《一元二次方程的根与系数的关系》解答题专题培优提升训练附答案.docx
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《一元二次方程的根与系数的关系》解答题专题培优提升训练附答案
2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》解答题
专题培优提升训练(附答案)
1.已知关于x的方程2mx2﹣(5m﹣1)x+3m﹣1=0.
(1)求证:
无论m为任意实数,方程总有实数根.
(2)如果这个方程的根的判别式的值等于1,求m的值.
2.关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m﹣2=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为正整数,求出此时方程的根.
3.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根,求m的取值范围.
4.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1=0有实数根.
(1)求a的取值范围;
(2)当a为符合条件的最大整数时,求此时方程的解.
5.已知y1=x2﹣2x+3.y2=x+m.
(1)若m=1,当x取何值时y1=y2?
(2)若y1=2y2,当m为何范围时,存在两个不同的x值?
6.已知关于x的一元二次方程|x2﹣1|=(x﹣1)(kx﹣2):
(1)若k=3,求方程的解;
(2)若方程恰有两个不同解,求实数k的取值范围.
7.已知关于x的一元二次方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣3=0有实数根.
(ⅰ)求实数k的取值范围;
(ⅱ)当k=2时,方程的根为x1,x2,求代数式(x12+2x1﹣1)(x22+4x2+3)的值.
8.已知关于x的一元二次方程:
x2﹣(2k+1)x+4(k﹣
)=0.
(1)求证:
这个方程总有两个实数根;
(2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c,恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长.
(3)若方程的两个实数根之差等于3,求k的值.
9.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m+4)x+m2+4m=0.
(1)求证:
无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2;
①求代数式
﹣4x1x2的最大值;
②若方程的一个根是6,x1和x2是一个等腰三角形的两条边,求等腰三角形的周长.
10.关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若方程的两根x1,x2满足(x1﹣1)(x2﹣1)=6,求k的值.
11.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)设两个实数根是x1和x2,且x1+x2﹣2x1x2=2,则k的值为 .
12.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)设出x1、x2是方程的两根,且x12+x22=12,求m的值.
13.已知关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+(2m+1)x+m=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围.
(2)若|x1|=|x2|,求m的值及方程的根.
14.关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3=0的两个实数根是x1、x2.
(1)已知k=2,求x1+x2+x1x2.
(2)若x1=3x2,试求k值.
15.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0(k为常数).
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)设x1,x2为方程的两个实数根,且x1+2x2=14,试求出方程的两个实数根和k的值.
16.已知m为实数,关于x的方程为mx2+(m﹣2)x﹣1=0.
(1)求证:
不论m为何实数,方程总有实数根.
(2)若方程有两实根x1,x2,当x1x2﹣2x1﹣2x2=3时,求m的值.
17.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0
(1)若该方程有两个实数根,求k的最大整数值.
(2)若该方程的两个实数根为x1,x2,是否存在实数k,使得x1x2﹣x12﹣x22=﹣16成立?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
18.关于x的一元二次方程x2+(2m﹣3)x+m2=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若x1、x2是方程的两根,且
+
=1,求m的值.
19.若x1,x2与是方程x2+x﹣3=0的两个实数根,求x13﹣4x22+22的值.
20.已知关于x的方程(k﹣1)x2+2kx+2=0.
(1)求证:
无论k为何值,方程总有实数根.
(2)若方程的两个根为x1,x2,且
=0,求k的值.
21.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+
k2﹣2=0.
(1)求证:
无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根x1,x2满足x1﹣x2=3,求k的值.
参考答案
1.解:
(1)①当m=0时,该方程是关于x的一元一次方程,符合题意;
②关于x的一元二次方程2mx2﹣(5m﹣1)x+3m﹣1=0.
∵△=(5m﹣1)2﹣8m(3m﹣1)=(m﹣1)2≥0,
∴无论m为任何实数,方程总有实根.
(2)由题意得,△=(m﹣1)2=1,
解得m1=0,m2=2,
而m≠0,
∴m=2.
2.解:
(1)∵方程有实数根,
∴(﹣2)2﹣4×1×(3m﹣2)≥0,
∴m≤1;
(2)∵m为正整数,
∴m=1,
∴方程为:
x2﹣2x+1=0,
∴x1=x2=1.
3.解:
∵关于x的一元二次方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0有两个实数根,
∴△=[﹣2(m+1)]2﹣4(m2+5)=8m﹣16≥0,
∴m≥2.
4.解:
(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1=0有实数根,
∴△=(﹣3)2﹣4(a﹣1)=﹣4a+13≥0,
解得:
a≤
,
即a的取值范围是a≤
;
(2)∵a的取值范围是a≤
,
∴整数a的最大值是3,
把a=3代入方程x2﹣3x+a﹣1=0得:
x2﹣3x+2=0,
解得:
x1=1,x2=2.
5.解:
(1)当m=1时,根据题意,得x2﹣2x+3=x+1,
整理,得(x﹣1)(x﹣2)=0.
所以x﹣1=0或x﹣2=0.
解得x1=1,x2=2;
(2)根据题意,得x2﹣2x+3=2x+2m,
整理,得x2﹣4x+3﹣2m=0,
所以△=(﹣4)2﹣4×1×(3﹣2m)>0.
解得m>﹣
.
所以当m>﹣
时,存在两个不同的x值.
6.解:
(1)把k=3代入|x2﹣1|=(x﹣1)(kx﹣2)中,得|x2﹣1|=(x﹣1)(3x﹣2),
当x2>1,即x>1或x<﹣1时,原方程可化为:
x2﹣1=(x﹣1)(3x﹣2),
解得,x=1(舍),或x=
;
当x2≤1,即﹣1≤x≤1时,原方程可化为:
1﹣x2=(x﹣1)(3x﹣2),
解得,x=1,或x=
;
综上,方程的解为x1=
,x2=1,x3=
;
(2)∵x=1恒为方程|x2﹣1|=(x﹣1)(kx﹣2)的解,
∴当x≠1时,方程两边都同时除以x﹣1得,
,
要使此方程只有一个解,只需函数y=
与函数y=kx﹣2的图象只有一个交点.
∵函数:
,
作出函数图象,
由图象可知,当k<0时,直线y=kx﹣2与函数y=
图象只有一个交点;
当k=0时,直线y=kx﹣2=﹣2与函数y=
图象只有一个交点;
当k=1时,y=kx﹣2=x﹣2与y=x+1平行,则与函数y=
图象只有一个交点;
∵当直线y=kx﹣2过(1,2)点时,2=k﹣2,则k=4,
∴函数图象可知,当k≥4时,直线y=kx﹣2与函数y=
图象也只有一个交点,
∴要使函数图象与y=kx﹣2图象有且只有一个交点,则实数k的取值范围是k≤0或k=1或k≥4.
综上,实数k的取值范围:
k≤0或k=1或k≥4.
7.解:
(i)∵方程有实数根,
∴△=(2k﹣1)2﹣4(k2﹣3)≥0,
解得:
k≤
;
(ii)当k=2时,方程化为x2+3x+1=0,
∴x1+x2=﹣3,x1x2=1,
∵x1,x2是方程的解,
∴x12+3x1+1=0,x22+3x2+1=0,
∴x12+3x1=﹣1,x22+3x2=﹣1,
∴原式=(﹣1﹣x1﹣1)(﹣1+x2+3)=﹣(x1+2)(x2+2)
=﹣[x1x2+2(x1+x2)+4]=﹣(1﹣6+4)=1.
8.解:
(1)△=(2k+1)2﹣4×1×4(k﹣
)
=4k2﹣12k+9
=(2k﹣3)2,
∵无论k取何值,(2k﹣3)2≥0,
故这个方程总有两个实数根;
(2)由求根公式得x=
,
∴x1=2k﹣1,x2=2.
∵另两边长b、c,恰好是这个方程的两个实数根,
设b=2k﹣1,c=2,
当a,b为腰时,则a=b=4,即2k﹣1=4,计算得出k=
,
此时三角形周长为4+4+2=10;
当b,c为腰时,b=c=2,此时b+c=a,构不成三角形,
故此种情况不存在.
综上所述,△ABC周长为10.
(3)∵方程的两个实数根之差等于3,
∴
,
解得:
k=0或3.
9.解:
(1)△=(2m+4)2﹣4(m2+4m)=16,16>0,
∴此方程总有两个不相等的实数根.
(2)①
﹣4x1x2=(x1+x2)2﹣6x1x2,
∵x1+x2=
=2m+4,x1x2=m2+4m,
∴(x1+x2)2﹣6x1x2=(2m+4)2﹣6(m2+4m)=﹣2m2﹣8m+16=﹣2(m+2)2+24,
∴当m=﹣2时
﹣4x1x2的最大值为24.
②把x=6代入原方程可得m2﹣8m+12=0,
解得m=2或m=6,
当m=2时,原方程化简为x2﹣8x+12=0,
解得x=2或x=6,
三角形三边长为6,6,2时三角形周长为14,
三角形边长为2,2,6时不存在.
当m=6时,原方程化简为x2﹣16x+60,
解得x=6或x=10.
三角形三边长为6,6,10时三角形周长为22,
三角形三边长为10,10,6时,三角形周长为26.
∴等腰三角形周长为14或22或26.
10.解:
(1)∵关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0有实数根,
∴△=[2(k﹣1)]2﹣4(k2﹣1)=﹣8k+8≥0,
解得:
k≤1.
∴k的取值范围为:
k≤1.
(2)由根与系数关系得:
x1+x2=﹣2(k﹣1),x1x2=k2﹣1,
所以(x1﹣1)(x2﹣1)=x1x2﹣(x1+x2)+1=k2﹣1+2(k﹣1)+1=6.
解得k=2(舍去)或k=﹣4.
故k的值是﹣4.
11.解:
(1)∵一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=22﹣4(k﹣1)>0,
解得k<2,
即k的取值范围是k<2;
(2)∵一元二次方程x2+2x+k﹣1=0的两个实数根是x1和x2,
∴x1+x2=﹣2,x1x2=k﹣1,
∵x1+x2﹣2x1x2=2,
∴﹣2﹣2(k﹣1)=2,
∴k=﹣1,
故答案为:
﹣1.
12.解:
(1)根据题意得:
△=(2m)2﹣4(m2+m)>0,
解得:
m<0.
∴m的取值范围是m<0.
(2)根据题意得:
x1+x2=﹣2m,x1x2=m2+m,
∵x12+x22=12,
∴
﹣2x1x2=12,
∴(﹣2m)2﹣2(m2+m)=12,
∴解得:
m1=﹣2,m2=3(不合题意,舍去),
∴m的值是﹣2.
13.解:
(1)由题意得:
△≥0且m﹣2≠0,
∴(2m+1)2﹣4m(m﹣2)≥0
解得m≥﹣
且m≠2
(2)由题意得有两种情况:
①当x1=x2,则△=0,所以m=﹣
,x1=x2=﹣
×
=
.
②当x1=﹣x2时,则x1+x2=0.,所以m=﹣
,
因为m≥﹣
且m≠2,所以此时方程无解.
综上所述,m=﹣
,x1=x2=
.
14.解:
(1)∵方程x2﹣4x+k﹣3=0的两个实数根是x1、x2,k=2,
∴x1+x2=4,x1x2=k﹣3=﹣1,
∴x1+x2+x1x2=4﹣1=3.
(2)∵x1+x2=4,x1=3x2,
∴x1=3,x2=1,
∴k=x1x2+3=6.
15.解:
(1)证明:
∵在方程x2﹣6x﹣k2=0中,△=(﹣6)2﹣4×1×(﹣k2)=36+4k2≥36,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵x1,x2为方程x2﹣6x﹣k2=0的两个实数根,
∴x1+x2=6,
∵x1+2x2=14,
∴x2=8,x1=﹣2.
将x=8代入x2﹣6x﹣k2=0中,得:
64﹣48﹣k2=0,
解得:
k=±4.
答:
方程的两个实数根为﹣2和8,k的值为±4.
16.
(1)证明:
当m=0时,已经方程为﹣2x﹣1=0,有实数根
;
当m≠0时,已经方程是一元二次方程,△=(m﹣2)2﹣4m×(﹣1)=m2+4>0,该方程有两个不等实根;
综上,不论m为何实数,方程总有实数根;
(2)由根与系数的关系可得,
,
,
∵x1x2﹣2x1﹣2x2=3,
∴x1x2﹣2(x1+x2)=3,
∴
,
解得m=﹣5,
经检验,m=﹣5是原分式方程的解,
即m的值是﹣5.
17.解:
(1)由题意得:
此方程的根的判别式△=[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+2k)≥0,
整理得:
﹣4k+1≥0,
解得
,
则k的最大整数值是0;
(2)存在,
由根与系数的关系得:
x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k,
∵
=
,
∴﹣(2k+1)2+3(k2+2k)=﹣16,
整理得:
k2﹣2k﹣15=0,
解得k=﹣3或k=5,
由
(1)可知,
,
则k=﹣3.
18.解:
(1)根据题意,知(2m﹣3)2﹣4m2>0,
解得m<
;
(2)由题意知x1+x2=﹣(2m﹣3)=3﹣2m,x1•x2=m2,
由
+
=1,即
=1可得
=1,
解得:
m=1(舍去)或m=﹣3,
所以m的值是﹣3.
19.解:
∵x1是方程x2+x﹣3=0的实数根,
∴x12+x1﹣3=0,
∴x12=﹣x1+3,x1=﹣x12+3,
∴x13=﹣x12+3x1,
∴x13﹣4x22+22=﹣x12+3x1﹣4x22+22=﹣4x12+9﹣4x22+22=﹣4(x1+x2)2+8x1•x2+31,
∵x1、x2是方程x2+x﹣3=0的两个实数根,
∴x1+x2=﹣1,x1•x2=﹣3,
∴原式=﹣4×(﹣1)2+8×(﹣3)+31=3.
20.
(1)证明:
①当k=1时,该方程有一个实数根,符合题意.
②当k≠1时,∵△=(2k)2﹣4(k﹣1)×2=4(k﹣1)2+4>0,
∴当k≠1时,方程总有实数根.
综上所述,无论k取任何值,方程总有实数根.
(2)∵x1、x2是方程的两个根,
∴x1+x2=
,x1•x2=
,
∴
=
+x1x2=
+
=0.
解得k=2或k=﹣1.
经检验,k=2或k=﹣1都符合题意.
所以k=2或k=﹣1.
21.解:
(1)∵△=[﹣(2k+1)]2﹣4×1×(
k2﹣2)
=4k2+4k+1﹣2k2+8
=2k2+4k+9
=2(k+1)2+7>0,
∵无论k为何实数,2(k+1)2≥0,
∴2(k+1)2+7>0,
∴无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)由根与系数的关系得出x1+x2=2k+1,x1x2=
k2﹣2,
∵x1﹣x2=3,
∴(x1﹣x2)2=9,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=9,
∴(2k+1)2﹣4×(
k2﹣2)=9,
化简得k2+2k=0,
解得k=0或k=﹣2.
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