含对数式的极值点偏移问题11.docx
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含对数式的极值点偏移问题11
极值克偏移第三招——含对数式的极值点偏移问題
前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略:
若f(X)的极值点为Xo,则根据对称性构造一元差函数
F(x)=f(Xo+x)-f(Xo-X),巧借F(x)的单调性以及F(o)=o,借助于
)]=f(2Xo-X2),比较X2与
f(Xi)=f(X2)=f[Xo-(Xo—X2与f[xo+(Xo-X2
2Xo-Xi的大小,即比较Xo与gw的大小.有了这种解题策略,我们2
师生就克服了解题的盲目性,细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。
本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略:
根据
f(Xi)=f(X2)建立等式,通过消参、恒等变形转化为对数平均,捆绑构造函数,利用对数平均不等式链求解.
★例.已知函数f(x)=lnX-ax2+(2-a)x.
(1)讨论f(X)的单调性;
(2)设a:
>0,证明:
当ovx<」时,f(丄+x)》f(丄-X);
aaa
(3)若函数y=f(x)的图象与X轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐
标为Xo,证明:
f(xo)vo.
【解析】(D易得:
3/1<0时,才(X)在(0=-Ki>)上单调递増;
当fl>0时,/(力在(t>丄)上单调递増,在(-:
+x)上单调递减.aa
(2)法一:
构造函数g(力=/{丄+力一_<(丄一Q(O<^€丄)aaa
二共c)在(Q—)上单调递増,a
又g(0〉=0,二g
法二:
构造以a为主元的函数,设函数h(a)=f(—+x)-f(丄-x),aa
32
贝Jh(a)=1n(1+ax)—In(1—ax)—2ax,『(a)=—^+——2x=—,1+ax1-ax1-ax
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- 对数 极值 偏移 问题 11
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