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专题三
专题三解答题的八个答题模板
题型特点概述
数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,通常是高考的把关题和压轴题,具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.在高考考场上,能否做好解答题,是高考成败的关键,因此,在高考备考中学会怎样解题,是一项重要的内容.本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据,结合具体的题目类型,来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式,即所谓的“答题模板”.
“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型,把数学解题的思维过程划分为一个个小题,按照一定的解题程序和答题格式分步解答,即化整为零.强调解题程序化,答题格式化,在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案,实现答题效率的最优化.
模板1 三角变换与三角函数的性质问题
构建答题模板
第一步 化简:
三角函数式的化简,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式,即化为“一角、一次、一函数”的形式.
第二步 整体代换:
将ωx+φ看作一个整体,利用y=sinx,y=cosx的性质确定条件.
第三步 求解:
利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质,写出结果.
第四步 反思:
反思回顾,查看关键点,易错点,对结果进行估算,检查规范性.
模板2 解三角形问题
(1)求证:
a,b,c成等差数列;
(2)求角B的取值范围.
构建答题模板
第一步 定条件:
即确定三角形中的已知和所求,在图形中标注出来,然后确定转化的方向.
第二步 定工具:
即根据条件和所求,合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.
第三步 求结果.
第四步 再反思:
在实施边角互化的时候应注意转化的方向,一般有两种思路:
一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系,然后进行恒等变形.
模板3 数列的通项、求和问题
变式训练1 (2014·江西)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
构建答题模板
第一步 找递推:
根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系,即找数列的递推公式.
第二步 求通项:
根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式,或利用累加法或累乘法求通项公式.
第三步 定方法:
根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等).
第四步 写步骤:
规范写出求和步骤.
第五步 再反思:
反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范.
模板4 利用空间向量求角问题
例4 (2014·山东)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.
(1)求证:
C1M∥平面A1ADD1;
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=
,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.
构建答题模板
第一步 找垂直:
找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线.
第二步 写坐标:
建立空间直角坐标系,写出特征点坐标.
第三步 求向量:
求直线的方向向量或平面的法向量.
第四步 求夹角:
计算向量的夹角.
第五步 得结论:
得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.
变式训练4 如图所示,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.
模板5 圆锥曲线中的范围问题
(1)求椭圆C的方程;
(2)求m的取值范围.
构建答题模板
第一步 提关系:
从题设条件中提取不等关系式.
第二步 找函数:
用一个变量表示目标变量,代入不等关系式.
第三步 得范围:
通过求解含目标变量的不等式,得所求参数的范围.
第四步 再回顾:
注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约.
模板6 解析几何中的探索性问题
构建答题模板
第一步 先假定:
假设结论成立.
第二步 再推理:
以假设结论成立为条件,进行推理求解.
第三步 下结论:
若推出合理结果,经验证成立则肯定假设;若推出矛盾则否定假设.
第四步 再回顾:
查看关键点,易错点(特殊情况、隐含条件等),审视解题规范性.
(1)求双曲线E的离心率.
(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:
是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?
若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.
模板7 离散型随机变量的均值与方差
构建答题模板
第一步 定元:
根据已知条件确定离散型随机变量的取值.
第二步 定性:
明确每个随机变量取值所对应的事件.
第三步 定型:
确定事件的概率模型和计算公式.
第四步 计算:
计算随机变量取每一个值的概率.
第五步 列表:
列出分布列.
第六步 求解:
根据均值、方差公式求解其值.
变式训练7 (2014·江西)随机将1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数,A组最小数为a1,最大数为a2,B组最小数为b1,最大数为b2,记ξ=a2-a1,η=b2-b1.
(1)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望;
(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C);
模板8 函数的单调性、极值、最值问题
构建答题模板
第一步 求导数:
求f(x)的导数f′(x).注意f(x)的定义域.
第二步 解方程:
解f′(x)=0,得方程的根.
第三步 列表格:
利用f′(x)=0的根将f(x)定义域分成若干个小开区间,并列出表格.
第四步 得结论:
从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等.
第五步 再回顾:
对需讨论根的大小问题要特殊注意,另外观察f(x)的间断点及步骤规范性.
变式训练8 (2014·重庆)已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c.
(1)确定a,b的值;
(2)若c=3,判断f(x)的单调性;
(3)若f(x)有极值,求c的取值范围.
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