强烈推荐空间向量与立体几何教案设计.docx
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强烈推荐空间向量与立体几何教案设计
空间向量与立体几何
、知识网络:
2.考纲要求:
(1)空间向量及其运算
1经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;
2了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;
3掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;
4掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
(2)空间向量的应用
1理解直线的方向向量与平面的法向量;
2能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;
3能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);
4能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向
本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:
以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处
理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时空间向量及其运算
一、复习目标:
1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘;2.了解空间向量的基本定理;3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共
线与垂直。
二、重难点:
理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法
三、教学方法:
探析类比归纳,讲练结合
四、教学过程
(一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。
学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。
(二)、知识梳理,方法定位。
(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。
1.空间向量的概念
向量:
在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、力等。
相等向量:
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法:
用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明:
①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。
2.向量运算和运算率
OB=OAAB=ab加法交换率:
ab=ba.加法结合率:
(ab),c=a(bc).数乘分配率:
从a+b)=2+Ab.
说明:
①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3.平行向量(共线向量):
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a平行于b记作a//b。
注意:
当我们说日、b共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说a、『平行时,也具有同样的意义。
共线向量定理:
对空间任意两个向量a(a丰0)、b,a//b的充要条件是存在实数人使b=赤a
(1)对于确定的九和a,b=Xa表示空间与a平行或共线,长度为|赤a|,当赤>0时与a同向,当人<0时与a反向的所有向量。
(3)若直线l//a,A亡l,P为l上任一点,O为空间任一点,下面根据上述定理来推导OP的表达式。
推论:
如果i为经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点q点p在直线i
上的充要条件是存在实数t,满足等式op=oa+ta
其中向量a叫做直线l的方向向量。
1-6
OP=分(OA十OB).③
①或②叫做空间直线的向量参数表示式,③是线段AB的中点公式。
注意:
⑴表示式(*)、(**)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式;⑵推论的用途:
解决三点共线问题。
⑶结合三角形法则记忆方程。
4.向量与平面平行:
如果表示向量a的有向线段所在直线与平面0(平行或a在0(平面内,我们就
说向量a平行于平面a,记作a//ct。
注意:
向量a与直线a//ot的联系与区别。
共面向量:
我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数
对x、y,使p=xa+yb.①
注:
与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面。
推论:
空间一点P位于平面MA呐的充要条件是存在有序实数对x、y,使
MP=xMA+yMB,④
或对空间任一定点Q有OP=OlM+xMA+yMB.⑤
在平面MA呐,点P对应的实数对(x,y)是唯一的。
①式叫做平面MAB勺向量表示式。
又.•MA=OA—OM,.mB=oB—OM,.代入⑤,整理得
OP=(1—x—y)OM+xOA+yOB.⑥
由于对于空间任意一点P,只要满足等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同一等式),点P
就在平面MA曲;对于平面MA朗的任意一点P,都满足等式④、⑤、⑥,所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB(或不共线三点MAB)确定的空间平面的向量参数方程,也是MA、8P四点共面的充要条件。
5.空间向量基本定理:
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的
有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.
说明:
⑴由上述定理知,如果三个向量a、卜、C不共面,那么所有空间向量所组成的集合就是
'p|p=xa+yb+zc,x、y、z^R},这个集合可看作由向量a、b、c生成的,所以我们把{a,b,c}
叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量;⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底;⑶一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的概念;⑷由于0可视为与任意非零向量共线。
与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都不是0。
推论:
设CXA、BC是不共面的四点,贝U对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组X、V、z,
使OP=xOAyOBzCC.
6.数量积
(1)夹角:
已知两个非零向量a、b,在空间任取一点Q作OA”=a,d=『,则角/ACB叫做向量a与卜的夹角,记作知b)
说明:
⑴规定0< ⑵如果la,b)=一,则称a与b互相垂直,记作 ⑶在表示两个向量的夹角时,要使有向线段的起点 (1)、 (2)中的两个向量的夹角不同, 图 (2)中ZAQB二一AQ,QB, 图 (1)中zaqb 从而有-QA,QB=QA,-QB=二-QA,QB. (2)向量的模: 表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。 (3)向量的数量积: 0|bcos〈a,b)叫做向量a、b的数量积,记作abo ⑴(,a)b=,(ab) z--4H⑵ab=ba ⑶a(bc)=abac 即ab=0|bcos《a,b 向量AB在e方向上的正射影: ae=|AB|cosa,e=AB (4)性质与运算率 ⑴ae=cos‘a,e)。 ——— ⑵a上buab=0 ⑵I■|244 ⑶|a|=aa. (3).典例解析 题型1: 空间向量的概念及性质 例1、有以下命题: ①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么a,b的关系是不共 TT— 线;②Q,A,B,C为空间四点,且向量QAQB,QC不构成空间的一个基底,那么点Q,A,B,C一定共面; ③已知向量a,b,c是空间的一个基底,贝U向量a+b,a-b,c,也是空间的一个基底。 其中正确的命题是 ()。 (A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③ 解析: 对于①如果向重a,b与任何向重不能构成仝间向重的一组基底,那么a,b的关系一te共线; 所以①错误。 ②③正确。 题型2: 空间向量的基本运算 BM相等的向量是() (A)-1a1bc(B)-a1bC(C^1a-1bc(D)-^-bc 1“〔1■… 一一a+—b+c;答案为a。 22 ()22222222 …-i」,、■: —―z—1--—— 解析: 显然BM=BB1B1M=—(AD-AB)AA1 2 点评: 类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。 用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空 间想象能力。 例3、已知: a=3m—2n—4p#0,b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面.若a〃b,求x,y的值. 解: 二"a//b,,且a#0,,二b=九a,即(x+1)m+8n+2yp=3舄m—27m—4舄p. x182y 又*m,n,p不共面,二——=——=堂,二x=—13,y=8.3-2-4 点评: 空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。 例4、底面为正三角形的斜棱柱ABOA1B1C1中,D为AC的中点,求证: AB//平面CBD. 、一rn口、一r*■一——-L-…-1二1? .-・.—一一.*•" : j己AB—a,ACzzb,AA[—c,贝,AB[^a-t~c,DB=AB—ADz^a——b,DC[=DC+CC[—b+c••DB+DC[^a+c=AB[,. AB1,DB,DC1共面. BC平面GBD,AB1//平面GBD. (四)强化巩固导练 1、已知正方体ABCD-A1B1C1D中,点F是侧面CDDC1的中心,若aF=aD+xaB+yAA;,求x-y的值. 解: 易求得x=y=1,.x—y=0 2 在平行六面体ABCD—AB1C1D1中,M为AC与BD的交点,若扁=a,AS=b,A1"A=c,则下列向量 2、 中与B1M相等的向量是(A)。 A. ——a+_lb+cB._1a+—b+c 2222 1— 向量{BA,BB1,BC},贝UAB1=BB1—BA,BM=BC——BB12 (五)、小结: 1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明.对于垂直,一般 是利用a±bua・b=0进行证明.对于平行,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.2.运 用向量求解距离问题,其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量,然后计算这个向量对应的 模.而计算过程中只要运用好加法法则,就总能利用一个一个的向量三角形,将所求向量用有模和夹 角的已知向量表示出来,从而求得结果.3.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时 li、I2,AB为其公垂线段,GD 也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角则可以利用公式 cos。 =ab.4.异面直线间的距离的向量求法: 已知异面直线aIb |PoPn| 为n,点P是平面a外一点,且REa,则点P到平面a的距离是 (六)、作业布置: 课本P32页A组中2、3、4B组中3 课外练习: 课本P39页A组中8;B组中3;复资P130页变式训练中1、2、3、5、6 五、教学反思: 第二课时空间向量的坐标运算 一、复习目标: 1、理解空间向量坐标的概念;2、掌握空间向量的坐标运算;3.掌握用直角坐标讨 算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距离公式. 二、重难点: 掌握空间向量的坐标运算;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距离公式. 三: 教学方法: 探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、基础知识过关(学生完成下列填空题) 1、空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底, ■4时4^4 用{i,j,k}表示; (2)在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以 *0■I 点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴: x轴、y轴、 z轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系O-xyz,点O 444 叫原点,向量i,j,k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平 面,分别称为xOy平面,yOz平面,zOx平面; 2、空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数 组(x,y,z)OA=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标. 3、设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) (4)allb— a〔b〔a2b2a3位 (5)模长公式: 若a=(a),a2,a3),则|a|=£: =Ja: &2、+a32. (6)夹角公式: cos(ab)=Hab|a||b|\a2a;a32.n2b22b32(7)两点间的距离公式: 若A(x1,y1,^),B(x2,K,丕),则|AB|=JAB2=J(&-对+(五—y1)2+(丕一乙)2 (8)设A=(xi,y〔,zi),B=(x2,y2,z2) 则AB=,AB= AB的中点M的坐标为. 4、直线的方向向量的定义为。 如何求直线的方向向量? 5、平面的法向量的定义为。 如何求平面的法向量? (二)典型题型探析 题型1: 空间向量的坐标 例2、已知空间三点A(—2,0,2),B(—i,i,2),C(—3,0,4)。 设a=AB,b=AC,(i)求a和b的夹角6; (2)若向量ka+b与ka—2b互相垂直,求k的值. 思维入门指导: 本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结果^ 解: .•A(—2,0,2),B(—i,i,2),C(-3,0,4),a=AB,b=AC,—*f a=(i,i,0),b=(-i,0,2). 1,00i0i0 (1)cos6=ab=<2^'5=_和,a和b的夹角为一节。 —I-—¥■ (2).ka+b=k(i,i,0)+(一i,0,2)=(k—i,k,2), —! ■——*——*— ka—2b=(k+2,k,-4),且(ka+b)上(ka—2b), ...(k—i,k,2)(k+2,k,—4)=(k—i)(k+2)+k2-8=2k2+k—i0=0。 5 则k=—2或k=2。 点拨: 第 (2)问在解答时也可以按运算律做。 (a+b)(ka—2b)=k2a2-日-b—2b2=2k2+k- 5 i0=0,解得k=—2,或k=2。 题型2: 数量积 例3、(i)(2008上海文,理2)已知向量a和b的夹角为i20°,且|a|=2,|b|=5,则(2a—b)a= 冗 —»■—— (2)设空间两个不同的单位向量a=(xi,yi,0),b=(x2,0)与向量c=(i,i,i)的夹角都等于4。 (i)求xi+yi和xiyi的值; ■—I-T—ir—►■—fc-■—i--t-—►■—fc- 解析: (i)答案: i3;解析: (2a—b)•a=2a2—b-a=2|a|2—|a|-|b|-cosi20°=2-4 2222 x1+y1=1,■-x2=y2=1. -2-5(—1)=13。 (2)解: (1)•.•|a|=|b|=1, 2 ,.6.2 —F—F cos=4 评述: 本题考查向量数量积的运算法则。 题型3: 空间向量的应用 例4、 (1)已知a、b、c为正数,且a+b+c=1,求证: *'13a+1+J13b刊+J13c+1<4后。 (2)已知F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若Fi,F2,F3共同作用于同一物体上,使物体从点 M(1,-2,1)移到点M(3,1,2),求物体合力做的功。 解析: (1)设m=q^1,,寸^1),n=(1,1,1), 贝U|m|=4,|n|=寸3. m-n<|m||n|, m-n=532+1+53b+1+Wc*1v|m||n|=43 1111 当VTsTR=新*1=E3c+1时,即a=b=c=3时,取"=”号。 (2)解: W=F•S=(Fi+F2+F3)-M1M2=14。 1-—P-»■-I-1--9 2一,2.22、,222、 点评: 右m=(x,y,z),n=(a,b,c),则由m-n<|m||n|,碍(ax+by+cz)<(a+b+c)(x+y+z). 此式又称为柯西不等式(n=3)。 本题考查|a|Tb|>a-b的应用,解题时要先根据题设条件构造向量a,b,然后结合数量积性质进行运算。 空间向量的数量积对应做功问题。 (三)、强化巩固训练 1、(07天津理,4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①(a-b)c-(c-a)b=0②|a|-1b|<|a—b|③(b-c)a-(c-a)b不与 c垂直④(3a+2b)(3a—2b)=9|a|2-4|b|2中,是真命题的有() A.①②B.②③C.③④D.②④ 解析: ①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;答案: D ②由向量的减法运算可知|a|、|b卜|a—b|恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边” 故②真; ———r—fe-T———————► ③因为[(b-c)a-(c-a)b: -c=(b-c)a-c-(c-a)b-c=0,所以垂直.故③彳段; ④(3a+2b)(3a—2b)=9-a-a—4b-b=9|a|2-4|b|2成立.故④真. 点评: 本题考查平面向量的数量积及运算律。 v……thcc』K…cKTK 2、已知。 为原点,向量OA=(3,0,1),OB=(—1,1,2),OC_LOA,BC//OA,求AC. 解: 设OC=(x,y,z)BC=(x+1,y—1,z—2), ————JTTT .OC_LOA,BC//OA,..OCOA=0,BC=ZOA(A^R), 3x+z=0, „…-7211 解此方程组,得,^1,^21a=—o 101010 (四)、小结: (1)共线与共面问题; (2)平行与垂直问题;(3)夹角问题;(4)距离问题;运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势.用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底 表示,本节主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间直角坐标系,把向量用坐标表示,然后进行向量与向量的坐标运算,最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系,从而使问题得到解决.在寻求向量间的数量关系时,一个基本的思路是列方程,解方程. (五)、作业布置: 课本P56页A组中6、11、12、19 课外练习: 限时训练53中2、4、7、9、10、12、14 五、教学反思: 第三课时空间向量及其运算强化训练 一、复习目标: 1、了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示;2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;3、掌握空间向量的数量积及其坐标表 示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直;4、通过本课强化训练,使学生进一步熟练理解和掌 握上述概念和运算方法,提高学生的灵活和综合运用能力。 二、重难点: 空间向量及其运算的综合运用。 三、教学方法: 讲练结合,探析归纳。 四、教学过程 (一)、基础自测(分组训练、共同交流) 1,有4个命题: 1若p=xa+yb,则p与a、b共面;②若p与a、b共面,则p=xa+yb; ③若MP=xMA+yMB,贝UP、MA、B共面;④若P、MA、B共面,贝UMP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是(B)。 A.1B.2C.3D.4 2,下列命题中是真命题的是(D)。 A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量AB,CD满足|AB|>|而|,且AB与CD同向,贝uAB>CD D.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0,贝UAB//CD 3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a//b,则(C)。 A.x=1,y=1 B.x=-,y=-- 22 C. D.x=--,y=-62 x=-,y=-- 62 4,已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当QA-QB取最小值时, 点Q的坐标是,答案M4,8'; 333 5.在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,贝UOE=(用a,b,c 表小).答案1a+—b+1c 244 (二)、典例探析 例1、如图所示,在平行六面体ABCD-AB1C1D中,设aA1=a, AB=b,AD=c
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