等差数列常考题型归纳总结很全面.docx
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等差数列常考题型归纳总结很全面
等差数列及其前n项和
教学目标:
1、熟练掌握等差数列定义;通项公式;中项;前n项和;性质。
2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量,证明数列是等差数列,解决与等差数列有关
的简单问题。
知识回顾:
1.定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个
数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
用递推公式
表示为
(2)
ann或an1and(n1)。
(证明数列是等差数列的关键)
a1dn
2.通项公式:
等差数列的通项为:
ana1(n1)d,当d0时,an是关于n的一次式,它的图象是一
条直线上自然数的点的集合。
推广:
anam(nm)d
3.中项:
如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项;其中
ab
A。
2
4.等差数列的前n项和公式
n(aa)n(n1)
1n
Snad可以整理成Sn=
n1
22
d
2
2+ad)n
n(1。
当d≠0时是n的一个常数
2
项为0的二次函数。
5.等差数列项的性质
(1)在等差数列
a中,若m,n,p,qN且mnpq,则amanapaq;特
n
别的,若m,p,qN且2mpq,则2amapaq。
(2)已知数列an,bn为等差数列,Sn,Tn为其前n项和,则
a
n
b
n
S
2n
T
2n
1
1
(3)若等差数列的前n项和为Sn,则n,SS,SS,
S也成等差数列,公差dnd
'2
2nn3n2n
;
S,(n1)
1
a
nSS
(4),(n2)
nn1
;
(5)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列
Sn
n也是等差数列,且公差为______。
快乐每一天,收获多一点。
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考点分析
考点一:
等差数列基本量计算
例1、等差数列{an}中,a13a8a15120,则3a9a11的值为
练习
(1)设Sn是等差数列
a的前n项和.已知a2=3,a6=11,则S7等于
n
A.13B.35C.49D.63
(2)数列an为等差数列,且
aa,a30,则公差d=
7241
A.-2B.-
1
2C.
1
2D.2
(3)在等差数列
a中,已知a32,则该数列的前5项之和为
n
A.10B.16C.20D.32
(4)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于()
A.12B.13C.14D.15
1
(5)记等差数列{a2,S4=20,则S6等于()
n}的前n项和为Sn,若a1=
A.16B.24C.36D.48
(6)
a的前n项和为
n
S,若a12,S312,则
n
a等于()
6
A.8B.10C.12D.14
考点二:
等差数列性质应用
例1、等差数列
a中,3(a3a5)2(a7a10a13)24,则该数列前13项的和是()
n
A.13B.26C.52D.156
练习
1、在等差数列an中,a1a910,则a5的值为
A.5B.6C.8D.64
2、在等差数列{a}中,
n
aaa,则
12,3510
a()
7
A.5B.8C.10D.14
3、设数列{an}是等差数列,若a3+a4+a5=12,则a1+a2+⋯+a7等于()
快乐每一天,收获多一点。
第2页共7页
A.14B.21C.28D.35
例2、设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a
9等于()
A.63B.45C.36D.27
练习、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=________.
S2014
例3、已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2014,
2014
________.
S2008
-
2008
=6,则S2016=
练习、
(1)已知等差数列{an}的前n项和为S
n,且满足
S3S2
-
=1,则数列{an}的公差是
32
()
A.
1
2B.1C.2D.3
例4、设Sn,Tn分别是等差数列an、bn的前n项和,
S7n2
n,则
Tn3
n
a
5
b
5
。
例5、已知等差数列
a的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之
n
和为25,则这个数列的项数为________。
练习1、若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,
则这个数列有()
A.13项B.12项C.11项D.10项
2、等差数列
a的公差d2,a1a4a7a9750,那么a3a6a9a99=
n
A.-78B.-82C.-148D.-182
考点三:
等差数列的证明
例1:
在数列{an}中,a11,
a
n
1
1
1
4a
n
,
b
n
2
2a1
n
,其中
nN
*.
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求证:
在数列{an}中对于任意的
*
nN,都有anan1
快乐每一天,收获多一点。
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练习1、数列
a满足a11,a22,an22an1an2。
n
(1)设b1,证明bn是等差数列;
naa
nn
(2)求数列
a的通项公式。
n
2、已知数列{an}中,a
1=
3
5
,an=2-
1
(n≥2,n∈Nn}满足b*),数列{b
n=
an
-1
1
(n∈
an-1
Nn}是等差数列;
*).求证:
数列{b
2a
n
3、数列an满足:
a12,1nN。
求证:
an,
a2
n
1
a
n
是等差数列;
小结与拓展:
(1)定义法:
an1ad(nN,d是常数)an是等差数列;
n
(2)中项法:
2an1anan2(nN)an是等差数列;
(3)通项公式法:
aknb
n(k,b是常数)an是等差数列;
(4)前n项和法:
Sn=
2
kn+bn(k,b是常数)an是等差数列
考点四:
等差数列前n项和的最值
快乐每一天,收获多一点。
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(1)a10,d0时,Sn有最大值;a10,d0时,Sn有最小值;
(2)Sn最值的求法:
①若已知Sn,可用二次函数最值的求法(nN);②找到正负项
分界的是第几项。
例1、数列
a中,an2n49,当数列an的前n项和Sn取得最大值时,n
n
练习1、设等差数列
a的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时
n
n等于()
A.6B.7C.8D.9
2、若等差数列an满足a7a8a90,a8a90,则当n________时an的前n项和
最大。
例2、在等差数列
a中,a17,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得
n
最大值,则d的取值范围为________。
例3、等差数列
a中,a10,前n项和为Sn,且仅当S5S12,则当n时,Sn取最大
n
值。
练习1、设数列
a是等差数列,且a28,a155,Sn是数列an的前n项和,则()
n
A.S10S11B.S10S11C.S9S10D.S9S10
2.设an(nN)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S6,S6S7S8则下列结论错.
误.的是()
A.d0B..a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值
考点五:
等差数列和项转换
a
n
a
1
S
n
(
n
S
n
1)
(n
1
2)
1
2,求
例1、已知数列an的前n项和为Snn
n2
a。
n
2
练习1、已知数列an的前n项和为n2,求an。
Sn
快乐每一天,收获多一点。
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2、设数列{an}的前n项和
2
Sn,则a8的值为()
n
A.15B.16C.49D.64
习题15.2
1、在等差数列an中,
(1)已知
a12,d3,n10,求a;
n
(2)已知aan21,d2,求n
3,
1;
(3)已知a12,a27,求d
1;
6
(4)已知
1
d,a78,求a。
1
3
2、在等差数列{an}中,
(1)已知
S848,S12168,求a1,和d
(2)已知
a610,S55,求a8和S8
(3)a120,an54,Sn599,求d及n;
(4)
1
d,n37,Sn629,求a1及a
n
3
;
51
(5)a,d,Sn5,求n及an
1;
66
(6)
d2,n15,an10,求a1及S。
n
3、等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1030,a2050。
(1)求通项公式{an};
快乐每一天,收获多一点。
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(2)若S242,求n。
n
4、设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S33,S624,则a9
5、等差数列{an}的前n项和Sn,若a12,S312,则a6()
A.8B.10C.12D.14
6、已知道单调递增的等差数列an的前三项和为21,前三项积为231,则an
7、在等差数列an中,a5120,则a2a4a6a8
8、数列
a中,an2n49,当数列
n
a的前n项和Sn取得最大值时,n
n
9、数列an是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负.
(1)求数列的公差;
(2)求前n项和Sn的最大值;
(3)当S0时,求n的最大值。
n
快乐每一天,收获多一点。
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