不等式的概念与性质.docx
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不等式的概念与性质
不等式的概念与性质
题目第六章不等式不等式的概念与性质
高考要求
掌握不等式的性质及其证明,能正确使用这些概念解决一些简单问题
知识点归纳
1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系:
2.不等式的性质:
(1),(反对称性)
(2),(传递性)
(3),故(移项法则)
推论:
(同向不等式相加)
(4),
推论1:
推论2:
推论3:
不等式的性质是解、证不等式的基础,对于这些性质,关键是正确理解和熟练运用,要弄清每一个条件和结论,学会对不等式进行条件的放宽和加强
题型讲解
例1已知三个不等式:
①ab>0②bc>ad③>,以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成多少个正确的命题?
并写出这些命题
解:
可以组成下列3个命题
命题一:
若ab>0,>,则bc>ad
命题二:
若ab>0,bc>ad则>,
命题三:
若>,bc>ad则ab>0
由不等式的性质得知这三个命题均为真命题
例2有三个条件:
(1)ac2>bc2;
(2)>;(3)a2>b2,其中能分别成为a>b的充分条件的个数有()
A.0B.1C.2D.3
解:
(1)由ac2>bc2可知c2>0,即a>b,故ac2>bc2是a>b的充分条件
(2)cb的充分必要条件,故答案选B
例3若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),试比较P,Q,R的大小
解:
∵a>b>1,∴lga>lgb>0,
∴又∵∴例4设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4,求f(-2)的取值范围
分析:
因为f(-1)=a-b,f
(1)=a+b,而1≤a-b≤2,2≤a+b≤4;又a+b与a-b中的a,b不是独立的,而是相互制约的,因此,若将f(-2)用a-b与a+b,表示,则问题得解
解:
设f(-2)=mf(-1)+nf
(1),(m,n为代定系数)
则4a-2b=m(a-b)+n(a+b)
即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,
于是得得:
m=3,n=1
∴f(-2)=3f(-1)+f
(1)
∵1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4
∴5≤3f(-1)+f
(1)≤10,
故5≤f(-2)≤10,
另法:
以上解题过程简化如下:
由得
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f
(1)
点评:
严格依据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证若先将参数a,b的范围求出,而后再求f(-2)的范围,这样操作是错误的,因为解题过程没有忠实题目所给条件,即变形不等价,由所求的参数a,b的范围并不能得到已知条件所给的f(-1)及f
(1)的范围,这样,已经改变了题目的条件,当然,所求的结果就不是实际的结果因此,在解题的过程中,务必尽可能保持变形的等价性,以免发生错误
例5已知a>b>c,a+b+c=0方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1,x2
(1)证明:
-;
(2)若x12+x1x2+x22=1,求x12-x1x2+x22
(3)求
解:
(1)a>b>c,a+b+c=0,
∴,
∴a>0,1>
∴
(2)(方法1)a+b+c=0
∴ax2+bx+c=0有一根为1,
不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0,
而x2=x1x2=∴x12-x1x2+x22=3
(方法2)x1+x2=-,x1x2=
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2==1,
∴
∴x12-x1x2+x22=x12+x1x2+x22-2x1x2=1-2x1x2=1+
(3)由
(2)知,
=
∴-
∴
小结:
在不等式的性质中,要特别注意下面4点:
1不等式的传递性:
若a>b,b>c,则a>c,这是放缩法的依据,在运用传递性时,要注意不等式的方向,否则易产生这样的错误:
为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后,就误认为能得到a>c
2同向不等式可相加但不能相减,即由a>b,c>d,可以得出a+c>b+d,
但不能得a—c>b—d
3不等式两边同时乘以一个数或式时,只有该数或式保证为正,才能得到同向的不等式,否则不能保证所乘之数或式为正,则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向;不等式两边同偶次乘方时,也要特别注意不等式的两边必须是正
总之,不等式的概念和性质是本章内容的基础,是证明不等式和解不等式的主要依据,必须透彻理解,特别要注意同向不等式可相加,也可相乘,但相乘时,两个不等式都需大于零处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式,如果需要去分母,一定要考虑所乘的代数式的正负
作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法,应引起高度注意
学生练习
1.已知aA1Da2>b2
答案:
D
2.已知命题甲:
acc,b>d,则甲是乙的()
A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件
答案:
D
3.若|a+c|A-b答案:
C
4.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是()
Ac答案:
B
5若0A>B>Ca+>b+Da>ab
答案:
B
提示:
∵00
6.若bAac>bdB>Ca+c>b+dDa-c>b-d
答案:
C
7.已知1AMNDM与N大小不确定
答案:
C
提示:
M-N=-x2+4x-3=-(x-2)2-1,x∈(1,3),M-N>0
8.已知ab≠0,则>1是A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件
答案:
A
提示:
∵ab≠0,>1,若a>0,b>0,则b>a>0,
∴9.若a,b,c都是正数,且aA答案:
A
10下列函数中,其最小值为2的函数是()
Ay=x+By=sinθ+secθ(0Cy=Dy=sinθ+cscθ(0答案:
D
11.设a,b为实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值是()
A6B4C2D2
答案:
B
提示:
∵a+b=3,∴2a+2b≥2=4
12.已知k为实数,方程x2+(k+3)x+4+k=0有实根的充要条件是
Ak≥4B-3≤k≤3Ck=±3Dk≠0
答案:
C
提示:
∵方程x2+(k+3)x+4+k=0有实根,∴x2+kx+4=0,且3x+k=0,x=-,代入到x2+kx+4=0中解得k=±3
13.若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是()
AB10C9D5+2
答案:
B
提示:
方程x2+y2-2x+4y=0化为(x-1)2+(y+2)2=5,(x,y)为圆上一点,设x=1+sinα,y=-2+cosα,则x-2y=5+5sin(α+φ),∴最大值为10
14.若0ABbC2abDa2+b2
答案:
B
提示:
b>a,b>,2a15.若f(x)=|lgx|,且当afC>fB,则下列各式中()成立
A(a-1)(c-1)>0Bac=1Cac>1Dac答案:
D
提示:
用图象分析,a1,又fA>fC,>c,∴ac16.不等式+>2成立的充要条件是
答案:
ab>0且a
17.若a>0,b>0,a+b=1,比较大小:
2
答案:
≤
18.已知lgx+lgy=2,则+的最小值是
答案:
提示:
xy=100,+≥2=
19.当x≠0时,的最大值是
答案:
20.若直角三角形的周长为2,则它的最大面积是
答案:
3-2
提示:
设斜边为c,a=csinα,b=ccosα,a+b+c=2,c(1+sinα+cosα)=2,c1+sin(α+)]=2,c≤=2(-1),S△=c2sin2α≤c2=3-2
21.若2x2+3y2=64,则x2+y2的最大值是
答案:
32
提示:
x2+y2=,x2≤32,∴x2+y2≤32
22.若不等式答案:
10,对于x取一切实数都成立,∴23.要使不等式kx2-kx+1>0对于x的任意值都成立,则k值为
答案:
0≤k提示:
当k=0时,不等式成立,当k≠0时,要求k>0且24.a,b,c为正数,(a+b+c)(++)的最小值为
答案:
9
提示:
(a+b+c)(++)=3+≥9
25.若8x2++=6,且xy>0,则x=,y=
答案:
x=±,y=±1
提示:
∵xy>0,∴8x2++≥3=6,当8x2==时,等号成立,∴x=±,y=±1
26.设-1A8答案:
B
27.若x>y>1,且0a;③logxloga(),其中正确的个数为()
A1B2C3D4
答案:
D
28下列命题:
①a≥ba-b≥0;②3≥5是矛盾不等式;③x2-2x+2>0是条件不等式;④a+1>1是绝对不等式其中真命题的个数为()
A0个B1个C2个D3个
答案:
C提示:
①、②是真命题
29设数轴(方向由左向右)上的点M、N分别对应于坐标xM、xN,且xMAM在N右边B当M在原点左边时,N不可能也在原点左边
CM在原点左边,N在原点右边DM在N左边
答案:
D
30下列判断:
①a1>b,a2>b则a1>a2;②若ac>bc,则c>0;
③由lg>lg,2>1,有2lg>lg;④a>b,则A1个B2个C3个D4个
答案:
D
31若a3Aa4>-6aBa2
答案:
A
32下列命题:
①不等式两边减去同一个数或式子,不等号方向不变;②两个不等式两边分别相加得到与被加式同向的不等式;③不等式两边改变符合时,不等号反向;④两个同向不等式的对应边相乘,方向不变;⑤两个异向不等式的对应边相除新不等式与被除式同向其中正确命题的个数是()
A3个B4个C2个D5个
答案:
C提示:
①,③正确
33设a>b>0,0Aa•lg(sinx)>b•lg(sinx)Ba•lg(sinx)Ca•lg(sinx)≥b•lg(sinx)Da•lg(sinx)≤b•lg(sinx)
答案:
D提示:
lg(sinx)≤0,∴a•lg(sinx)≤b•lg(sinx)
34若a-b>a,a+bAa>0,b>0Ba>0,b0
答案:
C
35下列推导中,不正确的是()
Ac-abB0a>b
Ca>b>0,c>d>0Da答案:
B
36若a、b、c、d四个数满足条件:
①d>c;②a+b=c+d;③a+dAb>c>d>aBa>d>c>bCd>b>a>cDb>d>c>a
答案:
D
37下列命题中正确的是()
A由不等式M可以导出不等式N,则M是N成立的必要条件
BM≥N是M>N成立的充分条件
C不等式M与不等式N两者等价,则M是N的充要条件
D不等式M不成立时,不等式N也不成立,则M是N的充分条件
答案:
C
38若a,b∈R,c∈Q,则使ac>bc成立的充分条件是()
Aa>b>0,cb,a>0,c>0Cb>a>0,ca>0,c>0
答案:
C
39下列不等式在a、b>0时一定成立的是()
A≤≤≤
B≤≤≤
C≤≤≤
D≤≤≤
答案:
A
40a>0,a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则P、Q的大小关系是()
AP>QBP答案:
A
41在下列结论中错用重要不等式作依据的是()
Ax、y、z∈R+,则≥3B≥2
Clgx+logx10≥2Da∈R+,(1+a)(1+)≥4
答案:
C提示:
C中要求x>1,当042设a、b、m都是正数,且aA答案:
B提示:
-=43下列说法正确的是()
An个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
B三个数的立方和不小于这三个数的积的三倍
C一个数与其倒数之和不小于2
D几个非负数之和也一定非负
答案:
D
44若a>0>b,则(填“>”,“答案:
>
45若a>0,b0,则a、b、-a、-b的大小关系是
答案:
a>-b>b>-a
46介于两个连续自然数之间,这两个数是
答案:
3,4提示:
=lg(24×32×7)=lg1008,
∴347若不等式A与不等式B等价,则A是B的条件;若由不等式A可以导出不等式B,则A是B的条件
答案:
充要条件;充分条件
48当条件满足时,成立
答案:
ab>0,a>b或a0
49在用分析法证明不等式过程中,前面的不等式是后面不等式的条件;后面不等式是前面不等式的条件
答案:
必要条件;充分条件
50使不等式a2>b2,>1,lg(a-b)>0,2a>2b-1都成立的a与b的关系式是
答案:
a>b+1且b>0
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- 不等式 概念 性质
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