一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做:
结论
1若X〜NQiq)则它的分布函数可以写成
Fv(x)二P{X‘aaa
2若X〜Nga2\Y=士上〜N(0」)
a
P(a(7(7
“b-卩、“ci_卩、
=0(―)-0(―)
aa
二、分布函数的性质F(x)=P{X离散型
连续型
0F(_UF(+g)=l单调不减性
右连续性连续性
P{X=6?
}=尸(g)-F(a—0)P{X=6/}=0
连续随机变量久
概率密度的性质
1)非负性/(X)>0
2)归一性ff(x)dx=1
J-OC
二维随机变量的分布函数:
ij
F(x,y)=P{X分布函数厂(xj)的性质:
•0对任意固定的yeR,F(-co』)=0.
对任意固定的xeR,F(x,-co)=0,
F(-j-qo)=0,F(+oo,+oo)=1・
3.F(x,y)关于x』右连续,即
F(x』)=F(兀+0』),F(x』)=F(x,y+0)
F(x.y)关于右连续,即
F=尸(x+0』)』(兀』)=尸(X』+0)
联合密度:
F(xj)=P{XJ-oCJ-oC
P{(X.Y)eG}=jjf{x,y)dxdy,
G
/3y)的性质:
①/(x」)no
②/{x.y^xdy=1
J—ocJ—oe
(4)边缘分布函数
Fx(x)=F(x,+8)Fy(y)=尸(+8,刃
(5)边缘分布律
□c
P{X=xl}=^Plj=Pl.
丿=1
P{Y=yJ}=tPu=P.J
(6)边缘密度函数?
=1
fxM=「f(x,y)dy
J-8
f7(y)^\__J(^>y)dx
三、分布律和概率密度函数的性质
两个随机变量的独立性
辭降辭辭降潯潯藩o
F(x.y)=Fx(x)FY(y)
I•若(兀丫)是离散型随机变量,则x与丫相互独立的充分必要条件是:
|
Ptj=Pi.P.j门二12…
ii.若(丫丫)是连续型随机变量,则x与y相互独立的充分必要条件是;/(^,v)=z¥(A-)A(y)
掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法:
连续型随机变量的函数的分布
I•分布函数法(一般的函数都适用重点掌握)
(1)先求r=g(x)的分布函数拆心),
£O)=P{Y^(>9=fZyW^
⑵再利用Y=g(X)的分布函数与概率密度之闻的关系求Y=g(X)的概率密度为fy(y)=Fr\y)
对于二维随机变量函数的概率密度,注意:
除了求随机变量乡二形的密度函数用公式:
fz(z)=f+3C/(x,z-x)dx=f+0O/(z一y,y)dy
J—OOJ—00
注意:
先写岀联合密度J(兀y),根据联合密度写出
/(兀Z—兀)或者/(z—
区域,然后穿线通过区域确定多的上下限。
他的函数多二八久,乡啲概率密度,只能使用分布函数法其步骤如下:
第-步求联合密度J(兀y),根据联合密度写出
/g-劝或者/(z-2)
第二步求,的分布函数:
巧(z)=P{Zg(x,y)难点是画出二重积分的积分区域,然后把二重积分化为二次积分
定上下限,
画图:
先画出被积函数也就是联合密度非零的区域,再确定区域g(x,y)
与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域,穿线定积分限:
然后左右穿或者上下穿个积分区域定内限,求出分布函数
第三步求密度函数:
.fz(z)=;V(z)
分析:
一、设总体X服从(0,1)上的均匀分布,X|,X2,・「X”是来自总体X的一个样本,最大顺序统计SX(n)=maXXrX2,-,Xn),
/.求随机变量X(Q的概率密度;
x<0
0\
而Xg=nnx(X],Xp・・・,X”)的分布函数为
Fx,、.⑵=P{X<”)"}=P{max(X「/,…,X”)5z)}
=P{XxS乙X2<乙…,X”fxJz)=F^a)C)=«吒)怜(z)=〃严,(0vzv1)二、(力分)设二维随机变量(X”)的概率密度为
Ae^\00,其它
⑺求常数A的值;⑵求X与丫的协方差Cov(X.Y).
S(X』)=E(X)E(y)=3-2=1
三(仍分)设二维随机变M(x.r)的槪率密度为
求边缘密度函数fx(x),/r(y):
(刃求边缘分布函数Fx(x),Fr(y):
G)判断X与丫是否相互独立;
(彳)求P(X+y>l)c
解(/)由1=LL/(x,y)"逊=£Ae~Ydx=A,得A=1
当xW0时,/(x,y)=O于是fx(x)=<2
当x>0时,fx(X)=^e^ydy=e
厂x>0
所以X的边缘概率密度为fxM=\
0,x<0
当时,人(y)=0
“分
⑶P(X+r>1)=JJ/(x,y}dxdy=-
x+y>le
三、(io分)设二维随机变最(x,y)的概率密度为1,|尹|v工,0vxv1,0,其它.求边缘密度厶,(x)及条件概率?
(7>0|^<1/2)0
四(1o分)设随机变B(x,y)的概率密度为
求随机变MZ=X+2Y的分布函数。
Fz⑵=P{X+2Y"}=JJf(x,y)dxdy
.v+2v当z<0时,巧(z)=0
Z-X
当z>0时,巧⑵=£2e^2y)dy=l-e^z-ze^z
所以Z=X+2Y的分布函数为
£中心极限定理的问题:
用正态分布近似计算
共两类:
一类是二项分布的近似计算问题
近似tinY—nn
X~p)〜N(np.np(\-p)),即/匚〜N(OJ)
y]np{\-p)
b-np
这个公式给出了<较大时二项分布的概率计算方法。
另一类是除二项分布之外的其他分布的独立变量连加和的计算问题,
设XPX2,...,X/P...独立同分布,E(XJ二〃D(Xj二/>0k二1,2,
近似有连加和服从正态分布:
fX,〜NJngbb
i=\
一、加分丿设粮仓内老鼠的数目是一个服从泊松分布的随机变虽:
,且仓内无鼠的概率
为宀
(/)写出随机变量的分布律;
(刃试用中心极限左理计算,在啟个同类粮仓内老鼠总数超过宓只的概率。
解⑺X~兀
(2):
S分
(刃X表示任意老鼠个数,由中心极限左理
召分
'X-200x2350—200x2
350-200x2
j200x2
二、(10分)某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占%乳以X表示在随意抽查的%个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的数。
(/)写出X的概率分布;
(刃求被盗索赔户不少于冷戸且不多于%户的概率的近似值。
冊(/)X〜"(100,0.2),
P{X=R}=C爲0公0.8】°1,k=0丄2,-,100
⑵E(X)=100x0.2=20,D(X)=100x0.2x(1-0.2)=16
根据棣莫佛一拉普拉斯中心极限定理
[4;D(X)4J
=p]-1.5<%:
E(X)<251①(25)一①(_1.5)
、网J
=①(2.5)+①(1・5)-1=0.994+0.933一1=0.927
三(力分)某银行的柜台替每一位顾客的服务时间(单位:
分钟)服从参数2=-的指
2
数分布,且各位顾客的服务时间是相互独立的,试用中心极限左理计算,对血位顾客的总服务时间不超过做分钟的槪率。
解设览,…,分别表示每一位顾客的服务时间,则它们相互独立相同分布,且
E(XJ=2,D(XJ=45分
1(X)
yx-ioox2
幺/<240-100x2
VTooTZ_>/ioox4
点估计的问题:
矩估计和似然估计
矩估计法令A=A*£=12…
□极大似然估计法
统计原理:
一次试验就出现的事件有最大的概率
在某次抽样中,某事件发生了,可以认为该事件发生的概率最大。
似然函数的构造:
(1)X为离散型
分布律为Pi=p(x/),其中0未知。
nJ
l®=Ylpge)称为似然函数。
2=1
⑵X为连续型
,似然函数为
0(0)=0(比,...,£;&)=市/(兀;0)
1=1
求极大值警U或吟M
atfat)
aa
得0,使厶(兀i,…兀;F)=max厶(兀,…心;&)
难点:
最大似然函数没有驻点的情况
〃如〃如〃如〃//J〃//〃如〃Z/J/〃如〃//J〃//e〃如〃如〃//J〃//-切尽“/如〃如〃川〃如〃如〃//J〃加〃如〃如〃如〃//J〃/〃如〃他厶注:
特殊的似然函数通过求导得不到其最大,需要用极大似然估计的思想去做:
一般判断似然函数和参数的单调性,。
例题分析:
一、设总体X的概率密度为
[e~{x'd\x>0.
心。
,其它
0是未知参数.X\,X“…,X“是来自X的样本,
/.求&的矩估计屋q:
X
矩估计法:
EX=\xe^}dx=O-\,令EX=O-\=X.=>^=X+1
6
2.求&的最大似然估计量几
■
M判断Q,乞是否为无偏估计
解:
最大似然估计法:
设召,小…,£为样本的观察值,则
II
“n6~y^X,
似然函数为L(8)=TTCr,=e兀>0J=1,仏即min兀>0
%is
9
>\
002=minx;
按似然估计的思想,当似然函数关于是增函数,故'。
0的最大似然估计量为&=minX,o
IUnx-“)'
e―,x>0.
二(力分)设XPX2,--,X;?
为样本,总体X的概率密度为
/(如〃)十后
0,A<0.
求参数〃的最大似然估计量:
问它是否为〃的无偏估讣咼
解设几孔,…,占是乙泌2,…,X”相应的样本值,则似然函数为
nj(1呵-“Fnn竺C竺
L(p)=Yl(^^e~^~)=(2^(Ylx;])e“2
r-ly/27rxi/-I
In厶=一彳ln(2”)-finxf-±性住乙心(-]L
zd\nLA八G令=0二>〃=_》Inx.
〃“n台
e2dy=//
三、设xrx2<--,x;,是总体X的样本.X的概率密度为
1--z-
-e60
0,
其中&>0,求&和“的最大似然估计量。
设儿孔,…,心是X|,X2,・・・,X〃的样本值,则似然函数
厶=心12…”
j-i
1“
当xi>//(i=1,2,…皿)时,In厶=-nIn&__工(舛-“)・令
61n厶1X、na
帀厂歹石(“-“)-矿。
'
dh\Ln小
=-=0.
dp0
显然,第二个等式是矛盾等式,所以由上述似然方程求不出6和“.由于里!
卩=3〉0,这表明厶是〃的严格递增函数.注意到p“=nin{xrx2,-sxj时厶最大.于是&和“的最大似然估计值
于是0和“的最大似然估讣量为
&=min{Xj,X2,:
X“}.^=X-min{X1,X2,---,XJ,
四、(力分)设总体元的概率密度为
1-H
f(x)=——e°.-oovxvs
v72b
其中b>0是未知参数。
设XPX2,为总体X的样本。
(/)求参数・的最大似然估计量6;(£)判断&是否为<7的无偏估计量。
解(/)设…心是X|,X”・・,X〃的观测值•则似然函数为
令—呻讣酗5解得心酣
1“
<7的最大似然估计量为&=一
1n
(f)由于E(6)=—》E(|X」)=b,&是<7的无偏估计量。
五(力分)设电池的寿命服从指数分布,其概率密度为
x>0
x<0
1
fM=]0e
0
其中&>0为未知参数,今随机抽取5只,测得寿命如下:
1150、〃妙1310.1顶、1420
求电池的平均寿命0的最大似然估汁值。
解似然函数L⑹=#
1n
InL(0)=-nInxi召分
dn1“
令才“⑹一尹歹yo得
纟分
纟分
&r-l
=x=|(1150+1190+1310+1380+1420)=1290
六、设总体九的槪率密度为
其中">-1是未知参数•设X「X2,…,乙为总体X的样本求参数Q的矩估计量
和最大似然估计量.
解矩估计
且人=丄£X产无,令
11/-I
从而a的矩估汁量
.2X-1
最大似然估汁
设旺比,…7是X「X2,…,X”的样本观测值.则似然函数为
厶=fl(a+l)球=9+1)"|•
注1\/=!
)
取对数得\nL=n\n(a+\)+af山兀,
所以.a的最大似然估计量为a=
i>x,
七、.设总体X的分布律为
P{X=1}=&2,P{X=2}=2&(1-&),P{X=3}=(1-歼
其中&为未知参数。
现抽得一个样本:
X,=1,x,=2,x3=1,求参数&的矩估计值
和极大似然估计值.
解E(X)=&?
+4&(1一&)+3(1-&)'=3_2&,x=-
4八5
由E(X)=x,即3-2&=—,得参数&的矩估计值为0=-
36
(B)设总体X的数学期望为“,方差为它们祁未知,设X\,X“rXj为样本。
•
(1)给出“的一个估计昼,要求它既具有无偏性乂具有一致性,并说明理由;⑵给岀,的一个倍计量,要求它具有无佩性,并说明理由。
统计量的分布判断问题:
主要利用性质:
独立正态分布的线性组合还是正态分布
三大分布的定义:
(■一)才分布
1•定义设*|,工,…,兀,才目互独立,都月良从正态分布2V(O,1),则才尔随机变量:
尢2=丢丁十丿^2十•…十X,:
所月艮从的分布为自由度为n的力'分布.
乍己为尢'~北'(”)
(1)设X\,Xy…,X”相互独立,都服从
]n
正态分布N(pq、则才二「工理-“)'〜才⑺)
⑵设X]〜,(勺),兀〜才(勺),且X]无相
互独立,贝)JX}+X2-Z2(,?
1+/72)
这个性质叫北・分布的可加性。
(3)若二才⑺)。
「嵋
oOO
则可以求得,E(X)=n,l)(X)=2n
«•••••
MBvMBVr8•
(二)『分布
i.定义:
设x~n(o,i),y~z200,且x与y
y
相互独立,则称变量r=-?
—
yfYM
所服从的分布为自由度为n的t分布.
记为T-t(H)«
(3)f分布的分位点
定义:
对于给定的正数/0<(7<1称满足条件
P{l>血}的点。
(〃)为/分布的上&分位点。
2.性质
⑴由定义可见,;=瞪〜弘2如
(3)F分布的分位点
对于给定的正数6T?
0<P{F>代01,心)}=a
的点你(耳宀)为厂(耳,巧)分布的上a分位点.
一、设X“X“…止是正态总体X~N
(2)的样本,
试问
1”
-4y(x?
-//)服从什么分布(指明自由度)?
"3°'求器知分权
X}+X2~N02bfX\-X2~N(0,2b2)
屮1〜N(0J),31〜N(0,l)(yi)2〜z(l)'(汇上尸〜z(l)
yl2crJ2bJ2bJ2b
2(严M又(X】l5»)2和(工£1)2相互独立,故(Xi+兀),F(14)
J2bJ2b(X,-X2r(X]+X2)2/]
y/2a
二.设…,X”X曲是来自正态总体N的样本,分别记只』2为
且X曲与X相互独立,所以
X_Y
:
兰—〜7V(0,l)
o-yl(n+\)/n
由于"字\~才("_1)'且x»_x与S2相互独立,因此由/分布的定义得
]”1n—
三、卄詔*胡's^=—g(Xf.-X)2,
G证明S:
S;都是R的无偏估计量;⑵判断S:
、S;中哪一个估计量更有效,
利用卡方分布:
四设X】,X”・・・,X9是来自正态总体N(“,R)的样本,记X=」(X|+・・・+X6),
6
y;=-(x7+xs+x9),s2=1f(x厂5)2,求统计量z=0匕❻的分布?
32zS
——的分布.
/-4
五、设X~7V(O.b)X|,X2,・・・,X〃为九的样本,求统计量
六、•设总体X〜N(0,bJ,XPX2,X3,X4,X5是尤的样本,统计量
r=rt(x,+x2)2+z?
(x3-x4-x5)2,(血工0)
服从力?
分布,求参数的值和Y的分布的自由度。
解由X〜N(0,/),得
X|+X?
〜N(O,2b2),X3-X4-X5〜7V(O,3b2)
且相互独立,即
\[3(y
罟~吶),片产55
且相互独立。
于是
(X|+xJ2小(X3-X4-Xs)22小
2亍〜旷()'3]〜旷⑴
且相互独立。
所以当“=厶,匕=厶时,
2cr~3a~
y=67(X,+X2)2+Z,(X3-X4-X5)2~Z2⑵
该分布的自由度为化
假设检验和区间估计的题目类型:
记住正态总体的抽样分布定理,弄懂上分位数的含义,在密度曲线图上用分位数给出各个分布的大概率1-G区域和小概率°区域能够从图上用分位数标出各种分布