高中数学知识点总结.docx
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高中数学知识点总结
高中数学知识点总结
1、对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
3、注意下列性质:
(3)德摩根定律:
4、你会用补集思想解决问题吗?
(排除法、间接法)的取值范围。
6、命题的四种形式及其相互关系是什么?
7、对映射的概念了解吗?
映射f:
A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。
)
8、函数的三要素是什么?
如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
9、求函数的定义域有哪些常见类型?
10、如何求复合函数的定义域?
义域是__1
1、求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
12、反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
13、反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
14、如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)如何判断复合函数的单调性?
15、如何利用导数判断函数的单调性?
值是()
A、0
B、1
C、2
D、3∴a的最大值为3)
16、函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)注意如下结论:
(1)在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数
17、你熟悉周期函数的定义吗?
函数,T是一个周期。
),如:
18、你掌握常用的图象变换了吗?
注意如下“翻折”变换:
19、你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
的双曲线。
,应用:
①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
(看4点)由图象记性质!
(注意底数的限定!
)利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
20、你在基本运算上常出现错误吗?
2
1、如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
22、掌握求函数值域的常用方法了吗?
(二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。
)如求下列函数的最值:
23、你记得弧度的定义吗?
能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?
24、熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义
25、你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?
并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?
,(x,y)作图象。
27、在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。
28、在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?
29、熟练掌握三角函数图象变换了吗?
(平移变换、伸缩变换)平移公式:
图象?
30、熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
A、正值或负值
B、负值
C、非负值
D、正值3
1、熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系:
应用以上公式对三角函数式化简。
(化简要求:
项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。
)具体方法:
(2)名的变换:
化弦或化切(3)次数的变换:
升、降幂公式(4)形的变换:
统一函数形式,注意运用代数运算。
32、正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?
如何实现边、角转化,而解斜三角形?
(应用:
已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。
)
33、用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34、不等式的性质有哪些?
答案:
C
35、利用均值不等式:
值?
(一正、二定、三相等)注意如下结论:
36、不等式证明的基本方法都掌握了吗?
(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)并注意简单放缩法的应用。
(移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。
)
38、用“数轴标根法”解高次不等式“奇穿,偶回”,从最大根的右上方开始
39、解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40、对含有两个绝对值的不等式如何去解?
(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。
)证明:
(按不等号方向放缩)
42、不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?
(可转化为最值问题,或“△”问题)
43、等差数列的定义与性质0的二次函数)项,即:
44、等比数列的定义与性质
46、你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?
例如:
(1)求差(商)法解:
又如:
(2)叠乘法解:
(3)等差型递推公式例如:
(4)等比型递推公式例如:
(5)倒数法
47、你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?
例如:
(1)裂项法:
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。
解:
(2)错位相减法:
(3)倒序相加法:
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
例如:
48、你知道储蓄、贷款问题吗?
△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:
若每期存入本金p元,每期利率为r,n期后,本利和为:
△若按复利,如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款分期等额归还本息的借款种类)若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,第n次还清。
如果每期利率为r(按复利),那么每期应还x元,满足p贷款数,r利率,n还款期数
49、解排列、组合问题的依据是:
分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。
(2)排列:
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一(3)组合:
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不
50、解排列与组合问题的规律是:
相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。
如:
学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩则这四位同学考试成绩的所有可能情况是()
A、24
B、15
C、12
D、10解析:
可分成两类:
(2)中间两个分数相等相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,∴有10种。
∴共有5+10=15(种)情况5
1、二项式定理性质:
(3)最值:
n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第表示)
52、你对随机事件之间的关系熟悉吗?
的和(并)。
(5)互斥事件(互不相容事件):
“A与B不能同时发生”叫做
A、B互斥。
(6)对立事件(互逆事件):
(7)独立事件:
A发生与否对B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
53、对某一事件概率的求法:
分清所求的是:
(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生如:
设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。
(1)从中任取2件都是次品;
(2)从中任取5件恰有2件次品;(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;解析:
有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=103而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析:
∵一件一件抽取(有顺序)分清
(1)、
(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。
54、抽样方法主要有:
简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。
55、总体分布的估计:
用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法:
(2)决定组距和组数;(3)决定分点;(4)列频率分布表;(5)画频率直方图。
如:
从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的概率为____________。
56、你对向量的有关概念清楚吗?
(1)向量既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
(6)共线向量(平行向量)方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(7)向量的加、减法如图:
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)的一组基底。
(9)向量的坐标表示表示。
57、平面向量的数量积数量积的几何意义:
(2)数量积的运算法则[练习]答案:
答案:
2答案:
58、线段的定比分点※、你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?
59、立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线面平行的判定:
线面平行的性质:
三垂线定理(及逆定理):
线面垂直:
面面垂直:
60、三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ,0<θ≤90
(2)直线与平面所成的角θ,0≤θ≤90(三垂线定理法:
A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。
)三类角的求法:
①出或作出有关的角。
②证明其符合定义,并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
[练习]
(1)如图,OA为α的斜线OB为其在α内射影,OC为α内过O点任一直线。
(2)如图,正四棱柱ABCDBD1A1B1C1D1中,棱长为a,则:
(1)点C到面AB1C1的距离为___________;
(2)点B到面ACB1的距离为____________;(3)直线A1D1到面AB1C1的距离为____________;(4)面AB1C与面A1DC1的距离为____________;(5)点B到直线A1C1的距离为_____________。
62、你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质?
正棱柱底面为正多边形的直棱柱正棱锥底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:
它们各包含哪些元素?
63、球有哪些性质?
(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。
为此,要找球心角!
(3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。
(5)球内接长方体的对角线是球的直径。
正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R:
r=3:
1。
积为()答案:
A
64、熟记下列公式了吗?
(2)直线方程:
65、如何判断两直线平行、垂直?
66、怎样判断直线l与圆C的位置关系?
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。
67、怎样判断直线与圆锥曲线的位置?
68、分清圆锥曲线的定义
70、在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?
△≥0的限制。
(求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。
)7
1、会用定义求圆锥曲线的焦半径吗?
如:
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72、有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
答案:
73、如何求解“对称”问题?
(1)证明曲线C:
F(x,y)=0关于点M(a,b)成中心对称,设A(x,y)为曲线C上任意一点,设A(x,y)为A关于点M的对称点。
75、求轨迹方程的常用方法有哪些?
注意讨论范围。
(直接法、定义法、转移法、参数法)
76、对线性规划问题:
作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出目标函数的最值。
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