.
系统(2.1)的系数矩阵的特征方程为:
D()
a
b
2
(ad)
adbc0,
cd
令p=-(a+b),q=ad-bc,
则D(
)
2
p
q
0,
它的根为:
1,2
p
p2
4q
2
奇点的性质可总结如下
:
(1)q<01,2
是异号实根
0为鞍点
2
>0,
1,
0为稳定结点
(2)q>0,p>0,p-4q
2同为负实根,这时奇点
(3)q>0,p>0,p2-4q<0
1
1i2,2
1
i2,
1
p
4qp
2
2,2
此时奇点0为稳定焦点。
(4)q>0,p<0,p2-4q>0,
1,2同是正实根,此时奇点
0为不稳定结点。
(5)q>0,p<0,p2-4q<0,此时奇点
0为不稳定焦点。
(6)q>0,p=0,1,2
是一对共轭虚根,这时奇点
0为中心。
(7)q
>0,p>0,p2-4q=0
1
2是一对负实重根:
a)设初等因子是单的,这时奇点
0为稳
定临界点。
b)设初等因子是重的,这时奇点
0为稳定退化结点。
(8)q
>0,p
<0,p2-4q=0,1
2
是一对实重根:
a)设初等因子是单的,奇点为不稳定临
界点。
b):
初等因子是重的,奇点
0
为不稳定退化结点。
(9)q=0
,a)a=b=c=d,这时(x,y)平面上每一点都为奇点。
b)a=b=0或(c=d=0)但c2+d2≠0
或(a2+b2≠0)此时x=c是解,直线
cx+dy=0上都是奇点。
c)c
2+d2≠0,a2+b2≠0,再者或者ac≠0
或bd≠0设ac≠o则原方程可化为:
dy
c
aycxk
o
dx
a
是解
§3平面非线性系统奇点分析的一般方法
在§2节我们讨论了线性系统奇点的定性性质,对于非线性系统来说。
当其线性部分的系数矩
阵的特征值实部全部不为0时,它在奇点附近的相图的拓扑结构是一样的。
但当其线性部分的系数矩阵的特征值有零实部时,情况就要复杂得多。
本节给出了讨论非线性系统在平衡点附近的相图结构的统一处理方法。
给定方程:
dx
X(xy)
dt
(3.1)
dy
Y(xy)
dt
设0(0,0)是(3.1)的奇点,即
X(0,0)=Y(0,0)=0
设Z(x,y),Y(x,y),
在原点附近对x,y有
高阶偏导数,则(3.1)可写为:
dx
Xm(xy)
(xy)
dt
(3.2)
dy
Yn(xy)
(xy)
dt
其中Xm,Yn,分别是x和y的m,n次齐次多项式,m,n≥1,
当r→0,
=o(r
m),
=o(rn)其
中r
x2
y2
,进一步假设Xm,Yn,互质。
定义3.1
设L是方程的轨线,点A(r,
)是L上的动点,若当
r→0
时有
→0则轨线L叫做沿
固定方向
0进入奇点0(0,0).
定义3.2
设原点
0为方程组(3.1)的孤立奇点。
如果存在序列
An
A(rnn),当n→∞时有
r→0,
→0
且n
0,其中n是(3.1)在An点的方向场的向量,(或称场向量)与坐标向
n
量的夹角(从向量半径逆时针方向转向场向量)的正切,
则=
0叫做(3.1)的特殊方向。
令
是P(r
)点处的坐标向量与场向量的夹角,便有:
tan
limr
r
rd
r0
dr
由定义3.2
若
0
是特殊方向,则在点列
An(rn,n)上必有:
limtg
n
limr
d
dr
n
n
0
(rn,n)
令xrcos,yrsin则,(3.2)变为:
令:
A[Xm(rcos
rsin)
(rcos
rsin
)]
B
[Yn(rcos
rsin
)
(rcos
rsin
)]
1dr
Acos
Bsin
M(r
)
rd
Bcos
Asin
I(r
)
令:
G()
cos
Y(cos
sin
),当m
n时
n
G(
)
-sin
Xn(cos
sin),当m
n时
(3.3)
G(
)
cos
Yn(cos,sin
)-sinXn(cos
sin
),当m
n时
则由上式得:
1dr
A(r
)
r
0,(3.4)
rd
G(
)
o
(1)
其中A(r,)
K,当r 定理3.1 设G()=0无实根,则 0(0,0)是(3.2) 的中心,中心焦点或焦点 →G()≡0,称为奇异情形此时 m=n,: G( )cos Yn(cos sin)-sin Xn(cos sin) 1n1[xYn(x,y) yXn(x,y)] 0 r 变换y=ux,则3.2 变为: dy u xdu Yn dx dx Xn dyYn uXn u u *(x,u) u *(x,u) dx x(Xn ) x(Xn ) Xn(1,u) x *(x,u) 其中: *(x,u) (x,ux) *(x,u) (x,ux),Xn(1,u) Xn(x,ux) xn1 xn1 xn 下面则是奇点的情况: 定理3.2 考察方程组( 3.2)设G( )≡0(从而m=n)且(x,y), (x,y)是解析函数,从 n+1项 开始则: a)最多除了 k, k其中Arctguk k ,Zx(1,uk)0,(k 1,2,,n 1)以 及 3 共2n方向外,沿着其余方向,方程组( 3.2)有唯一轨线进入奇点. 2 2 b)Zn(1,U k)=o,若 *(0,uk) uk *(0,uk) 0在(x,y)平面上或者沿 k或 k 有(3.2)的两条轨线同时从射线 y=u k,x﹥0或(x﹤0)的两侧进入{0}, 或者沿着 k和 x k各有一条轨线进入{0},这决定在(x,u)平面经过(0,uk)的解曲线与u轴相切 时,它时落在u轴的一侧或两侧。 c)若Yn(0,1)≠0在(x,y)平面上有两条轨线分别沿 3进入{0}. 22 d)若*(0,uk)uk*(0,uk)0,则(0,uk)为奇点,则必须再次进行类似讨论。 令: H( ) sin Yn(cos sin ),当m>n时 H( ) cos Xn(cos sin ),当m H()sinYn(cos,sin) cos Xn(cos sin),当m=n时 则方程(3.4)可写为: rd G( ) o (1),r 0 dr H( ) o (1) 设: G(k)0,H(k)Hk 0 G( )C( k)c o( c o (1),r 0 k ) 其中整数c≥1则有: rd c ( k) o( c ) o (1)c,r 0 k dr Hk 下面则根据CH的符号以及L的奇偶性进行讨论: k 定理3.4 设L是奇数CH﹥0则 OAkBk: k r r1,为第一类正常区域,有无数条轨线 k 沿k进入奇点。 定理3.5 设L为奇数CHk﹤0则 OAkBk是第二类正常区域,有轨线沿 k进入奇点{0}. 定理3.6 设L为偶数,则 OAkBk是第三类正常区域,则无轨线进入奇点 {0}. 定理3.7 设 k是G( )=0的L重根,L为奇数G(l)(k )H(k)0, m n满足如下条件: 1 r r (v, 2) (v,1) G(r)2 1 rm 1 (r, 2) (r,1) G(r)2 1 rn 并且当L=1时: r m, r n,L(r) o (1),r 0 而当L>1时: o(rm1), o(rn1),r 0 则(3.2)只有唯一轨线沿 k进入奇点{0}. 定理3.8: 设 k是G( )=0 的L重根,L是偶数,G(L)(k)H(k) 0令: 1 A(r)rn(ln1)l1 r (r,) cos (rcos rsin )-sin(rcos,rsin ) 设在扇形区域OAB: k,0 r r1,当,r1充分小时有, (r, ) C1A(r),0C1D 则在 OAB中有方程(3.2)的无数条轨线沿 k进入奇点{0} 设: (r,) C2A(r),C2 D则在OAB无方程(3.2 )的轨线沿着 k进入奇点,其中常 数: D(H( 1 1 k))l1[G(l)( k)(l1)]l1 l 定理3.9 如果不存在1 2使对一切1 2, 都是方程(3.1 )的特殊方向,则( 3.1) 的轨线如果进入奇点0,它只能螺旋形地进入或沿一定方向进入。 定理3.10 若原点0是方程(3.1)地孤立奇点,X(x,y) ,Y(X,Y)在原点O地领域S(o)上解析, 则(3.1)如果有轨线进入奇点 0,它只能螺旋形地进入或沿着固定方向进入。 §4特征根实部不为零和是一对纯虚根时附加非线性项地情形 这一节我们将用上面一节地方法对两种特殊情况奇点的判定。 考察方程: dx by ax dt (4.1) dy dy cx dt dx ax by (x,y) dt (4.2) dy cx dy (x,y) dt 其中a,b,c,d, 是实数;(0,0) (0,0)0 且在原点地领域中 (x,y), (x,y)对 (x,y)连续,还满足唯一性条件,我们对( 4.2)引入3个条件: a) (x,y), (x,y)=o(r),r →0 b) (x,y), (x,y)在原点地小领域内对 x,y 可微。 c) (x,y), (x,y)o(r1 ),r →0,其中 0是任意小的正数,则可得出结论: ⅰ)当线性方程组( 4.1)地奇点是焦点,如果方程组( 4.2)地附加项 满足条件 a), 则奇点0仍是(4.2)地焦点,且稳定性不变。 ⅱ)当奇点0是(4.1)地鞍点和正常结点,如果,满足条件a)和 0仍分别是(4.2)的鞍点和正常结点,且对正常结点来说,不改变稳定性。 ⅲ)当奇点0是(4.1)的退化结点时,如果,满足条件c)则奇点 b),则相应地奇点 o仍是(4.2)的 退化结点,且不改变稳定性。 ⅳ)当奇点o时(4.1)的临界点时,如果 满足条件 b)和c) ,则奇点 0仍是( 4.2) 的临界点,且不改变稳定性。 下面是当特征根是一对纯虚根情形的讨论: 定理4.1: 设0(0,0)是(4.1)的中心,又设( 则0(0,0)是(4.2)的中心,焦点或中心焦点。 4.2)的附加项( x,y )和(x,y) 都满足条件 a), 中心焦点的判别法: 考察方程 dx y k dy k1 (4.3 ) dy k dt k2 取形式级数: F(x,y) x2 y2 Fk k3 其中 k, k,Fk都是x,y的k次齐次多项式,FK中的系数待定,使之满足 dF 0, dt (5.16) 然后若能证明一下级数收敛,则奇点 0就是中心: dF (2x Fk)(y k) (2y Fk)(x k), dt (5.16) k3x k2 k3 y k2 (yFk xFk) (xkyk) (k Fm k Fm)0 k3 x y k2 k2 x y m3 记: n Fn akxnkyk k0 n
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