福建高职招考理科数学模拟试题二含答案.docx
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福建高职招考理科数学模拟试题二含答案
2019年福建高职招考理科数学模拟试题
(二)【含答案】
一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意)
1.已知集合A={x∈N|x≤1},B={x|x2﹣x﹣2≤0},则A∩B=( )
A.{0,1}B.{﹣1,0,1}C.[﹣1,1]D.{1}
3.一批产品次品率为4%,正品中一等品率为75%.现从这批产品中任取一件,恰好取到一等品的概率为( )
A.0.75B.0.71C.0.72D.0.3
4.公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=3a4,且S10=λa4,则λ的值为( )
A.15B.21C.23D.25
二、填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.)
19.(12分)某早餐店每天制作甲、乙两种口味的糕点共n(n∈N*)份,每份糕点的成本1元,售价2元,如果当天卖不完,剩下的糕点作废品处理,该早餐店发现这两种糕点每天都有剩余,为此整理了过往100天这两种糕点的日销量(单位:
份),得到如下统计数据:
甲口味糕点日销量
48
49
50
51
天数
20
40
20
20
乙口味糕点日销量
48
49
50
51
天数
40
30
20
10
以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率,假设这两种糕点的日销量相互独立.
(1)记该店这两种糕点每日的总销量为X份,求X的分布列;
(2)早餐店为了减少浪费,提升利润,决定调整每天制作糕点的份数.
①若产生浪费的概率不超过0.6,求n的最大值;
②以销售这两种糕点的日总利润的期望值为决策依据,在每天所制糕点能全部卖完与n=98之中选其一,应选哪个?
21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣3)ex+ax,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(Ⅱ)当a∈[0,e)时,设函数f(x)在(1,+∞)上的最小值为g(a),求函数g(a)的值域.
[选修4-4:
坐标系与参数方程]
[选修4-5:
不等式选讲]
2019年福建高职招考理科数学模拟试题
(二)参考答案
一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意)
1.已知集合A={x∈N|x≤1},B={x|x2﹣x﹣2≤0},则A∩B=( )
A.{0,1}B.{﹣1,0,1}C.[﹣1,1]D.{1}
【考点】1E:
交集及其运算.
【分析】求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可.
【解答】解:
A={x∈N|x≤1}={0,1},B={x|x2﹣x﹣2≤0}=[﹣1,2],
则A∩B={1,0},
故选:
A
【点评】本题主要考查集合的基本运算,求出集合的等价条件是解决本题的关键.
二、填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.)
19.(12分)某早餐店每天制作甲、乙两种口味的糕点共n(n∈N*)份,每份糕点的成本1元,售价2元,如果当天卖不完,剩下的糕点作废品处理,该早餐店发现这两种糕点每天都有剩余,为此整理了过往100天这两种糕点的日销量(单位:
份),得到如下统计数据:
甲口味糕点日销量
48
49
50
51
天数
20
40
20
20
乙口味糕点日销量
48
49
50
51
天数
40
30
20
10
以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率,假设这两种糕点的日销量相互独立.
(1)记该店这两种糕点每日的总销量为X份,求X的分布列;
(2)早餐店为了减少浪费,提升利润,决定调整每天制作糕点的份数.
①若产生浪费的概率不超过0.6,求n的最大值;
②以销售这两种糕点的日总利润的期望值为决策依据,在每天所制糕点能全部卖完与n=98之中选其一,应选哪个?
【考点】CH:
离散型随机变量的期望与方差;CG:
离散型随机变量及其分布列.
【分析】
(1)由题意知X的可能取值为96,97,98,99,100,101,102,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.
(2)①求出P(X=96)+P(X=97)=0.3,P(X=96)+P(X=97)+P(X=99)=0.54,由此能求出n的最大值.
②由
(1)知在每天所制糕点能全部卖完时,n=96,此时销售这两种糕点的日总利润的期望值为96.再求出当n=98时,销售这两种糕点的日总利润的期望值,由此得到应选n=98.
【解答】解:
(1)由题意知X的可能取值为96,97,98,99,100,101,102,
P(X=96)=0.2×0.4=0.08,
P(X=97)=0.2×0.3+0.4×0.4=0.22,
P(X=98)=0.4×0.3+0.2×0.2+0.2×0.4=0.24,
P(X=99)=0.2×0.1+0.4×0.2+0.4×0.2+0.2×0.3=0.24,
P(X=100)=0.4×0.1+0.3×0.2+0.2×0.2=0.14,
P(X=101)=0.2×0.1+0.2×0.2=0.06,
P(X=102)=0.2×0.1=0.02.
∴X的分布列为:
X
96
97
98
99
100
101
102
P
0.08
0.22
0.24
0.24
0.14
0.06
0.02
(2)①∵产生浪费的概率不超过0.6,
P(X=96)+P(X=97)=0.08+0.22=0.3,
P(X=96)+P(X=97)+P(X=99)=0.08+0.22+0.24=0.54,
∴n的最大值为98.
②由
(1)知在每天所制糕点能全部卖完时,n=96,
此时销售这两种糕点的日总利润的期望值为96.
当n=98时,销售这两种糕点的日总利润的期望值为:
98+(﹣2×0.08)+(﹣1×0.22)=97.62.
∴应选n=98.
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法及应用,考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力,属于中档题.
21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣3)ex+ax,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(Ⅱ)当a∈[0,e)时,设函数f(x)在(1,+∞)上的最小值为g(a),求函数g(a)的值域.
【考点】6E:
利用导数求闭区间上函数的最值;6H:
利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,计算f
(2),f′
(2),求出切线方程即可;
(Ⅱ)设h(x)=f'(x),得到h(x)在(1,+∞)上有唯一零点x=m(m∈(1,2]),根据函数的单调性求出g(a),从而求出g(a)的值域即可.
【解答】解:
由题意得f'(x)=(x﹣2)ex+a,(1分)
(Ⅰ)当a=1时,f'(x)=(x﹣2)ex+1,所以f'
(2)=1,
又因为f
(2)=﹣e2+2,
则所求的切线方程为y﹣(﹣e2+2)=x﹣2,即x﹣y﹣e2=0.(4分)
(Ⅱ)设h(x)=f'(x),则h'(x)=(x﹣1)ex>0对于∀x>1成立,
所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,又因为a∈[0,e),
则h
(1)=﹣e+a<0,h
(2)=a≥0,
所以h(x)在(1,+∞)上有唯一零点x=m(m∈(1,2]).(6分)
则函数f(x)在(1,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,
因此当a∈[0,e)时,函数f(x)在(1,+∞)上的最小值为f(m).(8分)
因为(m﹣2)em+a=0,则﹣a=(m﹣2)em,当a∈[0,e)时,有m∈(1,2].
所以函数f(x)有最小值f(m)=(m﹣3)em﹣(m﹣2)mem=(﹣m2+3m﹣3)em,(10分)
令φ(m)=(﹣m2+3m﹣3)em(m∈(1,2]),
则φ'(m)=(﹣m2+m)em<0在(1,2]上恒成立,所以φ(m)在(1,2]上单调递减,
因为φ
(2)=﹣e2,φ
(1)=﹣e,所以φ(m)的值域为[﹣e2,﹣e),
所以g(a)的值域为[﹣e2,﹣e).(12分)
【点评】本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道中档题.
[选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.(10分)点P是曲线C1:
(x﹣2)2+y2=4上的动点,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O为中心,将点P逆时针旋转90°得到点Q,设点Q的轨迹方程为曲线C2.
(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
[选修4-5:
不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|2x﹣4|.
(1)解不等式f(x)+f(1﹣x)≤10;
(2)若a+b=4,证明:
f(a2)+f(b2)≥8.
【考点】R6:
不等式的证明;R5:
绝对值不等式的解法.
【分析】
(1)讨论x的范围,去掉绝对值符号,再解不等式;
(2)把b=4﹣a代入f(b2),得出f(a2)+f(b2)关于a的解析式,利用绝对值不等式的性质化简即可得出结论.
【解答】
(1)解:
∵f(x)+f(1﹣x)≤10,
即|2x﹣4|+|2+2x|≤10.即|x﹣2|+|x+1|≤5,
当x≤﹣1时,不等式转化为2﹣x﹣x﹣1≤5,解得﹣2≤x≤﹣1,
当﹣1<x<2时,不等式转化为2﹣x+x+1≤5,不等式恒成立,
当x≥2时,不等式转化为x﹣2+x+1≤5,解得2≤x≤3.
∴不等式的解集为:
{x|﹣2≤x≤3}.
(2)证明:
若a+b=4,则b2=(4﹣a)2=a2﹣8a+16,
∴f(b2)=|2a2﹣16a+28|=2|a2﹣8a+14|,
∴f(a2)+f(b2)=2|a2﹣2|+2|a2﹣8a+14|
≥2|2a2﹣8a+12|=4|a2﹣4a+6|=4|(a﹣2)2+2|≥4×2=8.
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,绝对值不等式的性质,属于中档题.
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