1、强烈推荐空间向量与立体几何教案设计空间向量与立体几何、知识网络：2.考纲要求：(1)空间向量及其运算1经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示；3掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；4掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。(2)空间向量的应用1理解直线的方向向量与平面的法向量；2能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；3能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) ；4能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问
2、题中的作 用。三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考 对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和 距离。预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利 用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。第一课时 空间向量及其运算一、 复习目标：1 .理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2. 了解空间向量的基 本定理；3.掌握空间向量的数量积的
3、定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的 数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。二、 重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法三、 教学方法：探析类比归纳，讲练结合四、 教学过程（一） 、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。（二） 、知识梳理，方法定位。（学生完成复资 P128页填空题，教师准对问题讲评）。1.空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表
4、示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同 向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平 移。2.向量运算和运算率OB = OA AB = a b加法交换率：a b = b a.加法结合率：（a b） , c = a （b c）.数乘分配率：从a +b） = 2 +Ab.说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法 的平行四边形法则在空间仍成立。3.平行向量（共线向量）:如果表示空间向量的有向线段所在的直
5、线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。 a平行于b记作a / b。注意：当我们说 日、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量 a （a丰0 ）、b , a / b的充要条件是存在实数 人使b =赤a（1）对于确定的 九和a , b = X a表示空间与a平行或共线，长度为|赤a|，当赤0时与a同向， 当人0时与a反向的所有向量。（3）若直线l / a , A亡l , P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导 OP的表达式。推论：如果i为经过已知点a且平行于已知非零向
6、量a的直线，那么对任一点q点p在直线i上的充要条件是存在实数t,满足等式 op = oa +ta其中向量a叫做直线l的方向向量。1 - 6OP =分（OA 十 OB ）. 或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段 AB的中点公式。注意：表示式（* ）、（ * * ）既是表示式，的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式； 推论的用途：解决三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4 .向量与平面平行：如果表示向量 a的有向线段所在直线与平面 0（平行或a在0（平面内，我们就说向量a平行于平面a，记作a / ct。注意：向量a 与直线a/ ot的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向
7、量。共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量 p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y,使p =xa+yb.注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点 P位于平面MA呐的充要条件是存在有序实数对 x、y,使MP =xMA +yMB,或对空间任一定点 Q有OP =OlM +xMA + yMB.在平面MA呐，点P对应的实数对（x, y ）是唯一的。式叫做平面 MAB勺向量表示式。又. MA=OAOM,. mB=oBOM，.代入，整理得OP=（1xy）OM +xOA + yOB. 由于对于空间任意一点 P,只要满足等式、之一（它们只是形式不同的同一等式） ，点P
8、就在平面MA曲；对于平面 MA朗的任意一点P,都满足等式、，所以等式、都是由 不共线的两个向量 MA、MB （或不共线三点 M A B）确定的空间平面的向量参数方程，也是 M A、8 P四点共面的充要条件。5.空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组 x, y, z, 使p = xa + yb + zc.说明：由上述定理知，如果三个向量 a、卜、C不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是p | p =xa + yb +zc, x、y、zR，这个集合可看作由向量 a、b、c生成的，所以我们把a, b , c叫做空间的一个基底， a, b, c
9、都叫做基向量；空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一 个基底；一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的 概念；由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含 着它们都不是0。推论：设CX A、B C是不共面的四点，贝U对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组 X、V、z,使 OP = xOA yOB zCC.6.数量积(1)夹角：已知两个非零向量 a、b,在空间任取一点 Q作OA” = a , d =，则角/ ACB 叫做向量a与卜的夹角，记作知b)说明：规定 0 a, b ) n ,因而(a, b )= b, a
10、);如果la, b)=一，则称a与b互相垂直，记作在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点(1 )、(2)中的两个向量的夹角不同，图（2）中Z AQB 二一 AQ,QB ,图(1)中 z aqb,从而有-QA,QB = QA,-QB =二- QA,QB .(2)向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。(3)向量的数量积： 0|b cosa,b)叫做向量a、b的数量积，记作a b o（，a） b =，（a b）z - - 4 H a b =b a a （b c） =a b a c即 a b = 0|b cosa, b向量AB在e方向上的正射影：a e =| AB | cos a,
11、 e = A B（4）性质与运算率 a e=cosa,e）。 a 上 b u a b =0 I |2 4 4|a | =a a.(3).典例解析题型1：空间向量的概念及性质例1、有以下命题：如果向量 a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 a,b的关系是不共T T 线；Q,A,B,C为空间四点，且向量QAQB,QC不构成空间的一个基底， 那么点Q,A,B,C 一定共面;已知向量a, b, c是空间的一个基底，贝U向量a+b,a-b,c,也是空间的一个基底。 其中正确的命题是（ ）。（A） （B） （C） （D）解析：对于如果向重a, b与任何向重不能构成仝间向重的一组基底， 那么a,
12、 b的关系一te共线 ；所以错误。正确。题型2：空间向量的基本运算BM相等的向量是（ ）(A) -1a 1b c (B) -a 1b C (C1a -1b c (D)-b c1“ 1 一一a + b + c ；答案为 a。2 2()2 2 2 2 2 2 2 2-i,、: z 1 - 解析：显然 BM = BB1 B1M = (AD - AB) AA12点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几 何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法 .考查学生的空间想象能力。例 3、已知：a =3m 2n 4p # 0,b =
13、（x +1）m +8n + 2yp,且 m,n, p 不共面.若 a b ,求 x, y 的值.解：二a / b ,且 a # 0,二 b =九a,即(x +1)m +8n + 2yp = 3舄m 27m 4舄p.x 1 8 2 y又* m,n, p不共面，二=堂,二 x = 13, y =8. 3 -2 -4点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。例4、底面为正三角形的斜棱柱 ABO A1B1C1中，D为AC的中点，求证： AB/平面 CBD.、一rn 口 、一r * 一 - L - 1 二 1?.- .一 一 .* : j己 AB a, AC zzb, AA c,贝，AB
14、a -tc, DB =AB AD za b, DC =DC +CC b +c DB +DC a +c=AB,.AB1, DB, DC1 共面.BC平面 GBD, AB1/ 平面 GBD.（四）强化巩固导练1、 已知正方体 ABCD- A1B1C1D中，点F是侧面CDDC1的中心，若 aF =aD+xaB+yAA；，求x-y的值.解：易求得 x =y =1,. x y =02在平行六面体 ABCD AB1C1D1中，M为AC与BD的交点，若 扁 =a, AS =b, A1A=c,则下列向量2、中与B1M相等的向量是 （A ） 。A.a+ _lb + c B. _1 a + b + c2 2 2
15、21 向量BA,BB1,BC，贝U AB1 = BB1 BA,BM = BC BB1 2（五）、小结：1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明.对于垂直，一般是利用abuab= 0进行证明.对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明. 2.运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模.而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果. 3 .利用向量求夹角（线线夹角、线面夹角、面面夹角 ）有时li、I2, AB为其公垂线段，G D也很方便.其一般方法是
16、将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cos。= a b . 4 .异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线 a I b|PoP n|为n,点P是平面a外一点，且 RE a，则点 P到平面a的距离是（六）、作业布置： 课本P32页A组中2、3、4 B 组中3课外练习：课本P39页A组中8 ; B组中3;复资P130页变式训练中1、2、3、5、6五、教学反思：第二课时 空间向量的坐标运算一、 复习目标：1、理解空间向量坐标的概念； 2、掌握空间向量的坐标运算； 3 .掌握用直角坐标讨算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式.二、 重难点：掌握空间向量的坐标运算
17、；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点 间的距离公式.三：教学方法：探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基础知识过关（学生完成下列填空题）1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直， 且长为1 ,这个基底叫单位正交基底,4时 44用i,j,k表示；（2）在空间选定一点 O和一个单位正交基底i,j,k,以* 0 I点O为原点，分别以i, j, k的方向为正方向建立三条数轴： x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系 O -xyz,点O4 4 4叫原点，向量 i, j, k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xO
18、y平面，yOz平面，zOx平面；2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系 O-xyz中，对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数组（x, y, z）OA = xi + y j + zk ,有序实数组（x, y, z）叫作向量A在空间直角坐标系 O - xyz中的 坐标，记作 A（x, y, z） , x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标.3、设 a= (a1,a2, a3) , b= (b1, b2 ,b3)(4) all b ab a2b2 a3位(5)模长公式：若 a=(a),a2,a3), 则 |a |= ： = Ja： &2、+a32 .(6) 夹角公式： cos (a b) = H
19、a b |a|b| a2 a； a32.n2 b22 b32(7) 两点间的距离公式：若 A(x1,y1, ), B(x2,K,丕)，则 | AB|=JAB2 =J(&-对 +(五y1)2 +(丕一乙)2(8) 设 A =(xi, y，zi), B =(x2, y2, z2)则 AB =, AB =AB的中点M的坐标为.4、 直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量?5、 平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？（二）典型题型探析题型1 :空间向量的坐标例 2、已知空间三点 A ( 2, 0, 2), B ( i, i, 2), C ( 3, 0, 4)。设 a =AB , b =
20、AC , (i)求 a 和b的夹角6 ； (2)若向量ka + b与ka 2b互相垂直，求k的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果 解：. A( 2, 0, 2) , B ( i, i, 2), C(- 3, 0, 4) , a = AB , b = AC , * fa=(i , i, 0), b= (-i, 0, 2).1 ,0 0 i0 i0(1)cos 6= a b = 2 5 =_ 和，a 和 b 的夹角为一节。I- (2). ka+b=k (i, i, 0) + (一 i, 0, 2) = ( k i, k, 2),! * * k a
21、 2b=(k+2, k, - 4)，且(ka+b)上(ka 2b ),. ( k i, k, 2) (k+2, k, 4) =(k i)(k+2)+k 2- 8=2k2+k i0=0。5则 k= 2 或 k=2。点拨：第(2)问在解答时也可以按运算律做。(a+b)(k a2b)=k2a2-日-b2b2=2k2+k-5i0=0,解得 k= 2 ,或 k=2。题型2：数量积例3、( i)(2008上海文，理2)已知向量a和b的夹角为i20，且| a|=2 ,| b|=5，则(2a b ) a =冗 (2)设空间两个不同的单位向量 a=(xi, yi, 0) , b=(x2, 0)与向量c=(i ,
22、 i, i)的夹角都等于4。(i)求xi+yi和xiyi的值；(2)求的大小(其中0v v兀)。I- T ir fc- i- -t- fc-解析：(i)答案：i3；解析：( 2a b ) a =2a2 b - a=2| a |2 | a | - | b | - cosi20 =2 - 42 2 2 2x1 +y 1 =1, - x 2 =y 2 =1.-2 - 5( 1) =13。(2)解：(1) . | a |=| b |=1 ,2，.6.2F F cos= 40 v兀，= 3。评述：本题考查向量数量积的运算法则。 题型3：空间向量的应用例 4、(1)已知 a、b、c 为正数，且 a+b+c
23、=1,求证：*13a+1 +J13b 刊+J13c+1 4后。(2)已知F1=i+2j+3k, F2=-2i +3j -k, F3=3i-4j+5k，若Fi, F2, F3共同作用于同一物体上，使物体从点M (1, -2 , 1)移到点M(3 , 1, 2),求物体合力做的功。解析：(1)设 m=q1, ,寸1), n=(1, 1,1),贝U | m |=4 , | n |=寸3 .m - n | m | | n | ,m - n = 532+1 + 53b +1 + Wc*1 v | m | | n |=4 31 1 1 1当 VTsTR =新*1 = E3c +1 时，即 a=b=c= 3
24、 时，取=”号。(2)解：W=F S=(Fi+F2+F3)- M1M2=14。 1- P- -I- 1- -92 一 ， 2 . 2 2、， 2 2 2、点评：右 m =(x , y,z) , n =(a , b, c)，则由 m - n | m | | n | ,碍(ax+by+cz) a - b的应用，解题时要先根据题设条件构造向 量a , b,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。（三）、强化巩固训练1、（07天津理，4）设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则(a - b ) c - (c - a ) b =0 |a| -1 b | |而|,且AB与CD同
25、向，贝u AB CDD.若两个非零向量 AB与CD满足AB + CD =0，贝U AB / CD3.若 a=(2x,1,3), b=(1,-2y,9), 且 a/ b,则(C )。A.x=1,y=1B.x= - , y=-2 2C.D.x=- - , y=- 6 2x= - , y=-6 24,已知A （1, 2, 3）, B （2, 1 , 2）, P（1, 1 , 2）,点Q在直线 OP上运动，当QA - QB取最小值时，点Q的坐标是, 答案 M4,8；3 3 35.在四面体 O-ABC中，OA=a, OB =b, OC =c,D为BC的中点,E为AD的中点，贝U OE = （ 用a, b, c表小）. 答案 1 a+ b+1c2 4 4（二）、典例探析例1、如图所示，在平行六面体 ABCD-AB1C1D中，设aA1 =a,AB=b, AD =c
