新课标高中数学必修一学习知识点总结docx.docx
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集合
(1)元素与集合的关系:
属于()和不属于()
(2)集合中元素的特性:
确定性、互异性、无序性
集合与元素
(3)集合的分类:
按集合中元素的个数多少分为:
有限集、无限集、空集
(4)集合的表示方法:
列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法
子集:
若
x
A
x
,则
A
,即是的子集。
B
B
A
B
、若集合中有个元素,则集合的子集有n
个,真子集有
(2
n
个。
1
A
n
A
2
-1)
、任何一个集合是它本身的子集,即
A
A
注2
关系
、对于集合
A,B,C,
如果
A
,且
B
C,
那么
AC.
3
B
、空集是任何集合的(真)子集。
4
真子集:
若
且
(即至少存在
x0
但
),则是的真子集。
集合
ABAB
Bx0
A
AB
A
A
B
A
B
集合相等:
且
B
集合与集合
定义:
A
B
x/x
且
x
B
交集
A
性质:
,
,
,
,
AAAA
ABBAABA,ABBABABA
定义:
A
B
x/x
或
x
B
并集
A
性质:
,
,
,
,
,
运算
AAAA
AABBAABAABBABABB
Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)
定义:
CUA
x/x
U且x
A
A
补集性质:
A
,
A
U
,
CU
(CUA)
,
,
(CUA)
(CUA)
(
A
CU(AB)(CUA)
(CUB)
CU
(
A
B
)(
U
)
U
)
CA
CB
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集注意:
AB有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一
集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同
时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:
A=B
①任何一个集合是它本身的子集。
即AA
②如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:
一般地,由所有属于
A且属于
B的元素所组成的集合
叫做
A,B
的交集.
记作
A∩B(读作"A交
B"),即
A∩B={x|x
∈A,且
x∈B}.
2、并集的定义:
一般地,由所有属于集合
A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做
A,B
的并集。
记作:
A∪B(读作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:
A∩A=A,A
∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集(
1)补集:
设S是一个集合,A是S的一个子集(即A
S),由S中所有
不属于A的元素组成的集合,叫做
S中子集A的补集(或余集)记作:
CSA
即CSA={x
x
S且x
A}
(2)全集:
如果集合
S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,
这个集合就可以看作一个全集。
通常用
U来表示。
S
A
CA
s
(3)性质:
⑴CU(CUA)=A
⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
映射定义:
设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素x,
在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
B为从集合A到集合B的一个映射
传统定义:
如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,
定义按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。
那么y就是x的函数。
记作yf(x).
近代定义:
函数是从一个数集到另一个数集的映射。
定义域
函数及其表示函数的三要素值域
对应法则
解析法
函数的表示方法列表法
函数
函数的基本性质
图象法
传统定义:
在区间
a,b上,若a
x
x
2
b,如f(x)f(x
2
),则f(x)在a,b上递增,a,b是
递增区间;如f(x)
1
1
单调性
f
(x
2
),则f(x)在a,b
上递减,a,b是的递减区间。
导数定义:
在区间
1
a,b上,若f
(x)0,则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间;如f(x)0
则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。
最大值:
设函数
y
f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的
xI,都有f(x)
M;
最值
(2)存在x
I,使得f(x)M。
则称M是函数y
f(x)的最大值
最小值:
设函数
y
0
0
xI,都有f(x)
N;
f(x)的定义域为I,如果存在实数N满足:
(1)对于任意的
(2)存在x
I,使得f(x)N。
则称N是函数y
f(x)的最小值
0
0
(1)
f(
x)
f(x),x定义域D,则f(x)叫做奇函数,其图象关于原点对称。
奇偶性
(2)
f(
x)
f(x),x定义域D,则f(x)叫做偶函数,其图象关于y轴对称。
奇偶函数的定义域关于原点对称
周期性:
在函数
f(x)的定义域上恒有f(xT)f(x)(T
0的常数)则f(x)叫做周期函数,
T为周期;
T的最小正值叫做
f(x)的最小正周期,简称周期
(1)描点连线法:
列表、描点、连线
函数图象的画法
平移变换
伸缩变换
(2)变换法
对称变换
向左平移
个单位:
y
y,x
a
x
y
f(x
a)
1
y,x
1
a
x
y
f(x
a)
向右平移a个单位:
y
1
1
b
y
y
b
f(x)
向上平移b个单位:
x
x,y
1
1
b
y
y
b
f(x)
向下平移b个单位:
x
x,y
1
1
x缩短(当w
1时)或伸长(当
0
w1时)
横坐标变换:
把各点的横坐标
1
x
wx
y
f(wx)
到原来的1/w倍(纵坐标不变),即
纵坐标变换:
把各点的纵坐标
1
A1)到原来的A倍
y伸长(A1)或缩短(0
1
y/A
y
f(x)
(横坐标不变),
即y
1
关于点(x
y
)对称:
xx1
2x0
x1
2x0
x
2y
y
f(2x
x)
00
yy12y0
y12y0y
0
0
关于直线x
x对称:
x
x1
2x0
x1
2x0x
y
f(2x
0
x)
0
y
y1
y1
y
关于直线y
y
对称:
x
x1
x1
x
y
2y
0
yf(x)
0
y1y2y0
y12y0
关于直线y
x对称:
x
x1
y
f
1(x)
y
y1
附:
一、函数的定义域的常用求法:
1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于
零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数ytanx中
xk(kZ);余切函数ycotx中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,
2
应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法:
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法
三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、
直接法
四、函数的最值的常用求法:
1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法五、函数单调性的常用结论:
1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)g(x)在这个区间上也为
增(减)函数
2、若f(x)为增(减)函数,则f(x)为减(增)函数
3、若f(x)与g(x)的单调性相同,则yf[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单
调性不同,则yf[g(x)]是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:
比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作
函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论:
1、如果一个奇函数在
x0
处有定义,则f(0)
0,如果一个函数y
f(x)既是
奇函数又是偶函数,则
f(x)
0(反之不成立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那
么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
5、若函数
f(x)
的定义域关于原点对称,则
f(x)
可以表示为
1
1
f(x)
[f(x)
f(
x)]
[f(x)
f(x)],该式的特点是:
右端为一个奇函数
2
2
和一个偶函数的和。
零点:
对于函数y
f(x),我们把使f(x)
0的实数x叫做函数y
f(x)的零点。
定理:
如果函数y
f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)
f(b)
0,
零点与根的关系
那么,函数y
f(x)在区间[a,b]内有零点。
即存在c
(a,b),使得f(c)
0,这个c也是方
程f(x)
0的根。
(反之不成立)
关系:
方程f(x)
0有实数根
函数y
f(x)有零点
函数y
f(x)的图象与x轴有交点
函数与方程
(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)
0,
给定精确度
;
(2)求区间(a,b)的中点c;
函数的应用
(3)计算f(c);
二分法求方程的近似解
①若f
(c)
0,则c就是函数的零点;
②若f(a)
f(c)
0,则令b
c(此时零点x0
(a,b));
③若f(c)
f(b)
0,则令a
(c此时零点x
(c,b));
0
(4)判断是否达到精确度
:
即若a-
b
则得到零点的近似值a(或b);否则重复2
4。
几类不同的增长函数模型
函数模型及其应用用已知函数模型解决问题
建立实际问题的函数模型
指数的运算
指数函数
指数函数
基本初等函数
对数的运算
对数函数
对数函数
根式:
n
a,n为根指数,
a为被开方数
n
am
a
m
分数指数幂
n
aras
ar
s(a
0,r,s
Q)
性质
(ar)s
ars(a
0,r,s
Q)
(ab)r
arbs(a
0,b
0,r
Q)
定义:
一般地把函数
y
a
x
(a
0且a
1)
叫做指数函数。
性质:
见表
1
对数:
x
log
a
N
a为底数,
N为真数
log
a
(M
N
)
log
a
M
log
a
N;
log
a
M
log
a
M
log
a
N
;
N
.
性质
n
log
a
M
n
loga
M
;(a
0,a
1,M
0,
N0)
换底公式:
log
b
log
c
b
0且a,c
1,b0)
a
log
(a,c
c
a
定义:
一般地把函数
y
log
ax(a
0且a
1)叫做对数函数
性质:
见表
1
定义:
一般地,函数
yx叫做幂函数,
x是自变量,
是常数。
幂函数
2
性质:
见表
表
ax
对数数函数
指数函数y
a
0,a
1
a0,a1
1
ylogax
定
义
x
R
x
0,
域
值
y
0,
y
R
域
图
象
过定点(0,1)过定点(1,0)
减函数增函数减函数增函数
x
(
0)
时,
y
(1,)
时,
x
时,
(0,
)
时,
性
x
(
0)
y
(0,1)
(0,1)
y
x
(
0)
(0,1)
y
时,
x
(0,
时,
y
(1,)
时,
时,
质x
(0,
)
y
(0,1)
)
x
(1,
y(
0)x
(1,
y
(0,)
)
)
abababab
表2幂函数yx(R)
p
0
1
1
1
0
q
p为奇数
为奇数
奇函数
q
p为奇数
q为偶数
p为偶数
为奇数
偶函数
q
第一象限
减函数增函数过定点(01,)
性质
二、函数的
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