特殊的平行四边形复习.docx
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特殊的平行四边形复习
特殊的平行四边形复习
知识回顾:
一、菱形:
1.有一组__________相等的________________叫做菱形。
2.菱形的四条边__________,对角线________________。
3.菱形的对称性:
4.__________________的四边形是菱形。
5.对角线_____________的_____________是菱形。
6.菱形的面积等于:
(1)__________________,
(2)____________________。
二、矩形:
1.有一个角是________的________________叫做矩形。
2.矩形的四个角都是________,对角线__________。
3.直角三角形斜边上的中线等于_____________。
4.__________________的四边形是矩形。
5.对角线________的_______________是矩形。
6.矩形的对称性:
三、正方形:
1.有一组_________相等,并且有一个角是_________的__________________叫做正方形。
2.正方形的四个角都是________,四条边都________,对角线__________,并且互相_________________,每条对角线平分_______________。
3.正方形的对称性:
4.对角线相等的_________是正方形。
5.对角线_______________的矩形是正方形。
6.有一个角是直角的_________是正方形。
7.有一组邻边相等的_________是正方形。
四、含有60°角的菱形与矩形
1.有一个角为60°的菱形是由两个等边三角形构成的,它的短对角线等于边长,它的长对角线是短对角线的
倍。
2.对角线相交所成锐角为60°角的矩形中,对角线长是短边的2倍,它的长边是短边的
倍。
五、顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是________________。
1.原四边形对角线相等时,则所得中点四边形是______________。
2.原四边形对角线互相垂直时,则所得中点四边形是______________。
3.原四边形对角线相等且互相垂直时,则所得中点四边形是______________。
六、典型题:
1.下列命题中,真命题是
A.两条对角线垂直的四边形是菱形B.对角线垂直且相等的四边形是正方形
C.两条对角线相等的四边形是矩形 D.两条对角线相等的平行四边形是矩形
2.下列命题中的假命题是().
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.一组邻边相等的矩形是正方形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是()
A.对角线相等 B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.四条边相等
4.在下列命题中,正确的是( )
A.一组对边平行的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5.下列说法不正确的是( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
6.菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相垂直 B.对角线相等C.对角线互相平分 D.对角互补
7.下列命题是假命题的是( )
A.
四个角相等的四边形是矩形
B.
对角线相等的平行四边形是矩形
C.
对角线垂直的四边形是菱形
D.
对角线垂直的平行四边形是菱形
8.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( )
A.
选①②
B.
选②③
C.
选①③
D.
选②④
9.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BC相交于点O,H为AD边中点,
菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于()
A.
3.5
B.
4
C.
7
D.
(第9题图)
14
10.平行四边形ABCD中,AC,BD是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD是矩形,那么这个条件是()A.AB=BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD
11.正方形的对称轴的条数为( )A.1B.2C.3D.4
12.顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是()
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
13.如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD还应
满足的一个条件是。
14.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是( )
A.矩形B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形
15.顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形
16.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定是( )
A.矩形B.菱形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形
17.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所得的四边形是.
18.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )
A.5
cmB.2
cmC.
cmD.
cm
19.如果菱形的一条对角线长是12㎝,面积是30
,那么这个菱形的另一条对角线长为㎝.
20.菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A.14B.15C.16D.17
21.如图,菱形ABCD的边长为8cm,∠A=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则四边形BEDF的面积为cm2.
(第21题图)
(第20题图)
(第18题图)
22.如图,菱形ABCD中,AB=4,
垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF的面积是.
23.如图,将菱形纸片ABCD折迭,使点A恰好落在菱形的对称中心O处,折痕为EF。
若菱形ABCD的边长为2cm,A=120,则EF=cm。
24.
如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°.连结对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACEF,使∠FAC=60°.连结AE,再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 .
(第24题图)
(第23题图)
(第22题图)
25.如图,矩形
的两条对角线相交于点
,
,则矩形的对角线
的长是()A.2B.4C.
D.
26.如图,矩形ABCD的对角线AC=8cm,∠AOD=120°,则AB的长为( )
A.3cmB.2cmC.5cmD.4cm
27.如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为()A.2
B.
C.
D.6
(第25题图)
(第27题图)
(第26题图)
28.如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED=2∠CED,点G是DF的中点,若BE=1,AG=4,则AB的长为.
29.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为( ) A.6B.12C.2
D.4
30.如图,四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于( )
(A)
(B)
(C)
(D)8
(第28题图)
(第30题图)
(第29题图)
31.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图7方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕EF,若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF的面积是__________cm2.
32.如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()
A.3B.4C.5D.6
33.如同,矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且
AE=EC.若将纸片沿AE折叠,点B恰好与AC上的点
重合,则AC=cm.
(第33题图)
(第32题图)
(第31题图)
34.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值= .
35.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是 .
36.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE=3,点Q为对角线AC上的动点,则△BEQ周长的最小值为.
(第35题图)
(第34题图)
(第36题图)
37如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,
则矩形ABCD的面积是()
A.12B.24C.12
D.16
38如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是( )
A.
S1>S2
B.
S1=S2
C.
S1<S2
D.
3S1=2S2
39.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长= cm.
(第39题图)
(第38题图)
(第37题图)
40.已知:
如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC和CD上,AE=AF.
(1)求证:
BE=DF;
(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM,FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
41.已知:
如图,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA=MC.
①求证:
CD=AN;
②若∠AMD=2∠MCD,求证:
四边形ADCN是矩形.
42.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)BD与CD有什么数量关系,并说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?
并说明理由.
43.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:
∠DHO=∠DCO.
44.如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠ACB=30°,AB=2.
(1)求AC的长.
(2)求∠AOB的度数.(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.
45.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.
(1)说明四边形ACEF是平行四边形;
(2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.
46.如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证:
AM=EF.
47.如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,
(1)
的值为____________;
(2)求证:
AE=EP;
(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?
若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
48.如图15,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论.
49.已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF。
(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC;
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
②若正方形ADEF的边长为2
,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.
50.如图
(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
(1)连接GD,求证:
△ADG≌△ABE;(4分)
(2)连接FC,观察并猜测∠FCN的度数,并说明理由;(4分)
(3)如图
(2),将图
(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变,若∠FCN的大小不变,请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值;若∠FCN的大小发生改变,请举例说明.(5分)
51.正方形ABCD的边AB上任取一点E.作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,
连结EG、CG,如图
(1),易证EG=CG且EG⊥CG。
(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图
(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请直接写出你的猜想。
(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3).则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请写出你的猜想。
并加以证明。
52.四边形ABCD是正方形,AC与BD,相交于点O,点E、F是直线AD上两动点,且AE=DF,CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G,连接AG,直线AG交BE于点H.
(1)如图1,当点E、F在线段AD上时,①求证:
∠DAG=∠DCG;②猜想AG与BE的位置关系,并加以证明;
(2)如图2,在
(1)条件下,连接HO,试说明HO平分∠BHG;
(3)当点E、F运动到如图3所示的位置时,其它条件不变,请将图形补充完整,并直接写出∠BHO的度数.
如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:
①S1+S2=S3+S4②S2+S4=S1+S3
③若S3=2S1,则S4=2S2④若S1=S2,则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_________________(把所有正确结论的序号都填在横线上).
如图,菱形OABC的顶点O是原点,顶点B在y轴上,菱形的两条对角线的长分别是6和4,反比例函数
的图象经过点C,则k的值为 .
如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cosA=
,BE=4,则tan∠DBE的值是 .
如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A、C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为 (2,4﹣2
) .
如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A.(2,10)B.(﹣2,0)C.(2,10)或(﹣2,0)D(10,2)或(﹣2,0)
如图,正方向ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP等于 cm.
如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E、F分别在边AB、BC上,且AE=BF=1,CE、DF交于点O.下列结论:
①∠DOC=90°,②OC=OE,③tan∠OCD=
,④S△ODC=S四边形BEOF中,正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:
①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH=
BD其中正确结论的为 (请将所有正确的序号都填上).
如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上,下列结论:
①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+
.其中正确的序号是 (把你认为正确的都填上)
如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论:
①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的个数是()
A.1B.2C.3D.4
如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论:
①△AED≌△DFB; ②S四边形 BCDG=
CG2;
③若AF=2DF,则BG=6GF.其中正确的结论
A.只有①②. B.只有①③.C.只有②③. D.①②③.
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为 .
如图矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时,DE的长为 .
如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,∠EAF=45°,△ECF的周长为4,则正方形ABCD的边长为 .
如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,则OF的长为 .
如图,D为△ABC内部一点,E、F两点分别在AB、BC上,且四边形DEBF为矩形,直线CD交AB于G点.若CF=6,BF=9,AG=8,则△ADC的面积为何?
( )
A.16B.24C.36D.54
9.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()
A.
2.5
B.
C.
D.
2
准备一张矩形纸片,按如图操作:
将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点.
(1)求证:
四边形BFDE是平行四边形;
(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.
如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别在OD、OC上,且DE=CF,连接DF、AE,AE的延长线交DF于点M.
求证:
AM⊥DF.
如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:
CE=CF;
(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?
为什么?
如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:
EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并证明你的结论.
16、(2008年上海市)如图,已知平行四边形
中,对角线
交于点
,
是
延长线上的点,且
是等边三角形.
(1)求证:
四边形
是菱形;
(2)若
,求证:
四边形
是正方形.
如图19-126所示,ABCD是正方形,G是BC上一点,
于点E,
于点F.
(1)求证△ABF≌△DAE;
(2)求证
.
以四边形ABCD的边AB.BC.CD.DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E.F.G.H,顺次连接这四个点,得四边形EFGH.
(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:
四边形EFGH的形状(不要求证明);
(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=α(0°<α<90°),
①试用含α的代数式表示∠HAE;
②求证:
HE=HG;
③四边形EFGH是什么四边形?
并说明理由.
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B、C、G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM、ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.
拓展与延伸:
(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为DM=DE.
(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试证明
(1)中的结论仍然成立.
已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论?
(均不要求证明)
(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数.
(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.
(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3
,求AG,MN的长.
如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC上的一
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