充分条件与必要条件练习题及答案.docx
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充分条件与必要条件练习题及答案
例1已知p:
x1,x2是方程x2+5x—6=0的两根,q:
x1+x2=—5,贝Up是
q的
[]
A•充分但不必要条件B•必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
分析利用韦达定理转换.
解段仁x2是方程x2+5x—6=0的两根,
/•X1,x2的值分别为1,—6,
•・X1+x?
165.
说明q.
但事实上只要取衍二-厶作为反例即可说明这一点.
因此选A.
说明:
判断命题为假命题可以通过举反例.
例2p是q的充要条件的是
[]
A.p:
3x+2>5,q:
—2x—3>—5
B.p:
a>2,bv2,q:
a>b
C.p:
四边形的两条对角线互相垂直平分,q:
四边形是正方形
D.p:
a丸,q:
关于x的方程ax=1有惟一解
分析
逐个验证命题是否等价.
解
对A.
p:
x>1,q
:
xv1,所以,p是q的既不充分也不必要条件;
对B
.P—
q但q^p,
p是q的充分非必要条件;
对C
.P丄
q且q—P,
p是q的必要非充分条件;
对D.pq且qp,即pq,p是q的充要条件.选D.
说明:
当a=0时,ax=0有无数个解.
例3若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,则D是A成立的
[]
A.充分条件B.必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
分析通过B、C作为桥梁联系A、D.
解TA是B的充分条件,•••A—B①
•••D是C成立的必要条件,•C—D②
TC是B成立的充要条件,•CB③
由①③得A—C④
由②④得A」D.
•••D是A成立的必要条件.选B.
说明:
要注意利用推出符号的传递性.
例4设命题甲为:
0vxv5,命题乙为|x—2|v3,那么甲是乙的
[]
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
分析先解不等式再判定.
解解不等式|x—2|v3得一1vxv5.
■/0vxv5——1vxv5,但一1vxv5-/0vxv5
•••甲是乙的充分不必要条件,选A•
说明:
一般情况下,如果条件甲为x€A,条件乙为x€B•
当且仅当AB时,甲为乙的充分条件;
当且仅当AB时,甲为乙的必要条件;
当且仅当A=B时,甲为乙的充要条件.
例5设A、B、C三个集合,为使A、(BUC),条件A■B是
[]
A.充分条件B.必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
分析可以结合图形分析.请同学们自己画图.
解丁A±B而E匚®UC),
•••A—(BUC).
但是,当B=N,C=R,A=Z时,
显然A(BUC),但A.;B不成立,
综上所述:
“A^B”二“A±(BUC)”,而
“A__(BUC)”一“A__B”.
即“A、B”是“A「(BUC)”的充分条件(不必要).选A.
说明:
画图分析时要画一般形式的图,特殊形式的图会掩盖真实情况.
例6给出下列各组条件:
(1)p:
ab=0,q:
a2+b2=0;
(2)p:
xy>0,q:
|x|+|y|=|x+y|;
(3)p:
m>0,q:
方程x2—x—m=0有实根;
(4)p:
|x—1|>2,q:
xv—1.
其中p是q的充要条件的有
A.1组B.2组
C.3组D.4组
分析使用方程理论和不等式性质.
解
(1)p是q的必要条件
(2)p是q充要条件
(3)p是q的充分条件
(4)p是q的必要条件.选A.
说明:
ab=0指其中至少有一个为零,而a2+b2=0指两个都为零.
Xj>3xdx2>6
例71是12的条件.
x2>3x1x2>9
分析将前后两个不等式组分别作等价变形,观察两者之间的关系.
解x1>3且x2>3x1+x2>6且x1x2>9,但当取x1=10,x2=2时,
x1x2>6x1>3
成立,而不成立(X2=2与X2>3矛盾),所以填“充分不
x1x2>9x2>3
必要”.
(x1—3)+(x2—3)>0
(x1—3)(x2—3)>0
x1+x2>6这一等价变形方法有时会用得上.
x1x2—3(x1+x2)+9>0
例8已知真命题"a》b=c>d”和"avb二ewf”,贝U"c 的件. 分析"泄一c>d(原命题), •••cwd—avb(逆否命题). 而avb—ewf, ■'■cwd—: ewf即cwd是e 答填写“充分”. 说明: 充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法. 例9ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是 [] A. 0vaw1B.av1 C. aw1D.0vaw1或av0 分析 此题若采用普通方法推导较为复杂, 可通过选项提供的信息,用排除 法解之.当 a=1时,方程有负根x=—1,当 与a=0时,x= 1 ——.故排除A、B、D选C. 2 1 解常规方法: 当a=0时,x=—-. 2 当a工0时 c2v44a 1.a>0,则ax2+2x+1=0至少有一个负实根: v0 2a 21—av20vaw1. r 2.av0,则ax2+2x+1=0至少有一个负实根——一4av0 2a 2>21—a>21—a>1av0. 综上所述aw1. 即ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是aw1. 说明: 特殊值法、排除法都是解选择题的好方法. 例10已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s,r,p分别是q的什么条件? 分析画出关系图1—21,观察求解. £1-21 解s是q的充要条件;(s—r—: q,q—s) r是q的充要条件;(r—q,q—: s—r) p是q的必要条件;(q—s—r—: p) 说明: 图可以画的随意一些,关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系. 例11关于x的不等式 与B,问“AB”是“1Wa<3或a=—1”的充要条件吗? 分析化简A和B,结合数轴,构造不等式(组),求出a. 解A={x|2awx 1 当2w3a+1即a》—时, 3 B={x|2wx<3a+1}. 2a>2 AB21wa<3 a2+1w3a+1 1 当2>3a+1即a<-时, 3 B={x|3a+1wxw2} 2a>3a+1 AB2a=—1. a+1w2 综上所述: ABa=—1或1waw3. •••“AB”是“1waw3或a=—1”的充要条件. 说明: 集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关•在解题时要理清思路,表达准确,推理无误. 11 例12x>y,xy>0是一V—的必要条件还是充分条件,还是充 xy 要条件? 分析将充要条件和不等式同解变形相联系. 解1.当一V丄时,可得-—-V0即V0 y—xV0xy>0, xyxyxy y—x>0 或 xyV0 即xVy或x>yxyV0xy>0, 11,xVy 故一V-不能推得x>y且xy>0(有可能得到,即x>y且xy 11 >0并非-V-的必要条件. xy x>yx>y 2.当x>y且xy>0则分成两种情况讨论: x>0或xV0 y>0yV0 11 不论哪一种情况均可化为—V-. xy 11 x>y且xy>0是V—的充分条件. xy 说明: 分类讨论要做到不重不漏. 例13设a,B是方程x2—ax+b=0的两个实根,试分析a>2且b>1是两 根a,3均大于1的什么条件? 分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系,解题时需 要搞清楚条件p与结论q分别指什么.然后再验证是pq还是qp还是pq. 解据韦达定理得: a=a+B,b=aB,判定的条件是P: b>1 a>1t2 结论是q: b>〔(还要注意条件p中,a,b需要满足大前提厶=a—4b >0) a>1 (1)由得a=a+B>2,b=a^>1, B>1 •••q—p- ⑵対了证明可以举出反例,取P二'它满足芨二 CL+P=4+>2Pb=aB=4.斗=2>1,但q不成立. 上述讨论可知: a>2,b>1是a>1,3>1的必要但不充分条件. 说明: 本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用. 例14(1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条 件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么 [] A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 分析1: 由丙一乙丄甲且乙亠丙,即丙是甲的充分不必要条件. 分析2: 画图观察之. 答: 选A. 说明: 抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便
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