几何压轴题.docx
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几何压轴题
几何压轴题
图形的平移、翻折和旋转等问题压轴题
1、如图,梯形ABCD中,AB//CD,ZABC二90°,AB二3,BC二4,CD二5,
点E为CD上一动点(不与C重合),ABCE关于BE的轴对称图形为ABFE,连接CF・设CE=x,ABCF的面积为S”ACEF的面积为S2・
(1)当点F落在梯形ABCD的中位线上时,求x的值:
(2)试用x表示普,并写出x的取值范围;
(3)当ABFE的外接圆与AD相切时,求学的值.
2、已知:
如图,梯形ABCD中,AB//CD,ZABC二90°,AB二8,CD二6,
BC=4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连结DP,作PQ丄DP,使得PQ交射线BC于点E,设AP二x・
(1)当x为何值时,AAPD是等腰三角形?
(2)若设BE二y,求y关于x的函数关系式;
(3)若BC的长可以变化,在现在的条件下,是否存在点P,使得PQ经过点C?
若存在,求出相应的AP的长;若不存在,请说明理由,并直接写出当BC的长在
什么范围内时,可以存在这样的点P,使得PQ经过点C・
3、如图
(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,
ZEAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系
【发现证明】小聪把AABE绕点A逆时针旋转90°至AADG,从而发现EF二BE+FD,请你利用图
(1)证明上述结论
【类比引申】如图
(2),四边形ABCD中,ZBADH90。
,AB=AD,ZB+ZD二180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当ZEAF与ZBAD满足关系时,仍有EF二BE+FD
【探究应用】如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB二AD二80米,ZB=60°,ZADC=120°,ZBAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AEXAD,DF=40(V3-1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:
(V2=1.41,V3=1.73)
图⑵图⑶
4、在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ中点,把一三角尺的直角
顶点放在点M处,以M为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角
边与/POQ的两直角边分别交于点AB,
(1)求证:
MA二MB
(2)连接AB,探究:
在旋转三角尺的过程中,/AOB的周长是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在。
请说明理由。
AB=AC=5,BC=6,且厶ABC^ADEF将厶
DEF-与^ABC重合在一起,△ABC不动,
f,△DEF运动,并满足:
点E在边BC上沿
B到C的方向运动,且DE始终经过点A,
EF与AC交于M点.
(1)求证:
△ABE^AECM
(2)探究:
在厶DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?
若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积.
BE
6、已知,如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E,F分别是
BC和CD边上的两点,AE丄BF于点G,且BE=1.
(1)求证:
AABE也启CF;
(2)求出/△ABE和壬CF重叠部分(即△BEG)
的面积;
(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB
E'(如图2),使点E落在CD边上的点E'处,
问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是
7、如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD中点,
CE丄AB于E,设ZABC=a(60°0V90°)・
(1)当a=60。
时,求CE的长;
(2)当60°VxV90。
时,①是否存在正整数k,使得/
EFD=kZAEF?
若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由•②连接CF,当CE2-CF2取最大值时,求tan
/DCF的值.
&问题探究:
(1)请你在图①中,过点A作一条直线,使它平分△ABC面积
(2)如图②,点D是厶ABC边AC上一定点,取BC的中点M,连接DM过点A做AE//DM交BC于点E,作直线DE,求证:
直线DE平分△ABC的面积。
⑶如图③,四边形ABCD是某商业用地示意图,现准备过点A修一条笔直的道路(占地面积不计),使其平分四边形ABCD的面积,请在图③中作出这条直线,并说明作法。
9、问题探究:
(1)请你在图①中做一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分;
(2)如图②点M是矩形ABCD内一点,请你在图②中过点M作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分.
问题解决:
(3)如图③,在平面直角坐标系中,直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC//OB,OB=6,CD=BC=4开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4,2)处.为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路(路宽不计),并且是这
条路所在的直线I将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分,你认为直线I是否存在?
若存在,求出直线I的表达式;若不存在,请说明理由.
10、如图,在直角梯形AOBC中,AC//OB且OB=6,AC=5,OA=4,
(1)直接写出B、C两点的坐标;
(2)以O、A、B、C中的三点为顶点可组成哪几个不同的三角形?
(3)是否在边AC和BC(含端点)上分别存在点M和点N,使得AMON的面积最大时,它的周长还最短?
若存在,请说明理由,并求出这时点M、N的坐标;若不存在,为什么?
11、类比梯形的定义,我们定义:
有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.
⑴已知:
如图1,四边形ABCD是“等对角四边形”,/A之C,ZA=70°,/B=80°.求/C,/D的度数.
⑵在探究“等对角四边形”性质时:
1小红画了一个“等对角四边形”ABCD如图
2),其中ZABC=ZADCAB=AD,此时她发现
CB=CD成立.请你证明此结论;
2由此小红猜想:
“对于任意‘等对角四边形’,当一组邻边相等时,另一组邻边也相
等”.你认为她的猜想正确吗?
若正确,请证明;若不正确,请举出反例.(改成对角相等,相邻的边也相等才可以,如图2)
⑶已知:
在“等对角四边形"ABCD中,ZDAB=60°,ZABC=90,AB=5,AD=4.求对角线AC的长.
12、如图,在锐角△ABC中,ZACB=45°,AB=1,分别以A,B
为直角顶点向厶ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M,N.
(1)求证:
EM+FN=AB;
(2)求厶ABC面积的最大值;
(3)当厶ABC面积最大时,在直线MN上找一点P,使得EP+FP的值最小,求出这个最小值.(结果可保留根号)
13、平面上有三点M,A,B,若MA=MB则称点A,B为点M的等距
占
八、、
问题探究:
(1)如图①,在△ABC中,AB=AC,点P为AB上一点,试在AC
上确定一点Q,使P,Q为点A的等距点。
答案:
BCF是等边三角形;
EG与BE的比,然后
1、分析:
(1)利用梯形中位线的性质,证明△
然后解直角三角形求出x的值;
(2)利用相似三角形(或射影定理)求出线段
利用二
EG
BG求解;
(3)依题意作出图形,当△BFE的外接圆与AD相切时,线段BE
的中点0成为圆心.作辅助线,如答图3,构造一对相似三角形△OMP
ADH利用比例关系列方程求出x的值,进而求出一的值.
解答:
解:
(1)当点F落在梯形ABC冲位线上时,
MN分别交ADBC于点MN.
由题意,可知ABCD为直角梯形,则MNLBC且BN=CN=1/2BC
由轴对称性质,可知BF=BC
•••BN=1/2BF
•••/BFN=30,•/FBC=60,
•△BFC为等边三角形.
•CF=BC=4/FCB=60,
:
丄ECF=30.
设BECF交于点G,由轴对称性质可知CG=1/2CF=2CF丄BE
在R2CEG中‘x9岛晋学・・•・当点F落在梯形ABCD的中每线上时,x的值为半.
vzGEC+zECG=90c,zGEC+zCBE=90°.
.*.zGCE=zCBE,
又TZCGE二ZECB二90°,
.••R2BCE-R2CGE,
.BE_CE
**CE~EG'
/.CE2=EG«BE①
同理可得:
BC2=BG«BE②
①沁詩若嗒
s:
SACEF0EGEG
HSabcfRgbgbg16
(3)当-BFE的夕卜接圆与AD相切时,依题意画出图形,如答图3所示.设圆心为O,半径为r,则r=~BE=^zli.
22
iSW点为P,讎0P<贝!
JOP丄AD.0P二fT6.
过点0作梯形中位线MNr分别交AD、BC于点M、Nr
则为悌形ABED的中位统./.OM=i(AB+DE)=1(3+5-x)=y(8-x).gA作AH丄CD于原H,贝!
1四却?
ABCH为硼,
/.AH=BC-4dCH=AB=3,/hDH=CD-CH=2・
在Rt-ADH中.宙勾股迄理得:
AD=jAH2_DH—j4—2-=-24?
•
\MNuCD,
/.zADH=zOMP,3i4.zAHD=^OPM=90*.
/-OMP-ADH.
化简得:
応诅片恳亍-铀,
两边平方后.整理得:
x2+64x176=0,
肇潯1XX—32+20J<勺±£2-20历(舍去)
■■0<*32+2047<5
「.X“32*20*符會趣扈,
SiF
S]16
点评:
本題薙几何综合題「孝童了亘角陣嗷昭似、勾股走富轸边三角形.矩形*中位粽囲的切紘解方凰解甘三角形帧识点,H了轴对称却与动点型问覇,涉及老点较雾.有一主的难庚+
2、解:
(1)过点D作DHLAB于H,则四边形DHBC为矩形,
•••DH=BC=,HB=CD=,
...ah=2"=2怎
•/AP=x
依题意得2vxv8,
•PH=x-2,
1当AP二AD寸,"M,
2当AD=PD时,有AH二PH
•2=x-2,
解得x=4,
3当AP二PD寸,
在Rt△DPH中,x2=42+(x-2)
解得x=5,
•/2vxv8,
•••△APD是等腰三角形时,“2石,4或5;
(2)v点P不与点B重合,
•••点E必在线段BC上,易证△DPHp^PEB
1
2
即y二-4
x2+1x-4;
整理得y
(3)假设存在满足条件的点P,则BE=BC=4
即y=-)x2+2x-4=4,整理,得x2-10x+32=0,
2
=(-10)-4x32v0,
二此方程无实数解,与假设矛盾,
•••不存在点P,使得PQ经过点C,
9
当BC满足O 连接AF. vZBAD=150,/DAE=90, •••/BAE=60. 又T/B=60°, •△ABE是等边三角形, •BE=AB=8(米. 根据旋转的性质得到: /ADG/B=60°, 又T/ADF=120, •/GDF=180,即点G在CD的延长线上. 易得,△ADG^AABE •AG=AE/DAG/BAEDG=BE 又T/EAG/BAD=150, •/GAF/FAE 在厶GAF^HAFAE中, 'AG=AE ZGAF=ZFAE •△AFG^AAFE(SAS. •GF=EF 又vDG=BE •••GF二BE+DF •••EF=BE+DF=80+40.■-1)〜109.2(米),即这条道路EF的长约 为109.2米. 4、 (1)证明: 连接OMvRt/POQ中,OP=OQ4,M是PQ的中 占 八、、 丄 •••OM=PM=PQ=2: : /POMHBOMhP=450 vZPMA#AMOHOMB: +AMO •/PMAZOMB/PMA2/ OMB•MA=MB ⑵解: /AOB的周长存在最小值 理由是: /PMA2/ OMB•PA=OB •OA+OB=OA+PA=OP=4 令OA=xAB=y则y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8>8 当x=2时y2有最小值=8从而y「 5、 (1)证明: vAB二AC•ZB=ZC, •ZAEFZB, 又vZAEF+ZCEMZAECZB+ZBAE •ZCEMZBAE •△ABE^AECM (2)解: vZAEFZB=ZC,且ZAME>ZC, •ZAME>ZAEF •AE^AM 当AE二EM寸,贝SAABE^AECM /.CE=AB=5 •••BE二BC-EC=6-5=1 当AM=ElW,则/MAEhMEA •/MAE#BAE玄MEA#CEM 即/CAB#CEA 又T#C=#C, •••△CAE^ACBA •CE: AC=ACCB •CE二ACCB=25/6 BE=6-25/6=11/6 (3)解: 设BE=x 又•••△ABE^AECM •CM: BE=CEAB 即: CM: x=(6-x): 5, •CM=-X/5+6/5x=-1/5(x-3)2+9/5, •AM=-5-CMb1/5(x-3)2+6/5, •当x=3时,AM最短为16/5 又t当BE=x=3=1/2BC时, •点E为BC的中点, •••AELBC •••AE=/(AB2-BE2)=4,此时,EFLAG •EM=/(cU-CM)=12/5 SAAEM=1/2<16/5X12/5=96/25 6、 (1)证明: T四边形ABCD是正方形,ABE玄BCF=90,AB=BC •/ABF吃CBF=90。 tAE! BF,「./ABF亡BAE=90。 •/BAE玄CBF 在^ABE"BCF中,vZABE玄BCFAB=BCZBAE=/CBF•△ABE^ABCF(ASA。 (2)解: v正方形面积为3,二AB=' 在厶BGEW^ABE中,vZGBEZBAEZEGBZEBA=90,•△BGE 又vBE=1•AE二AB+BE=3+1=4 (3)解: 没有变化。 理由如下: ABE Sab帖 。 vAB=ADZAB'E=ZADE"=9(°,AE=AE',「.Rt△ABE^Rt △ABE‘坐Rt△ADE, •••/DAE二/B‘AE=/BAE=30。 •••AB与AE在同一直线上,即BF与AB的交点是G 设BF与AE的交点为H 贝卩/BAGhHAG=30,而/AGBhAGH=90,AG=AG•△BAG^A HAG B'=-^JlAGH=^AABE •△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化 7、解: (1)Ta=60°,BC=10, CE CE 「sina= BC ,即sin60°10 =r 解得CE=5•; (2)①存在k=3,使得ZEFD=khAEF. 理由如下: 连接CF并延长交BA的延长线于点 G, TF为AD的中点,•AF=FD, 在平行四边形ABCD中,AB//CD, •hG=hDCF,在△AFG和ACFD中, fZG=ZDCF *ZA? G=ZDFC(对顶角相等) tAF=rD 在AAFG中,/EFC=ZAEF+ZG=2ZAEF, 又・・・JCFD=ZAFG(对顶角相等), 因此,存在正整数k=3,使得ZEFD=3ZAEF; ②设BE=x,TAG=CD=AB=5, ・・・EG=AE+AG=5-x+5=10-x, 在Rt少CE中,CE2=BC2-BE2=100-x2, 在RtMEG中,CG2=EG2+CE2=(10-x) ・・CF=GF(①中已证), 2+100-x2=200-20x, 丄 CF2=7(200-20x)=50- ・•・CE2- CF2=100 -x2- 50+5x= x2+5x+50= 1 -(x— h2+50+普 ・••当x,,即点E是AB的中点时,CE2-CF2 15 2 r 取最大值, 此时,EG=10-x=10- CE=Mle-鼻丽0•晋=響 — 所以,tan/DCF=tanZG= = V15 =3r • ■1. V* ■■ 111 9、 (1)如图①. (2)如图②连接AC、BD交于P则P为矩形 对称中心.作直线MP,直线MP即为所求. (3)如图③存在直线I, 过点D作DA丄OB于点A, 则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心, •••过点P的直线只要平分厶DOA的面积即可,易知,在0D边上必存在点H使得PH将4DOA面积平分. 从而,直线PH平分梯形OBCD的面积, 10、(3)如图,过点M作MP//OA,交ON于点P,过点N作NQIIOB,分别交OA、MP于两点Q、G, 贝USamon=saomp+sanmp=1/2mp-qg+1/2mp-gn, •••MPCOA,QNCOB, •当点N与点B重合,M在AC上运动时,QN,MP同时取得最大值BO,OA, •△MON的面积=1/2OA・OB, •M点与A点重合, 当AOMN是等腰三角形时,点N与B重合,贝UOM=MN,•••M(3,4), •••△MON的面积=1/2OAOB, •△MON的周长=16V10+, •存在点M和点N,使得AMON的面积最大时,它的周长还最短,M(3,4). r\D£**1&—46t 7ZKIX: - : .CD=243・ : 、AC-/A川亠di? =/P+d荷尸=5、 5)如用氛胃£: 眈1? 三疋他仍=対时、过点BftPE丄yUl于点于AF- VDE丄AB上DAB■卅仏 : *AE-2,D£=i/3, 丁艸边瑋J5FDE为短形. ';ZBCD-60% : .CF-73. ABCCF+BF-./3+2/3-3/T* : *AC==/中+心厲)*=2i/n. a iff 12、 (1)过C作CG垂直于AB,由EA垂直于AC,利用平角的定义得到一对角互余,再由CG垂直于AG,得到一对角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等及AE=AC,利用AAS得到三角形ACG与三角形AEM全等,利用全等三角形的对应边相等得到EM=AG,同理得至SBG=FN,由AB=AG+GB,等量代换即可得 铮时角四边賂ZC •%Z: C=3fiO,-70*-SO"130*.t沁AEB乱违结QD. : 、為Aae-^AJiI>=^ADC-^_AL>& SB二WCDB. ACB=CD. ②不iEH. 反鹘’如腦3.NA-AD, fdCB^CD. C3KI虫圉"当AAiX: =^AHC=9^9JnLXffC相交于点£ ': ZAWC=&O\ZOA0=6O*,SB~5. AA£^10, 证; (2)在三角形ABC中,由ZACB的度数及AB的长,利用余弦定理列出关系式,再利用基本不等式变形求出AC? BC的最大值,再利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面 积的最大值; (3)根据三角形ABC面积最大时,AC=BC,作出E、F关于MN的对称点E'、F',连接E'F,过G点,当P与G重合时,EP+FP最小,最小距离为E'F,作出△ABC的外接圆,由ZACB=45°利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到ZAOB=90,再由OA=OB,得到三角形AOB为等腰直角三角形,由AB 的长求出三角形ABC外接圆半径长,以及 OG的长,由CO+OG求出CG的长,即为MA与NB的长,由MA+AB+NB求出MN长,即为E'F、,在直角三角形E'FF、,由E'F'与FF'长,利用勾股定理求出E'F的长,即为EP+FP的最小值. (1) (2) (2>EiABCtp;^ACB-斗 .AB2=AC'-B€*-2AC'BCco^ACB? 良卩1=AC】亠: BC】-\YaO空三2AOBC-\7aOBC』(2AC-BC, AOBC<—"心,即乂•阮的最大值为>v2,此时AC=EC^等号, 九yr3* —'—一— 则iABCffi积的最大值为刍乂政®厶■亠二丄孑 (3)同 (2)图
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