第五讲点在数轴上的运动.docx
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第五讲点在数轴上的运动
第五讲点在数轴上的运动
一•解答题(共15小题)
1•已知数轴上两点A,B对应的数分别为-1,3,P为数轴上的动点,其对应的数为X.
(1)数轴上是否存在点P,使P到点A、点B的之和为5?
若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由;
(2)当点P以每分钟1个单位长度的速度从0点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动,点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动.问,它们同时出发几分钟时点P到点A、点B的距离相等?
A
0P
S
1*
-2J
01
2
2.已知数轴上两点A,B对应的数分别为-1,3,P为数轴上的动点,其对应的数为X.
(1)若点P到A,B两点的距离相等,求点P对应的数;
(2)数轴上是否存在点P,使点P到A,B的距离之和为5?
若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)当点P以每分钟1个单位长的速度从原点0向左运动时,点A以每分钟5个单位长的速度向左运动,点B以每分钟20个单位长的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后点P到A,B两点的距离相等?
3.已知数轴上两点A、B对应的数分别是6,-8,M、N为数轴上两个动点,点M从A点出发向左运动,速度为每秒2个单位长度,与此同时,点N从B点出发向右运动,速度为M点的3倍,经过多长时间,点M与点N相距50个单位长度?
这时点M、N所对应的数分别是多少?
|
卫
1丄、
*
05
4.已知A、B在数轴上对应的数分别用a、b表示,且(b+10)2+|a-20|=0,P是数轴上的一个动点.
(1)在数轴上标出A、B的位置,并求出A、B之间的距离.
(2)当P点满足PB=2PA寸,求P点对应的数.
(3)动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度,第二次向右移动3个单位长度,第三次向左移动5个单位长度,第四次向右移动7个单位长度,依此类推,••点P能够移到与A、B重合的位置吗?
若能,请探索第几次移动时重合;若不能,请说明理由.
5.在一条数轴上有A、B两点,点A表示数-4,点B表示数6,点P是该数轴上的一个动点(不与A、B重合)表示数X.点M、N分别是线段AP、BP的中点
(1)如果点P在线段AB上,则点M表示的数是,则点N表示的数是
(用含x的代数式表示),并计算线段MN的长;
(2)如果点P在点B右侧,请你计算线段MN的长;
(3)如果点P在点A左侧,则线段MN的长度会改变吗?
如果改变,请说明理由;如果不变,请直接写出结果.
6.如图,已知数轴上点A表示的数为6,B是数轴上一点,且AB=10.动点P从点0出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为t
(t>0)秒.
(1)写出数轴上点B表示的数;当t=3时,OP
(2)动点R从点B出发,以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若
点P,R同时出发,问点R运动多少秒时追上点P?
(3)动点R从点B出发,以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若
点P,R同时出发,问点R运动多少秒时PR相距2个单位长度?
£OA
•••>
0
7•动点A、B同时从数轴上的原点出发向相反的方向运动,且A、B的速度之比是1:
4(速度单位:
长度单位/秒),3秒后,A、B两点相距15个单位长度.
(1)求出两个动点运动的速度,并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3
秒时的位置.
(2)若A、B两点从
(1)中的位置同时向数轴负方向运动,几秒后原点恰好处在两个动点正中间?
8.如图,已知数轴上的点A对应的数是a,点B对应的数是b,且满足(a+5)2+|b-1|=0
(1)求数轴上到点A、点B距离相等的点C对应的数;
(2)动点P从点A出发,以2个单位/秒的速度向右运动,设运动时间为t秒,问:
是否存在某个时刻t,恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
AB
•■・・
0
9•如图,数轴上的点0和A分别表示0和10,点P是线段0A上一动点,沿A-O以每秒2个单位的速度往返运动1次,B是线段OA的中点,设点P运动时间为t秒(0Wt<10).
(1)线段BA的长度为;
(2)当t=3时,点P所表示的数是;
(3)求动点P所表示的数(用含t的代数式表示);
(4)在运动过程中,若OP中点为Q,则QB的长度是否发生变化?
若不变,请求出它的值;若变化,请直接用含t的代数式QB的长度.
11
A
■+
O
8
P
10
10.如图,数轴原点为O,A、B是数轴上的两点,点A对应的数是1,点B对应的数是-4,动点P、Q同时从A、B出发,分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动,设运动时间为t秒(t>0).
^4-32~~02~3~45*
(1)AB两点间的距离是;
动点P对应的数是;(用含t的代数式表示)
动点Q对应的数是;(用含t的代数式表示)
(2)几秒后,点O恰好为线段PQ中点?
(3)几秒后,恰好有OP:
OQ=1:
2?
11.已知数轴上A点表示数a,C点表示数c,且a、c满足|a+24|+(c-8)2=0,点C表示的数与点B表示的数互为相反数,动点P从A出发,以每秒1个单位的速度向终点C移动,设移动时间为t秒.
(1)点A表示的数为,点B表示的数为.
(2)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离:
PA=,PC=.
(3)当点P运动到B点时,点Q从A点出发,以每秒3个单位的速度向C点运动,Q点到达C点后,再立即以同样的速度返回,运动到终点A.在点Q运动过程中,点P与点Q能否重合?
若能,请求出点Q运动的时间.
12.阅读下面材料:
CM)
B
——»
0A
0
图1
b
6債S2
b
J3
so
A.
V
郎口
厂
id團4
匸*
a
点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为|AB|.
当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB=|b|=|a
-b|;
当A、B两点都不在原点时,
如图2,点A、B都在原点的右边,|AB|=|OB-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;
如图3,当点A、B都在原点的左边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)
=1a-b|;
如图4,当点A、B在原点的两边,|AB|=|OB+|OA|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|;
回答下列问题:
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示1和-3的两
点之间的距离是;
(2)数轴上若点A表示的数是X,点B表示的数是-2,则点A和B之间的距离
是,若|AB|=2,那么x为;
(3)当x是时,代数式|x+2|+|x-1|=5;
(4)若点A表示的数-1,点B与点A的距离是10,且点B在点A的右侧,动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动,点P的速度是每秒3个单位长度,点Q的速度是每秒丄个单位长度,求运动几秒后,点Q可以追上点P?
(请写出必要的求解过程)
13•去年十?
一”黄金周期间,某风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表:
(正数表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数)
日期
10月1
10月2
10月3
10月4
10月5
10月6
10月7
日
日
日
日
日
日
日
人数变化(万
+1.6
+0.8
+0.4
-0.4
-0.8
+0.2
-1.4
人)
(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天?
最少的是哪天?
它们相差多少万
人?
(2)若9月30日游客人数为3万人,门票每人次200元,2%的游客符合免费条件,8%的游客符合减半收费条件,求该风景区7天门票总收入是多少万元?
14•小王上周五在股市以收盘价(收市时的价格)每股25元买进某公司股票1000股,在接下来的一周交易日内,小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况:
(单位:
元)
星期一二三四五
每股涨跌(元)+2-0.5+1.5-1.8+0.8
根据上表回答问题:
(1)星期二收盘时,该股票每股多少元?
(2)本周内该股票收盘时的最高价,最低价分别是多少?
(3)已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费•若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出,他的收益情况如何?
15•从2016年1月1日开始,北京市居民生活用气阶梯价格制度正式实施,一般生活用气收费标准如下表所示,比如6口以下的户年天然气用量在第二档时,其中350立方米按2.28元/m3收费,超过350立方米的部分按2.5元/m3收费.小锋一家有五口人,他想帮父母计算一下实行阶梯价后,家里天然气费的支出情况.
(1)如果他家2017年全年使用200立方米天然气,那么需要交多少元天然气费?
(2)如果他家2017年全年使用400立方米天然气,那么需要交多少元天然气费?
(3)如果他家2016年需要交1563元天然气费,他家2016年用了多少立方米天
然气?
北总屈底生活用牡阶柳价格庁案
参考答案与试题解析
一•解答题(共15小题)
1•已知数轴上两点A,B对应的数分别为-1,3,P为数轴上的动点,其对应的数为X.
(1)数轴上是否存在点P,使P到点A、点B的之和为5?
若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由;
(2)当点P以每分钟1个单位长度的速度从0点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动,点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动.问,它们同时出发几分钟时点P到点A、点B的距离相等?
A
0P
S
1*
-2J
01
2
【解答】解:
(1)当P在A点左侧时:
3-x+(-1-x)=5,解得:
x=-二;
当P在B右侧时,x-3+x-(-1)=5,
解得:
X—;
当P在A、B之间时,x不存在;
(2)①设它们同时出发a分钟时点P到点A、点B的距离相等,此时A,B不重合,由题意得:
②当A,B重合时,20a=5aM,
解得:
a=—,
答:
它们同时出发-二分钟或-二分钟时点P到点A、点B的距离相等.
2315
A
0P
■1
B
11、
-24
01
23
2•已知数轴上两点A,B对应的数分别为-1,3,P为数轴上的动点,其对应的数为X.
(1)若点P到A,B两点的距离相等,求点P对应的数;
(2)数轴上是否存在点P,使点P到A,B的距离之和为5?
若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)当点P以每分钟1个单位长的速度从原点0向左运动时,点A以每分钟5个单位长的速度向左运动,点B以每分钟20个单位长的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后点P到A,B两点的距离相等?
【解答】解:
(1)v1-(-1)=2,2的绝对值是2,1-3=-2,-2的绝对值是2,
•••点P对应的数是1.
(2)当P在A左侧时,3-x+(-1-x)=5,
解得:
x=-;
当P在B右侧时,x-3+x-(-1)=5,
解得:
x二-;
当P在A、B之间时,x不存在;
综上所述,x=-—或x二厂;
(3))①当B未追上A时,-x+1+5x=3-20x+x,
解得:
x^;
-亠分钟时点P到点A点B的距离相等.
23
②B追上A时,20x=5x+4,
解得:
15
••「二分钟时点P到点A、点B的距离相等.
15
答:
当经过-二或-二分钟时,点P到点A,点B的距离相等.
3•已知数轴上两点A、B对应的数分别是6,-8,M、N为数轴上两个动点,点M从A点出发向左运动,速度为每秒2个单位长度,与此同时,点N从B点出发向右运动,速度为M点的3倍,经过多长时间,点M与点N相距50个单位长度?
这时点M、N所对应的数分别是多少?
i—
1
-8
0
6
【解答】解:
设经过x秒点M与点N相距50个单位.
依题意可列方程为:
2x+6x-14=50,
解方程,得x=8.
2x=16,16-6=10,即点M所对应的数是-10.
6x=48,48-8=40,即点N所对应的数是40.
答:
经过8秒点M与点N相距50个单位,这时点M、N所对应的数分别是-10,
40.
4.已知A、B在数轴上对应的数分别用a、b表示,且(b+10)2+|a-20|=0,P是数轴上的一个动点.
(1)在数轴上标出A、B的位置,并求出A、B之间的距离.
(2)当P点满足PB=2PA寸,求P点对应的数.
(3)动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度,第二次向右移动3个单位长度,第三次向左移动5个单位长度,第四次向右移动7个单位长度,依此类推,••点P能够移到与A、B重合的位置吗?
若能,请探索第几次移动时重合;若不能,请说明理由.
【解答】解:
(1)v(b+10)2+|a-20|=0,
•••b+10=0,a-20=0,
•••b=-10,a=20.
A、B的位置如图所示:
監¥>
JO^20-10010fi)3040
•••AB=-10-20|=30;
(2)设P点对应的数为x,当P点满足PB=2PA寸,分三种情况讨论:
1若点P在点B的左侧,贝UPBvPA与PB=2PA不符,舍去;
2若点P在AB之间,贝Ux-(-10)=2(20-x),
解得x=10;
3若点P在点A的右侧,贝Ux-(-10)=2(x-20),
解得x=50,
综上所述,P点对应的数为10或50;
(3)由题可得,第一次点P表示-1,第二次点P表示2,点P表示的数依次为
-3,4,-5,6…,
•••第n次为(-1)n?
n,
•点A表示20,点B表示-10,
•••当n=20时,(-1)n?
n=20;
当n=10时,(-1)n?
n=10—10,
•••第20次P与A重合;点P与点B不重合.
5•在一条数轴上有A、B两点,点A表示数-4,点B表示数6,点P是该数轴上的一个动点(不与A、B重合)表示数x•点M、N分别是线段AP、BP的中点
(1)如果点P在线段AB上,则点M表示的数是丄土,则点N表示的数是
一2—
丄_(用含x的代数式表示),并计算线段MN的长;
(2)如果点P在点B右侧,请你计算线段MN的长;
(3)如果点P在点A左侧,则线段MN的长度会改变吗?
如果改变,请说明理由;如果不变,请直接写出结果.
【解答】解:
(1)如图1所示,
•••点A表示数-4,点B表示数6,点P表示数X,点M、N分别是线段AP、BP的中点,
•••点M表^,点Nu.
(2)如图2所示,
•••点A表示数-4,点B表示数6,点P表示数X,点M、N分别是线段AP、BP的中点,
•••点M表示一一,点N表示—-,
...mn^L=5;
22
(3)不会改变,MN=5,理由同
(2).
A
^■1
BP
I-"li.
-4
制6冲
圏2
Ap
111
B
■■s
-4Nfx
丄V6
圏1
6•如图,已知数轴上点A表示的数为6,B是数轴上一点,且AB=10.动点P从点0出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为t
(t>0)秒.
(1)写出数轴上点B表示的数-4;当t=3时,OP=18
(2)动点R从点B出发,以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若
点P,R同时出发,问点R运动多少秒时追上点P?
(3)动点R从点B出发,以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若
点P,R同时出发,问点R运动多少秒时PR相距2个单位长度?
BOA
|亓•>
【解答】解:
(1)v数轴上点A表示的数为6,B是数轴上一点,且AB=10,
•BO=4
•••数轴上点B表示的数为:
-4,
•••动点P从点0出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,
•••当t=3时,0P=18
故答案为:
-4,18;
(2)如图1,设点R运动x秒时,在点C处追上点P,则0C=6xBC=8x
•••BC-OC=OB
•8x—6x=4,
解得:
x=2,
•••点R运动2秒时,在点C处追上点P.
(3)设点R运动x秒时,PR=2
分两种情况:
如图2,一种情况是当点R在点P的左侧时,
8x=4+6x—2,
即x=1;
如图3,另一种情况是当点R在点P的右侧时,8x=4+6x+2,
即x=3.
综上所述R运动1秒或3秒时PR相距2个单位.
B
1■
0
■壬
-W~
0
S3
PR
图2
B
0
(艮P)卫-
♦
•
0
A
7.动点A、B同时从数轴上的原点出发向相反的方向运动,且A、B的速度之比是1:
4(速度单位:
长度单位/秒),3秒后,A、B两点相距15个单位长度.
(1)求出两个动点运动的速度,并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置.
(2)若A、B两点从
(1)中的位置同时向数轴负方向运动,几秒后原点恰好处
在两个动点正中间?
【解答】解:
(1)设动点A的速度是x单位长度/秒,根据题意得:
3(x+4x)=15
解得:
x=1,则4x=4.
答:
动点A的速度是1单位长度/秒,动点B的速度是4单位长度/秒;
标出A,B点如图:
42-9J~0~3~6912^
(2)设y秒时,原点恰好处在两个动点的正中间,根据题意得:
3+y=12-4y
解得:
y=l.8,
答:
1.8秒时,原点恰好处在两个动点的正中间.
8.如图,已知数轴上的点A对应的数是a,点B对应的数是b,且满足(a+5)2+|b-1|=0
(1)求数轴上到点A、点B距离相等的点C对应的数;
(2)动点P从点A出发,以2个单位/秒的速度向右运动,设运动时间为t秒,问:
是否存在某个时刻t,恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
AB
・■・・
0
【解答】解:
(1)v(a+5)2+|b-1|=0,
•••a=-5,b=1.
设点C对应的数为x,则BC=1-x,AC=)+5,
•••BC=AC
•1-x=x+5,解得:
x=-2,
•••点C对应的数为-2.
(2)假设存在,点P对应的数为-5+2t,
•PA=2,PB=-5+2t-1|=|2t-6|,
•••PA=2PB
•••2t=2X|2t-6|.
当2t=4t-12时,t=6;
当2t=12-4t时,t=2.
故存在某个时刻t,恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍,此时t的值为2秒或6秒.
9•如图,数轴上的点0和A分别表示0和10,点P是线段0A上一动点,沿A-O以每秒2个单位的速度往返运动1次,B是线段OA的中点,设点P运动时间为t秒(0Wt<10).
(1)线段BA的长度为5;
(2)当t=3时,点P所表示的数是6;
(3)求动点P所表示的数(用含t的代数式表示);
(4)在运动过程中,若OP中点为Q,则QB的长度是否发生变化?
若不变,请求出它的值;若变化,请直接用含t的代数式QB的长度.
11
A
■+
O
B
P
10
【解答】解:
(1)vB是线段OA的中点,
•••BA丄OA=5;
2
故答案为:
5;
(2)当t=3时,点P所表示的数是2X3=6,故答案为:
6;
(3)当0Wt<5时,动点P所表示的数是2t,当5 (4)QB的长度发生变化, 当0Wt<5时,QB=5-t, 当5 10.如图,数轴原点为O,A、B是数轴上的两点,点A对应的数是1,点B对应的数是-4,动点P、Q同时从A、B出发,分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动,设运动时间为t秒(t>0). -4-3-2-1012345 (1)AB两点间的距离是5; 动点P对应的数是1+t;(用含t的代数式表示) 动点Q对应的数是二4+3t;(用含t的代数式表示) (2)几秒后,点O恰好为线段PQ中点? (3)几秒后,恰好有OP: OQ=1: 2? 【解答】解: (1)AB两点间的距离是1-(-4)=5; 动点P对应的数是1+t;(用含t的代数式表示) 动点Q对应的数是-4+3t;(用含t的代数式表示)故答案为: 5,1+t,-4+3t; (2)设t秒后,点O恰好为线段PQ中点,依题意有 1+t+(-4+3t)=0,解得t=». 4 故魯秒后,点O恰好为线段PQ中点; (3)P、Q在原点的两边,2(1+t)+(-4+3t)=0,解得t==. P、Q在原点的一边, 2(1+t)=(-4+3t), 11.已知数轴上A点表示数a,C点表示数c,且a、c满足|a+24|+(c-8)2=0,点C表示的数与点B表示的数互为相反数,动点P从A出发,以每秒1个单位的速度向终点C移动,设移动时间为t秒. (1)点A表示的数为-24,点B表示的数为-8. (2)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离: PA=t,PC=32-t. (3)当点P运动到B点时,点Q从A点出发,以每秒3个单位的速度向C点运动,Q点到达C点后,再立即以同样的速度返回,运动到终点A.在点Q运动过程中,点P与点Q能否重合? 若能,请求出点Q运动的时间. 【解答】解: (1)v|a+24|+(c-8)2=0, 二a+24=0,c-8=0, 解得: a=-24,c=8, •••点C表示的数与点B表示的数互为相反数, •••点B表示的数为-8, 故答案为: -24,-8; (2)v动点P从A出发,以每秒1个单位的速度向终点C移动, •PA=, •••AC=32 •PC=32-t, 故答案为: t,32-t; (3)设点Q运动x秒时,点P和点Q重合. 当点Q从点A向点C运动时 3x-x=16, 解得: x=8, 当点Q从点C向点A运动时, 3x+x+16=32X2, x=12, 答: 点Q运动8秒或12秒追上. 12.阅读下面
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