极值点偏移问题的处理策略及探究.doc
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极值点偏移问题的处理策略及探究.doc
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极值点偏移问题的处理策略
所谓极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性。
若函数在处取得极值,且函数与直线交于,两点,则的中点为,而往往.如下图所示.
极值点没有偏移
此类问题在近几年高考及各种模考,作为热点以压轴题的形式给出,很多学生对待此类问题经常是束手无策。
而且此类问题变化多样,有些题型是不含参数的,而更多的题型又是含有参数的。
不含参数的如何解决?
含参数的又该如何解决,参数如何来处理?
是否有更方便的方法来解决?
其实,处理的手段有很多,方法也就有很多,我们先来看看此类问题的基本特征,再从几个典型问题来逐一探索!
【问题特征】
【处理策略】
一、不含参数的问题.
例1.(2010天津理)已知函数,如果,且,
证明:
【解析】法一:
,易得在上单调递增,在上单调递减,时,,,时,,函
数在处取得极大值,且,如图所示.
由,不妨设,则必有,
构造函数,
则,所以在上单调递增,,也即对恒成立.
由,则,
所以,即,又因为,且在上单调递减,
所以,即证
法二:
欲证,即证,由法一知,故,又因为在上单调递减,故只需证,又因为,
故也即证,构造函数,则等价于证明对恒成立.
由,则在上单调递增,所以,即已证明对恒成立,故原不等式亦成立.
法三:
由,得,化简得…,
不妨设,由法一知,.令,则,代入式,得,反解出,则,故要证:
,即证:
,又因为,等价于证明:
…,
构造函数,则,
故在上单调递增,,从而也在上单调递增,,即证式成立,也即原不等式成立.
法四:
由法三中式,两边同时取以为底的对数,得,也即,从而,
令,则欲证:
,等价于证明:
…,
构造,则,
又令,则,由于对恒成立,故,在上单调递增,所以,从而,故在上单调递增,由洛比塔法则知:
,即证,即证式成立,也即原不等式成立.
【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式,方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的,方法三、四则是利用构造新的变元,将两个旧的变元都换成新变元来表示,从而达到消元的目的.
二、含参数的问题.
例2.已知函数有两个不同的零点,求证:
.
【解析】思路1:
函数的两个零点,等价于方程的两个实根,从而这一问题与例1完全等价,例1的四种方法全都可以用;
思路2:
也可以利用参数这个媒介去构造出新的函数.解答如下:
因为函数有两个零点,
所以,
由得:
,
要证明,只要证明,
由得:
,即,
即证:
,
不妨设,记,则,
因此只要证明:
,
再次换元令,即证
构造新函数,
求导,得在递增,
所以,因此原不等式获证.
【点评】含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到:
想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数。
例3.已知函数,为常数,若函数有两个零点,
试证明:
【解析】法一:
消参转化成无参数问题:
,是方程的两根,也是方
程的两根,则是,设,,则,从而,此问题等价转化成为例1,下略.
法二:
利用参数作为媒介,换元后构造新函数:
不妨设,
∵,∴,
∴,欲证明,即证.
∵,∴即证,
∴原命题等价于证明,即证:
,令,构造,此问题等价转化成为例2中思路二的解答,下略.
法三:
直接换元构造新函数:
设,
则,
反解出:
,
故,转化成法二,下同,略.
例4.设函数,其图像与轴交于两点,且.证明:
.
【解析】由,易知:
的取值范围为,在上单调递减,在上单调递增.
法一:
利用通法构造新函数,略;
法二:
将旧变元转换成新变元:
∵两式相减得:
,
记,则,
设,则,所以在上单调递减,故,而,所以,
又∵是上的递增函数,且,∴.
容易想到,但却是错解的过程:
欲证:
,即要证:
,亦要证,也即证:
,很自然会想到:
对两式相乘得:
,即证:
.考虑用基本不等式,也即只要证:
.由于.当取将得到,从而.而二元一次不等式对任意不恒成立,故此法错误.
【迷惑】此题为什么两式相减能奏效,而变式相乘却失败?
两式相减的思想基础是什么?
其他题是否也可以效仿这两式相减的思路?
【解决】此题及很多类似的问题,都有着深刻的高等数学背景.
拉格朗日中值定理:
若函数满足如下条件:
(1)函数在闭区间上连续;
(2)函数在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得.
当时,即得到罗尔中值定理.
上述问题即对应于罗尔中值定理,
设函数图像与轴交于两点,因此
,∴,……
由于,显然与,与已知
不是充要关系,转化的过程中范围发生了改变.
例5.(11年,辽宁理)
已知函数
(I)讨论的单调性;
(II)设,证明:
当时,;
(III)若函数的图像与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明:
.
【解析】(I)易得:
当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
(II)法一:
构造函数,利用函数单调性证明,方法上同,略;
法二:
构造以为主元的函数,设函数,则,,由,解得,当时,,而,所以,故当时,.
(III)由(I)知,只有当时,且的最大值,函数才会有两个零点,不妨设,则,故,由(II)得:
,又由在上单调递减,所以,于是,由(I)知,.
【问题的进一步探究】
对数平均不等式的介绍与证明
两个正数和的对数平均定义:
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:
(此式记为对数平均不等式)
取等条件:
当且仅当时,等号成立.
只证:
当时,.不失一般性,可设.证明如下:
(I)先证:
……
不等式
构造函数,则.因为时,,所以函数在上单调递减,故,从而不等式成立;
(II)再证:
……
不等式
构造函数,则.因为时,,所以函数在上单调递增,故,从而不等式成立;
综合(I)(II)知,对,都有对数平均不等式成立,当且仅当时,等号成立.
前面例题用对数平均不等式解决
例1.(2010天津理)已知函数,如果,且,
证明:
【解析】法五:
由前述方法四,可得,利用对数平均不等式得:
,即证:
,秒证.
说明:
由于例2,例3最终可等价转化成例1的形式,故此处对数平均不等式的方法省略.
例4.设函数,其图像与轴交于两点,且.证明:
.
【解析】法三:
由前述方法可得:
,等式两边取以为底的对数,得,化简得:
,由对数平均不等式知:
,即,故要证
∵∴,
而
∴显然成立,故原问题得证.
例5.(11年,辽宁理)
已知函数
(I)讨论的单调性;
(II)设,证明:
当时,;
(III)若函数的图像与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明:
.
【解析】(I)(II)略,
(III)由
故要证
.根据对数平均不等,此不等式显然成立,故原不等式得证.
【挑战今年高考压轴题】
(2016年新课标I卷理数压轴21题)已知函数有两个零点.证明:
.
【解析】由,得,可知在上单调递减,在上单调递增.要使函数有两个零点,则必须.
法一:
构造部分对称函数
不妨设,由单调性知,所以,又∵在单调递减,故要证:
,等价于证明:
,
又∵,且
∴,构造函数,由单调性可证,此处略.
法二:
参变分离再构造差量函数
由已知得:
,不难发现,,
故可整理得:
设,则
那么,当时,,单调递减;当时,,单调递增.
设,构造代数式:
设,
则,故单调递增,有.
因此,对于任意的,.
由可知、不可能在的同一个单调区间上,不妨设,则必有
令,则有
而,,在上单调递增,因此:
整理得:
.
法三:
参变分离再构造对称函数
由法二,得,构造,利用单调性可证,此处略.
法四:
构造加强函数
【分析说明】由于原函数的不对称,故希望构造一个关于直线对称的函数,使得当时,,当时,,结合图像,易证原不等式成立.
【解答】由,,故希望构造一个函数,使得,从而在上单调递增,在上单调递增,从而构造出(为任意常数),又因为我们希望,而,故取,从而达到目的.故,设的两个零点为,结合图像可知:
,所以,即原不等式得证.
法五:
利用“对数平均”不等式
由对数平均不等式得:
,
,
从而
等价于:
由,故,证毕.
说明:
谈谈其它方法的思路与困惑。
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