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三垂直模型
线三等角模型
一.一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼,“K形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。
二•一线三等角的分类
全等篇
相似篇
异侧
异侧
“一线三等角”的性质
1.一般情况下,如图3-1,由/1=/2=/3,易得△AE3ABDE.
.如图3-1,若CE=ED则^AEC^ABDE.
4•“中点型一线三等角“的变式(了解)
5.“一线三等角”的各种变式(图3-5,以等腰三角形为例进行说明
Am才■
fi
{}
如图3-3,当/仁/2且
BOC90
BAC时,
O是^ABC的内心.可以考虑构
图3-5
其实这个第4图,延长DC反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?
不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用
1.“一线三等角”应用的三种情况.
a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题;
b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题;
c.图形中只有直线上一个角,不上“二等角”构造模型解题.
体会:
感觉最后一种情况出现比较多,尤其是压轴题中,经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时,我经常构造“一线三等角”来解题.
2.在定边对定角问题中,构造一线三等角是基本手段,尤其是直角坐标系中的张角问题,在X轴或y轴(也可以是平行于x轴或y轴的直线)上构造线三等角解决问题更是重要的手段.
3.
构造一线三等角的步骤:
找角、定线、构相似
AC
m,1-6
在DC的延长銭上CE=—,在CD的延长址DFw竺.
tanacitu
mm^AEP^诡£PFB-怛em14IWZAEP=ZPFB=ZAPE,所以APM«^ABPF.
A
口c在CP上截取CE=—IEDF®取DF=—,tanatana
HJanZAEC=tmZBFD=tma』则ZAEC=ZBFD=a=乙,所臥APAE«ZiBPF・
坐标系中,要讲究“线”的特殊性
如图3-6,线上有一特殊角,就考虑构造同侧型一线三等角
C、D
当然只加这两条线通常是不够的,为了利用这个特殊角导线段的关系,过两点作直线I的垂线是必不可少的。
两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
上面就是作辅助线的一般程序,看起来线条比较多,很多老师都认为一下子不容易掌握.
解题示范
例2如图所示,四边形ABCD中,/C=90°/ABD=/DBC=22.5°AE丄BCADE=67.5°AB=6,则CE=.
例3如图,四边形ABCD中,/ABC=/BAD=90的长.
£
Tv
£
z
XJ
wJ
f-
I
3
In
G
2
例4如图,△ABC中,/BAC=45
AD丄BC,BD=2,CD=3,求
AD的长.
一线三等角,补形最重要,内构勤思考,比例不能少.巧设未知数,妙解方程好
e
还是可以纵横斜三个方向构造,坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
A
A
Lin(u1/
例5如图,在△ABC中,/BAC=135,AC=
J2AB,AD丄AC交BC于点D,若AD=,
求AABC的面积
当然有45。
或135。
等特殊角,据此也可以构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起,是相似集中条件的一种
大练身手:
】.如图,心皿一中,tan/lC7J=i•/月=9{户,Q=2・=求的比
牡柱直角三角形上430"川D为AC的屮点*若^D聲为止三肃昭求CF的辰.
5.如图,杞曲厶ABC中TZACR-3D"*/JM平分ZCAB^若Zcn5-60',CA=4忑求40的长.
氐如图,在等腰直角三角f^ABC中,・D为异5上一点’连接CD,尸为m上一点.
ZMD-4#,若CP-6*△*<7)时面积为1&,则鶴段DH胎长为・
號如圏.任平血程箱坐标条中.点川(4.0X点他点C任第一象屉内’若3C为畀边三甬略朝
点C的塑标为
laMi形/牝D/t直曲坐标聚的位S如图所示,点』(2』恳0)点C(哄),反比倒帽取厂扌的图像交边皿acTzxE两民_azno£45*,駅匕
H.如图,rt銭y-k_4交坐标柚与不fl两点t交双曲缁,・£仗》0)于点Gns^cc-S.点戸在点
的右團的双曲线上tNP再C轻*.则点F的哗插为
12.ftAjfiC中…4fi=2jIZE=斗霁’W点卫为貢角顶点柞彗聲宜角△北DE.点D枉5<7上”点£在应'上,
=则CD的检为
13.如悔k貢用AABC中*ZC=90°-^C?
=6,BC^S.D是斜边的中点*E为月匚上动鼠DP丄血于点E连按。
民若△DEF是WMM三肃形.求OE的怅度.
14.itAABC中.,NC=30",点Q是SC上一点,堆接AD.过点/作北G丄血>、在貝G丄収点尺连厝D尺延长;£>?
1至民AE=AF.连接EG.DG、且GE=DF.
若AB=2^AB=2.求FC的长;
如叭芳点处处曲求向叫g如妣当点妨牲/C的垂宜平分线上时”肓接写出寻的値.
/>
例7:
在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(0,3),C(-3,0),D是线段AB上一
点,CD父y轴于E,且S^BCE=2S^aob.
(1)
(2)
(3)
如图,直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax2交于A、B两点(A在B的左侧),
例8
BC=2AC,点P是抛物线上一点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在直线AB的下方,求点P到直线AB的距离的最大值;
(3)
若点P在直线AB的上方,且/BPC=45°求所有满足条件的点P的坐标.
练1:
.如图,抛物线的顶点为C(-1,-1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为-3.
(1)
(2)标;
(3)
求抛物线的解析式;
若点D为抛物线上的一点,且△BOD的面积等于△BOC的面积,请直接写出点D的坐
若点E的坐标为(0,2),点P是线段BC上的一个动点,是否存在点P,使得/OPE
?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
=45
课后作业:
如图,点A(0,-1),B(3,0),P为直线y=-x+5上一点,若/APB=45
在四边形ABCD中,/ABC=/BAD=90°,/ACD=45°,AB=3,AD=4,求AC的长.
如图,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,△EFG为等边三角形,求证:
BE+GC=百BC
如图,△ABC:
△DBA,且AC=72BC,求证:
CD=2AB.
如图,在四边形ABCD中,/ABC=90°AB=3,BC=4,CD=10,DA=5正,求BD的长
如图,点A是反比例(X>0)图形上一点,点B是X轴正半轴上一点,点C的坐标为(0,2),点^ABC是等边三角形时,求点A的坐标.
抛物线_>=工'-牡+3有坐标轴交于*、氐C三点,成尸在撫物綾上,PE丄EC于点民若昭2CE・
求尸点半标-
如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,
D(5,-"2),点P是直线I上方的抛
1
直线I:
y=-2x+m经过点A,与抛物线交于另一点
物线上的动点,连接PCPD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当^PCD为直角三角形时,求点P的坐标;
(3)设^PCD的面积为S,请你探究:
使S的值为整数的点P共有几个,说明理由.
4222
1.如图1,已知直线y=kx与抛物线/27X—交于点
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM段QM与线段QN的长度之比是否为定值?
如果是
A(3,6).
PM,交x轴于点M(点M、O不的垂线,交y轴于点N.试探究:
线
求出这个定值,如果不是,说明
(3)如图合)究:
理由;
2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重,点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足/BAE=/BED=/AOD.继续探m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
如图,直线AC:
y=-2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过A、C两点,与x轴交于另一点B(B在A的右侧),且△OCA.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D为抛物线上一点,/DCA=45°求点D的坐标;
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