CVaR风险度量模型在投资组合中的运用.pdf
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第13卷第1期2004年2月运筹与管理OPERAIIONSRESEARCHANDMANAGEMENTSCIENCEV0113,NOIFeb,2004CVaR风险度量模型在投资组合中的运用陈剑利,李胜宏(浙汀=大学数学系,浙江杭州310027)摘要:
风险价值(Vail)是近年来金融机构广泛运用的风险度量指标,条件风险价值(CVaR)是VaR的修正模型,也称为平均超额损失或者尾部VaR,它比VaR具有更好的性质。
在本文中,我们将运用风险度量指标VaR和CVaR,提出一个新的最优投资组合模型。
介绍了模型的算法,而且利用我国的股票市场进行了实证分析,验证了新模型的有效性,为制定合理的投资组合提供了种新思路。
关键词:
运筹学;投资组合;线性规划;CVaR;实证分析;VaR中图分类号:
F83091:
02211文章标识码:
A文章编号:
10073221(2004)01009505AnApplicationofCVaRModelsinthePortfolioCHENJianli,IIShenghong
(1)epa,。
tmentof,Vlathematics,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China)Abstract:
ValueatI?
isk(VaR)isawidelyusedriskmeasureindexbyfinancialinstitutioninrecentyearsConditionalValueatI),isk(CVaI)istherevisedmodelofVaR,alsocalledMcanExcessLossorIailVaRwithbetterpropertiesInthispaperwellputforwardanewoptimalportfoliomodelbyusingriskmeasureindexVaRandCVaRWeintroducethealgorithmofourmodelandacasestudyforourstockmarketisperformedtodemonstratehowthenewoptimizationtechniquescanbeimplementedItprovidesanewideaforestablishingarationalportfolioKeywords:
operationsresearch;portfolio;linearprogramming;CVaR;demonstrationanalysis;VaR0引言R方法,又称风险价值法,是新近出现的一种度量金融风险的工具。
1994年,JPMorgan投资银行首先推出了基于R的风险度量系统RiskMetrics,现在VaR被广泛应用于各金融机构,并正在成为度量金融风险的国际标准。
VaR方法利用统计思想对风险进行估值,其含义是“处于风险中的价值”,是指市场正常波动下,某一金融资产或证券组合的最大可能损失。
更为确切的定义是:
在一定的概率(置信)水平下,某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内(如一天、一周、一年)的最大可能损失,可表示为Prob(PR)=1一卢,其中P为证券组合在持有期内的损失,尺为置信水平p下处于风险中的价值J。
换而言之,在某个确定的概率下,损失不会超过R。
例如,持有某个投资组合一天,Prob(,J10)=5,其含义是:
在正常市场条件下,该组合只有5的概率,在一个交易日的持有期限里损失超过10美元。
VaR作为风险度量方法有很多优点,如概念简单,易于理解,能直接比较面II缶不同风险的不同工具之问的相对风险度,也为高层管理者在风险收益基础上评估业绩、资本配置、风险收稿日期:
20030704基金项目:
国家自然科学基金资助项目(A0325103)作者简介:
陈剑利(1978一),女,浙江省湖州人,硕士研究生,主要研究方向:
证券投资、风险管理;李胜宏(1957),男,湖南省常德人,教授、博士生导师,主要研究方向:
证券投资、衍生证券、偏微分方程。
万方数据96运筹与管理2004年第13卷限额设置等提供-f简单的方法。
涉及。
R的优化问题参见文献1234。
尽管VaR很受欢迎,并得到广泛的研究,但在数学上具有一定的局限性,如:
(1)缺乏次可加性,即证券组合的风险不一定小于各证券风险之和。
(2)基于R对证券组合进行优化时,可能存在多个极值,局部最优解不一定是全局最优解,这在数学上难以处理。
此外,R只是市场处于正常变动下市场风险的有效测量,它不能处理金融市场处于极端价格变动的情形,如股市崩盘等17J,在这种情况下,就需要通过极值分析、压力测试等方法来处理J。
理论上讲,这些缺陷的根源不在讹凡本身,而在于其依据的统计方法。
鉴于VaR的这些缺陷,理论界提出了一种VaR的修正方法,即条件风险价值,简称CVaR。
CVaR是损失超过V“R的条件均值,代表了超额损失的平均水平,反映出金融头寸的潜在损失。
cR是个一致性的风险度量,因为它具有次可加性和凸性,在数学上也容易处理,最近研究【4J表明,CVaR可以通过使用线性规划算法来进行优化。
很多实证分析表明,最小化CVaR的同时,也得到了VaR的近似最优解,因为CVaR总是大于或等于VaR。
与Markowitz的均值方差方法类似,CVaR也可用在风险收益分析中。
在本文中,我们将运用风险度量指标R和CVaR,考虑中国证券市场的实际情况,提出一个新的最优投资组合模型:
给定一个可接受的CVaR值,如何确定一组给定证券的组合,以取得最大的收益,并且同时满足CVaR约束条件。
在第一节中,我们将建立数学模型及其算法;在第二节中,利用我国的股票市场进行了实证分析,验证了新模型的有效性,为制定合理的投资组合提供了一种新思路。
l模型的建立和求解11方法描述设厂(z,Y):
R”R”。
一R表示一个投资组合的损失函数,控制向量zx(投资组合的可行集,满足一定条件),随机向量YR。
为了方便,假定随机向量的概率密度函数为P(y),然,则令为累积分布函数,定义p(y)dy(Jv)。
ap(z)=rainaR:
缈(z,a)口p(T)=(1一p)一1厂(z,j,)p(Y)dy1(“y)。
自(。
)这里口口(z)和(、r)为置信水平p(0,1)下的VaR和CVaR。
因为CVaR定义中有VaR函数,所以较难以处理,除非有R函数的解析表式。
为克服困难,文献2中定义一个更简单的函数:
r2(r,a)2口十(1一9)一1I(厂(工,Y)a)1p(Y)dyvR”来代替九(T)。
可以证明(见4):
(1)n(_,a)关于a是凸的和连续可微的;
(2)R就是使这个函数取最小值时的a值;(3)关于d最小化(一,d)就可以得到C讹R,即p(T)=(z,ap(z)=min(z,a)。
进一步,还可以用函数Fp(j,a)来计算R和优化CVaR,即m。
i。
n声z(、r)=,粤妒。
咋(z,a)。
令(r”,日“)为上述优化问题的解,则(-。
,a)为最优的CVaR,最优的投资组合为。
*,相应的R为口“。
在一般情况下,(“a)是光滑的,而且,如果、(z,y)关于z是凸的,则函数F。
(z,a)关于一也是凸的。
这样,如果我们想最小化CVaR,我们可以利用凸的光滑函数(z,口)。
因此,如果可行集也是凸的,那么则转化为解决一个光滑凸的优化问题。
万方数据第1期陈剑利,等:
CVaR风险度量模型在投资组合中的运用97如果密度函数扣(y)的解析表达式不可得,则可以应用情景分析法15来模拟。
例如,根据证券价格的历史数据,或者使用蒙特卡洛模拟来给证券定价,由此得到J个数据Y。
,YJ。
在这种情况下,函数(_,口)可以如下近似计算:
JR(r,d)=d+q芝二(_,M)一日)+其中q=(1一P)J)_。
,t+=max(O,t)。
如果进一步假设函数f(76,y)关于z是线性的,则函数(z,a)关于(z,d)也是凸的分段线性函数。
事实上,在F。
(z,a)中,引入虚拟变量z,J=1,J,则函数或(z,口)就由线性函数a+q勺和线性约束zjf(x,yj)一a,巧o来取代,34的研究结果表明,这个变形提供了一种有利的,数值上稳定的技术。
这样,我们就通过一系列的转化,将最初的CVaR函数转化为线性函数和线性约束,使得优化问题可以通过LP技术来解决。
12投资组合优化模型在这一节中,我们将在3,4的基础上,结合中国证券市场的实际情况,考虑一种新的单期投资组合优化模型。
假设该市场由11种风险资产Si(i=1,”)和一种无风险资产(如债券,存款)5。
组成,投资者在这n+1类资产中分配资金,使资产组合在风险一定的情况下实现实际收益(扣除税收和交易费用后收益)最大化。
在实际投资中,每种风险资产都有一个最小交易单位,设zo=(z2,z2,z?
)为最初投资者持有各风险资产的单位数,z=(z,z2,z。
)是我们想要找到的最优投资组合中各风险资产的投资单位数;各风险资产最小交易单位在投资期初的价格为P=(P1,P2,P,),s0f+1,为投资期初投资于无风险资产的金额,则最初投资组合的价值为剐o=pix?
+s,S,。
为最优投资组合中无风险资产的金额,则最优投资组合的价值为玑=pix一十1Di=l我们假设在投资期末,证券价格可能出现,种情况,利用历史数据,如可取过去历史上,个交易日的收盘价。
每种情况下,假设证券si的价格Yj的取值为吖(J=1,2,J),投资期末的期望价格为E(Yi),投资组合的损失函数为:
,(r,y)=p1-o十N0f1(少)1一S州l设ri(i=1,州)为每种风险资产的单位交易成本,且假定其是线性的,则风险资产的总交易成本为一!
一tip川ziz?
f。
鉴于考虑到税收的影响,我们要考虑的是税后的收益,设边际资本收入税率为t。
边际基本收人税率为t。
,无风险收益率rf,则整个投资期的收益率函数为:
R(z)=(E(yi)二i一p?
)(1i一1i,ltg)+Sn+lrs(1一to)一ciPiz,一z?
i=I综上所述,我们的投资组合优化模型为:
=fi声il,一lJa+q巧J=l巧f(x,)一口巧0J=1,-i为正整数i=1,川+1P一,6iu,i=1,77万方数据98运筹与管理2004年第13卷第一个约束条件为资金约束。
第二个为风险约束,m为风险水平。
最后一个约束条件中,bi(i=1,”)代表一个比例,即投资在每种风险资产上的投资金额不超过总的投资金额的一个百分比。
卢为置信水平,q=(1一p)J)。
这是一个整数规划问题,假设此优化问题得到最优解(z+,a),则z。
即为最优的投资组合,VaR=a。
,最大的期望收益率为R(_”)。
2实证分析上面,我们建立了一种最优投资组合模型。
在这一节中,我们任意选取上海证券市场中10只股票作为风险资产,即,l=10,而将活期储蓄作为无风险资产;假定投资者在投资期初持有1000000现金;取200111152003228各个股票的日收盘价作为原始数据,J=300;投资期为20032112003228;bi=02(i=l,10);(i=03(i=1,10);r,=000024;tr=0002;to=02;卢=095,风险水平山=01,这意味着在5的概率下,允许10的损失。
利用lindo软件进行运算,得到结果见下表:
活期600854600718600015600776600098600001600886600058600727600868储萧投资期初价格(元手)8411489506108511245368981370884398投资期术期望价格(元f-)87l1527523IIl911525499561362910408投资单位数(于)1830304142OO17】O174OO该投资组合的实际收益率为7956,求得的a=0003312,而忽略交易费用、税收时的收益率为7995;其中对无风险证券活期储蓄的投资为0,原因是我们设定能承受的风险水平为01,因为能承受较大的风险,所以投资者就会把资金投资到风险证券上,而对收益率很低的活期储蓄不予考虑。
从实证分析中可以看出,为了减少风险,我们应该在多种资产上进行投资。
这是我们在满足模型约束条件的情况下做出的最优投资组合,也说明此优化算法是有效的。
3进一步的思考上述模型是将CVaR作为风险约束条件的一种构建投资组合方法,当然还可以调整约束条件建立不同的模型,也可以考虑如下模型:
fminEJ(7C,Y)l_,义协(z)唧
(1)m(z)唧7I6,(z)c,其中,C,是在不同置信水平p,y下的常数,即以CVaR度量作为风险约束条件。
最后的两个约束条件可以替换成咋(,27,a】)唧,咋(z,口2)C,。
如果对于某个a,口2约束条件满足,则成立:
minFp(_,a1)=口(z),minFy(z,a2)=y(z)。
进一步有,如果约束条件中等号成立(假定第一个约束条件等号成立)的话,则有(z。
,a1*)=cp,则af=卢一VaR。
fmaxER(z)tC-Xj。
盯1J(七,a)d2【l-=1
(2)ER(z)为期望收益率,盯1,盯2为常数,卢为鼍信水平。
这是CVaR约束下的均值方差投资决策模型,它在金融机构原来的均值方差模耍!
基础上,加入了CVaR约束,保证了与金融机构现有的投资组合方法在技术上的一致性,也可以求得它的有效前沿和最优解。
万方数据第1期4总结陈剑利,等:
CVaR风险度量模型在投资组合中的运用99本文将C讹R风险度量模型用在了构造投资组合上,即用CVaR来度量证券的风险,针对中国证券市场的实际情况,考虑了证券的交易费用、实际收益率、最小交易单位、不允许买空卖空、以及投资期初就持有风险资产的情形,构造了投资组合模型,完善了投资组合的内涵。
并且运用股票历史数据进行了模拟,对模型做了实证分析,分析了结果,显示了基于线性规划的优化算法还是十分有效的。
还考虑了其他的投资组合模型,显示了CVaR,VaR作为风险度量工具在投资组合方面的运用。
但方法也有一些不足,如文中对未来价格的模拟是基于历史数据的,投资组合将来的表现要看证券价格的统计特征能否在很近的将来维持一段时间,如果价格的未来分布与历史分布差别过大,测算结果就会很不准,这有待在以后的研究工作中加以改进。
确定一个有效的资产组合是一个非常复杂的决策过程,因此,在实际操作中,投资者要综合考虑到通货膨胀、市场操纵、投机等多种因素对已做出的投资组合方案进行调整,才能得到最优的资产组合方案。
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陈剑利,李胜宏作者单位:
浙江大学,数学系,浙江,杭州,310027刊名:
运筹与管理英文刊名:
OPERATIONSRESEARCHANDMANAGEMENTSCIENCE年,卷(期):
2004,13
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