误差理论与数据处理2016..ppt
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误差理论与数据处理ErrorAnalysis&DataProcess,张朝晖自动化学院仪器系北京科技大学2016春季,课程简况课程编号:
1050339课程类别:
必修适用专业:
测控技术与仪器总学时:
28+4学分:
2先修课程:
高等数学,概率论与数理统计等考核方式:
考试(70%)+作业及出勤(30%),参考文献费业泰编,误差理论与数据处理,机械工业出版社,2010年,第6版丁振良编,误差理论与数据处理,哈尔滨工业大学出版社,2002年,第2版梁晋文,误差理论与数据处理,中国计量出版社,2001年,第2版杨惠连编,误差理论与数据处理,天津大学出版社,1992年,第1版钟继贵,误差理论与数据处理,水利电力出版社,1993年,第1版沙定国,实用误差理论与数据处理,北京理工大学出版社,1993年,第1版,第1章绪论,第1节测量的本质,1测量对一个物体或现象进行量(quantity)的描述,称为测量。
量=1个数+1个单位,第1节测量的本质,量可以是物理、化学、生物、信息等各领域的,但归根到底是物理的,并且可以由7大基本物理量(相互独立)衍生出来:
长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度,第1节测量的本质,单位将逐渐建立在物理效应上。
相应基本量的单位:
长度(米)、质量(千克)、时间(秒)、电流(安培)、热力学温度(开尔文)、物质的量(摩尔)、发光强度(坎德拉),第1节测量的本质,数L=10.00mI=0.001A尽管我们想象某个量可能会存在一个确定数,但是,测量过程是人为施加的,测量的结果不会是一个绝对真实的数。
误差总是可观存在的。
误差(Error):
误差测量值真值,第1节测量的本质,第2节存在误差的原因,第2节存在误差的原因,系统误差(SystematicError):
由于仪器原理不完善、环境变化所造成。
在重复测试下,误差具有确定性规律。
例如总是“+”,或随测试条件而波动起伏。
可以通过标定、环境补偿等方法消除。
第2节存在误差的原因,随机误差(AccidentalError):
仪器本身、测量环境中不可控因素造成。
在重复测试下,误差具有统计性规律(多种)。
通过本课程“误差理论及数据处理”,能够显著降低。
人的误差(Humanerror):
测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。
为了减小测量人员误差,测量人员应该了解测量仪器的测量原理和特性,熟练掌握测量规程,精心进行测量操作;对于重要的量,可以多人测量核对。
第2节存在误差的原因,第3节误差的表达,特点:
绝对误差具有大小、符号、单位。
(不是绝对值),第3节误差的表达,LLL0,绝对误差(AbsoluteError)测量值真值,真值L0,或测量值L,特点:
1)相对误差有大小和符号。
2)无量纲,一般用百分数来表示。
相对误差(RelativeError)=绝对误差与真值(或测量值)之比,第3节误差的表达,引用误差(FiducialError),标称范围(或量程)上限,标称范围(量程)内的最大绝对误差,特点:
方便使用,不需知道具体测量值,只要知道范围即。
第3节误差的表达,第4节研究误差的意义,正确认识误差的性质,分析误差产生的原因,从根本上,减小误差,正确处理测量和实验数据,合理计算所得结果,通过计算得到更接近真值的数据,正确组织实验过程,合理设计、选用仪器或测量方法,根据目标确定最佳系统,第5节有效数字,1有效数字(SignificantFigures)在表达“量”的“数”中,并不是每一位都有意义(携带信息),右边的低位意义较小、甚至没有意义。
如果绝对误差小于最末尾数的半个单位,那么这一位、以及往前直到非零的最高位,都称为有效数字。
例如,假设某个测量的最大绝对误差是0.003(0.005),则测量结果读数是1.2345中,有效数字是1.23,后面的4、5都不是有效数字。
又如,假设最大绝对误差是0.007(0.05),则测量结果读数1.2345中,有效数字是1.2,后面的3、4、5都不是有效数字。
又如,有效数字123.00表明最大绝对误差是0.005,7.20*104表明最大绝对误差是50(记法72000是含糊的)。
(这里是对测量结果的记录而言,不是寄存器数据0x00FF),第5节有效数字,2非有效数字的取舍既然测量仪所显示的数字并不都有意义,为简洁就没必要保留所有显示数据,应该对非有效数字进行取舍。
如果已知最大绝对误差是某半位,例如0.005,那么之后的非有效数字可按下规则取舍:
(1)小于0.005的,舍弃3.14493.14
(2)大于0.005的,进位3.145013.15(3)等于0.005的,凑偶3.165003.163.135003.14,事实上,仪表显示的有效数字是根据最大绝对误差设计的,保证都是有效数字。
第5节有效数字,3不同有效数字的运算,
(1)在有效数字进行运算之前,为保证最后结果不丢失信息,应多保留一位作为参考数字。
(2)在近似数做加减运算时,各运算数据以小数位数最少的数据位数为准,其余各数据可多取一位小数,但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。
例:
记录数据2643.0,987.7,4.187,0.2354,最大绝对误差小于0.05,求和:
2643.0+987.7+4.19+0.24=3635.133635.1(有效数字也能取舍?
)48.1+78+65.38=48.1+78+65.4=191.5192(有效数字也能取舍?
)48.1+78+65.38=191.48191(结果相同?
)25.6-21.1-2.43=2.072.1,第5节有效数字,(3)在近似数乘除运算时,以有效位数最少的为准,其余数据可多取一位有效数,但最后结果应与有效位数最少的相同。
483*73.67/15.67=2267.72.27*103483*73.678/15.67=483*73.68/15.67=2271.02.27*103(4)在近似数平方、开方、指数运算时,与乘除运算相同。
exp(0.0189*25)=exp(0.4725)=1.601.6,第2章误差特征与数据处理,对同一量进行重复测量时,测量值(又称为测量列)或者误差的大小、正负会随机变化,不可预测,但是具有统计规律。
1正态分布
(1)来源如果随机误差是由大量、微小因素迭加而成的,那么这种随机误差服从正态分布。
-中心极限定理:
大量的、独立的、具有一定(非无限)期望和方差的随机变量之算术平均值,服从正态分布。
(无论每个随机变量服从何种分布),第1节随机误差,例如:
测量装置方面的因素环境方面的因素,零部件变形及其不稳定性,信号电路的随机噪声等。
温度、湿度、气压的变化,光照强度、电磁场变化等。
第1节随机误差,
(2)形态式中:
标准差(或均方根)e自然对数的底2.7182特点:
单峰,对称,有界,0均值标准差的含义:
如图,第1节随机误差,(3)真值的估计均值对某量进行一系列等精度测量。
设为n次测量的数值,则真值的无偏、最小方差估计就是它们的算术平均值这种估计算法的效果怎么样?
数学期望就是真值,即当n很大时非常接近真值;(4)均值的评价之一-标准差方差是,标准差,可见是显著减小、显著改善的。
第1节随机误差,如果你是用户(无大量重复测试或标定的条件),应从厂商取得;如果你是厂家,可以用数据列来估计:
定义残差,则贝塞尔法(样本方差法):
,别捷尔斯法:
极差法:
最大误差法:
第1节随机误差,n-1才能无偏,第1节随机误差,此时,均值的标准差,第1节随机误差,例1求测量列的标准差。
解:
按贝塞尔法,按别捷尔斯法,按极差法,按最大误差法,,第1节随机误差,(5)均值的评价之二极限误差单次测量的极限误差一般定义为,即每次测量值落在真值范围内的概率高达99.73%.现在考虑测量n次后的均值,其标准差是,所以极限误差是,超出此范围的概率小到0.27%。
继续考虑这个问题。
如果不知道,就只能用,此时无法再查正态分布表。
按照,应该查t分布表。
例如n=10,则自由度n-1=9,查超出范围的概率小到0.27%(即置信度99.73%)的极限误差为。
第1节随机误差,第1节随机误差,例2求测量列的极限误差。
解:
置信度99.73%的极限误差为,第1节随机误差,2均匀分布
(1)来源在一定范围内,各点出现的概率相等。
例如,刻度盘误差、模数转换误差、机械传动中的空程误差、摩擦滞后误差。
第1节随机误差,分布密度:
分布函数:
它的数学期望为:
它的方差、标准差分别为:
如果厂家未提供a,可以估计:
第1节随机误差,对于U(0,a),对于U(,),
(2)真值的估计式,第1节随机误差,3其他分布
(1)三角形分布两个均匀分布的随机变量,其和的分布为三角分布。
第1节随机误差,
(2)反正弦分布随机误差的概率密度函数与某个角度有关。
(略),第1节随机误差,4不等精度测量对于测量列l1,l2,.,ln,如果它们的期望是l0,方差分别是无论服从何种分布,都应该取下式可以证明,这是对真值的最佳线性无偏估计。
第1节随机误差,若i2未知,无法用现在的测量列(例如S2)来评价。
可以先估计每一个i2,例3用三种精度(误差的方差不同)的仪表测量一只钢卷尺的长度,结果分别是1=0.05mm的仪表,测得l1=2000.452=0.20mm的仪表,测得l2=2000.153=0.10mm的仪表,测得l3=2000.60求:
真实长度l0的最佳估计。
解:
第1节随机误差,结果接近第一个,例4用国家基准米尺连续三天测量一只工作基准米尺。
三个结果分别是999.9425mm(三次平均),999.9416mm(两次平均),999.9419mm(五次平均)。
求工作基准米尺的长度估计值。
解:
设国家基准米尺的误差方差为2,无论何种分布。
则每天结果的方差分别为2/3,2/2,2/5,即属于不等精度(方差)的测量。
考虑三天个结果,长度的估计为,第1节随机误差,最接近5次平均的那个结果,1系统误差的原因原理不完善-容积式流量计(罗茨泄漏),辐射测温(辐射率1),接触电阻电势制造安装-零点,不对称,轨道不平行,不垂直,.环境因素-温度(伸缩、电阻率),湿度(绝缘),时间累积(CL),.人工因素-观察倾向、反应时间(动态测量),.(自动测量不再有此问题),第2节系统误差,2系统误差的规律如果重复测量,误差的大小、符号不一定变化,因此不再是独立的、零均值的平稳随机数据。
如果改变测量条件、环境(或时间),误差会出现一定规律,显示出关联性。
由于系统噪声总是与随机噪声混迭在一起的,所以这种关联性不是分析数学、而是统计意义下的关联性。
例如:
固定不变的误差-例如基准的变化随测量值增加而线性变化的误差-例如反馈部件随测量值增加而周期变化的误差-例如偏心旋转随测量值增加而复杂变化的误差-例如流量开方,第2节系统误差,3系统误差的发现不同仪器的对比用更高级、或同级的另外仪器,同时测量对比。
-能够发现固定不变的系统误差。
例如,第2节系统误差,残差观察-红线为平均值,由此可以求出残差。
看残差的时间规律。
虽然其平均值总是为0,但每个残差值有明显的时间规律,见图。
马利科夫准则:
如果前后两段的残差平均值相差较远,即明显非0,则可以发现线性变化的系统误差。
第2节系统误差,阿贝-赫梅特准则(Abbe-Helmertcriterion):
如果相邻数据存在强关联性(Rxx
(1),则存在周期性系统误差。
第2节系统误差,秩和检验两组测量列,之间是否存在系统误差?
xii=1nyii=1m按大小顺序重新排列,找出测量列短的数据的顺序秩,然后求出秩和T.查秩和检验表,得到T+,T-。
若T-TT+则不存在系统误差。
第2节系统误差,t检验两组测量列,xii=1nyii=1m如果都来自正态总体,它们间是否存在系统误差?
利用两个样本的均值和样本的方差来检验两者均值的差。
第2节系统误差,不同于无偏的样本方差的含义,因为所以又因将xi,i=1,2,n做正交变换,可得上式实际为(n-1)项之和,因此同理,。
因此可见,,第2节系统误差,如果xi,yi来自同一总体,即期望、方差分别相等,则上式简化为即此式可用于检验xi,yi是否来自同一总体!
第2节系统误差,由及取,查t分布表得.又因,故无根据怀疑两组间存在系统误差。
则,解:
第2节系统误差,例5两测量列数据为:
x=1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4y=0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0,4系统误差的减小和消除
(1)消除系统误差的来源通过上述分析找到系统误差后,最好能消除其来源。
所用基准件、标准件(如量块、刻尺、光波容器等)是否准确可靠;所用量具仪器是否处于正常工作状态,是否经过检定,并有有效周期的检定证书;仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确合理;所采用的测量方法和计算方法是否正确,有无理论误差;测量的环境条件是否符合规定要求,如温度、振动、尘污、气流等;注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。
第2节系统误差,
(2)修正法如果不能消除原因,但已经知道系统误差的大小,则应在测量值上直接修正-减去系统误差。
第2节系统误差,如果不能消除原因,也不知道系统误差大小,只知道规律,就应从测量方法上进行完善。
(3)对恒定的系统误差反向补偿法:
针对产生系统误差的加性因素,在正、反因素下各测一次,然后取算数平均。
第2节系统误差,例6在使用丝杠转动机构测微小位移时,为消除微丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的定回误差,可采用往返两个方向的两次读数取均值作为测量结果,以补偿定回误差的影响。
交换法:
针对产生系统误差的乘性因素,在正、反因素下各测一次,然后取几何平均。
(将某些条件交换。
)例7称重天平不等臂。
先将被测量X放于天平一侧,砝码P放于其另一侧,调至平衡,则有再将X与P交换位置,天平将失去平衡。
将砝码调整为P+后再次平衡,则有两者相乘,有消除了乘性因数(臂长l不等)的影响。
第2节系统误差,(4)对线性变化的系统误差对称法随着时间的变化,被测量呈线性增加。
若选定某时刻为对称中点,则对称时间点的系统误差的算术平均值皆相等,即据此,可对称地安排测量,取各对称点两次读数的算术平均值作为测得值,可消除线性系统误差(转化成固定的系统误差)。
例8用“标准量块”A检验“测定量块B”的平面平行性。
先以标准量块A的中心0点对零,然后按图中所示被检量块B上的顺序逐点检定,再按相反顺序进行检定,取正反两次读数的平均值作为各点的测得值,就可消除因温度变化而产生的线性系统误差。
第2节系统误差,(5)对于周期性变化的系统误差半周期法先确定其周期,然后相隔半周期进行两次测量,取两次读数的平均值,即可有效消除周期性系统误差。
假设周期性系统误差可表示为当时,误差为当时,误差为取两次读数的平均值,则有由此可知半周期法能消除周期性系统误差。
第2节系统误差,例9仪器刻度盘偏心安装、表针回转中心与刻度盘中心偏心安装,都会引起周期性误差,可用半周期法予以剔除。
(6)对复杂规律变化的系统误差通过构造合适的数学模型,进行实验回归统计,进行系统误差的补偿或修正。
第2节系统误差,在一系列重复测量中,如果个别数据的大小与其它数据有明显差异,这些可疑数据可能含有粗大误差。
在小样本中,此数据会拉高与其他数据的平均值,使偏离真值更远(出现大误差的概率虽然小,但在小样本中也可能出现)。
因此,应当判别出粗大误差,并剔除之。
1产生的原因测量人员的主观原因客观外界条件的原因,测量者工作责任感不强、工作过于疲劳、缺乏经验操作不当,或在测量时不小心、不耐心、不仔细等,造成错误的读书或记录。
测量条件意外地改变(如机械冲击、外界振动、电磁干扰等)。
第3节粗大误差,2、粗大误差的判别
(1)准则准则是最常用、最简单的粗大误差判别准则。
对正态分布的测量列,如果方差未知,可以用贝塞尔公式来估计如果测量次数充分大,这个估计是比较准确的。
对某个可疑数据,若其残差满足则可认为该数据含有粗大误差,应予以剔除。
第3节粗大误差,例10对某量进行15次等精度测量,测量列如下表所示。
假设不存在系统误差,试判别该是否含有粗大误差的测量值。
第3节粗大误差,因为所以l8存在粗大误差。
剔除l8后重新计算上表,将、列入表中,有所以不再有粗大误差。
第3节粗大误差,
(2)t检验对于正态分布的测量列,在方差未知下,如果测量次数很少,就应该用t分布而非正态分布做检验。
首先将怀疑有粗大误差的测量数据(假设仅1个)作为一个测量列,将其余比较可信的数据(长度为n)作为另一个测量列。
假设后一个测量列来自,其样本均值样本方差前一个测量列(单个数据),假设来自同一总体,则,第3节粗大误差,可据此检验ld是否来自同一样本,即是否粗大误差。
按t分布在显著度(置信度1-)下的检验系数来进行注意,书中N=n+1,。
若写成类似形式,书中将列成了下表:
第3节粗大误差,t分布的检验系数,第3节粗大误差,t分布的双侧临界值,第3节粗大误差,例11仍分析上例中是否含有粗大误差。
解:
首先,将怀疑的第8个测量值剔除,按剩下的14个测量值,查t分布在显著度(置信度1-)下的双侧临界值因为所以第8数据含有粗大误差。
也可以按书,查。
因为所以结论相同。
第3节粗大误差,(3)顺序检验设测量列应该服从正态分布,按从小到大的顺序,整理成顺序统计量,格罗布斯研究了最小、最大两个统计量,的分布,将显著度(一般取0.05、0.01)下的临界值列表,即,也即最大、最小者都不可能太远离平均值,否则就是含着粗大误差。
第3节粗大误差,第3节粗大误差,例12仍见上例,按大小顺序排列得已知查表得,则最小测量值(第八个)含粗大误差,应予剔除。
对剩下的14个数据重复上述分析。
因为查表得,故测量值不再含粗大误差。
第3节粗大误差,(4)极差比值法对于正态分布的测量列,狄克松(Dixon)提出了一种无需估算标准差、直接根据排序后的某几个极差之比的判别方法。
首先按大小顺序排列,然后观察几个统计量,第3节粗大误差,在显著度下,这些统计量的临界值如表所示。
若这些统计量超过临界值,则可以认为相关的测量值含有粗大误差。
第3节粗大误差,而且,,第3节粗大误差,例13仍见以前测量数据,按大小顺序排列如下:
先观察最大值。
因为n=15,宜考虑统计量查表得。
因为,故不含有粗大误差。
第3节粗大误差,再观察最小值。
n=15仍宜考虑统计量因,故存在粗大误差,应剔除。
继续观察剩余数据。
因为n=14,宜采用下列统计量,第3节粗大误差,总结大样本情况(n50),宜用3准则(不必查表)。
当n较小时,用顺序检验适于剔除一个异常值,用极差比值法适于剔除多个异常值。
当n很小时,可以采用t检验。
在重要实验场合,可以选用二、三种准则同时判断。
当一致认为某值应剔除或保留时,则可以放心地加以剔除或保留。
当几种方法的判断结果有矛盾时,则应慎重考虑,一般以不剔除为妥。
因为留下某个怀疑的数据后算出的只是偏大一点,这样较为安全。
第3节粗大误差,第3章间接测量中的误差传递与分配,间接测量:
通过“直接量”,及“间接量”与“直接量”之间的函数关系,计算出“间接量”,这个过程称为间接测量。
第1节误差的传递,1间接测量的误差,第1节误差的传递,间接测量的数学模型,其中,是与间接量y有函数关系的各直接量。
“间接量”的误差不仅与“直接量”的误差有关,而且与函数形式有关,是“直接量”误差的函数。
对上述函数y求全微分,第1节误差的传递,例子:
和的量纲或单位不相同,则起到误差单位换算的作用,和的量纲或单位相同,则起到误差放大或缩小的作用,
(1)如果各“直接量”存在确定的误差(系统误差)对y的影响为:
为各个输入量在该测量点处的误差传播系数,第1节误差的传递,例1用弓高弦长法间接测量大工件直径。
如图,车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm,弦长l=500mm。
已知,弓高的系统误差h=-0.1mm,弦长的系统误差l=1mm。
试问车间工人测量该工件直径的系统误差,并求修正后的测量结果。
解:
大工件直径的间接测量函数,不考虑直接量的系统误差,可求出在,处的直径为,第1节误差的传递,车间工人测量弓高h、弦长l的系统误差,直径的系统误差:
故修正后的测量结果:
第1节误差的传递,当然,也可以先校正直接量,再计算直径,结果相同。
例2用双球法间接测量内锥角。
如图,已知求内锥角。
解:
内锥角的间接测量函数故,第1节误差的传递,系统误差为:
第1节误差的传递,校正后,内锥角为:
也可以先对直接量进行校正后,再计算内锥角,结果相同,见下。
第1节误差的传递,
(2)如果各“直接量”存在随机误差,第1节误差的传递,假设“直接量”xi的方差为,且各直接量之间相互独立,则“间接量”y的方差、标准差为,例:
第1节误差的传递,解:
已经估计出D=1292.6mm,例1中,若已知。
试估计该工件的直径及标准差。
第1节误差的传递,例2中,若已知试估计内锥角的标准差。
解:
内锥角的标准差为,第1节误差的传递,第2节误差的分配,误差分配:
给定“间接量”的允许误差,如何选择各“直接量”的误差?
这里只考虑随机误差,且各“直接量”相互独立,因为在给定了y之后,如何确定每一个i?
这是一个多解问题,建议按下列三步骤进行:
(1)均匀分配误差
(2)根据可行性、经济性等因素进行调整(3)结果验算,
(1)均匀分配误差例3为了测量一圆柱的体积,可以间接地测量直径D及高度h,根据关系式计算出体积V。
已知直径和高度的公称值(nominal)分别为若要求体积的相对误差不超出1,试确定直径D及高度h的极限误差。
解:
公称值允许的绝对误差为1%*15708=157.08mm2,这可以视为极限误差。
第2节误差的分配,对于正态分布的误差,由于极限误差是标准差的3倍(或t倍),故极限误差关系也满足标准差关系,即这里所以查不同型号量具的极限误差,可知:
测量直径应该选用2级千分尺,极限误差为0.013mm,测量高度应该选用分度值为0.1mm的卡尺,极限误差为0.150mm。
第2节误差的分配,
(2)按可能性、经济性进行调整如果完全平均分配误差,有的直接测得量很容易达到,而另一些很难达到,特别是对误差传递系数大的那些变量的要求将十分苛刻。
因此,在满足总体要求的前提下,完全可以进行调整。
例4继续上例,总的极限误差过小,说明测量直径的2级千分尺经济性差。
将测量直径的量具降低为刻度0.05mm、极限误差0.08mm的卡尺;同时用它测量高度,则性能还能否满足吗?
第2节误差的分配,第2节误差的分配,(3)结果验算,因此,用一支中等精度的量具,就可以进行满意的测量。
最佳测量方案:
在间接测量中,采用什么方法才能使测量结果的误差最小?
第3节最佳测量方案的确定,对于确定的系统误差,可以在直接量中进行修正。
现在我么选择最佳测量方案,只需考虑随机误差(未定系统误差也按随机误差对待)。
(1)直接量越少越好如果间接测量的函数形式可选择,则所包含的直接量越少越好,即式中项数越少,总的标准差越小。
第3节最佳测量方案的确定,例5用分度值为O.05mm游标卡尺测量两轴的中心距L,试选择最佳测量方案。
已知测量的标准差分别为:
方法一:
测量两轴直径d1、d2和外尺寸L1,其函数式及误差为,由计算结果可知,方法三误差最小。
这主要是因为方法三包含的直接量最少。
测量中心距L有下列三种方法:
第3节最佳测量方案的确定,方法二:
测量两轴直径d1、d2和内尺寸L2,其函数式及误差为,方法三:
测量外尺寸L1和内尺寸L2,其函数式及误差为,
(2)误差传播系数尽量小由误差传递公式,若使各直接量的误差传播系数为0或最小,则间接误差可
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- 误差 理论 数据处理 2016.