高考数学压轴题的研究与讲解【周老师辅导资料】.pdf
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1引21引1.1如何研究压轴题情感不畏难,不贪多价值观基本功与技巧,题多解,见多识法论解答(答案)解析(分析)解法(总结)解释(纳)1.2如何讲解压轴题三个适合适合的学(避免窍不通),适量的题(有共性,有变化,融会贯通),适度的讲解(讲关键,练实操,触类旁通)四个要素量:
耐计算,分类讨论能;敏捷:
快速试探,精准打击能;智:
知识储备,模块重组能;运:
强不息,相信天道佑勤已知定义在R上的函数f(x)=2xb2x+1+a是奇函数,则a=,b=引例1引例1般解法:
f(0)=0,f
(1)+f
(1)=0;量型训练xR,f(x)+f(x)=0;敏捷型训练limx+f(x)+limxf(x)=0已知ABC中,#BD=13#BC,#AE=12#AC,AD与BE交于点P,且#AP=#AD,则=引例2引例2量型训练设#BP=#BE,有#AP=23#AB+13#AC,#AP=
(1)#AB+13#AC,解得=34,=12.敏捷型训练如左图,过D作DFBE交AC于F,则EF=13EC=13AE,于是=341引3BCADEFPBCADEPB
(2)C
(1)A
(1)D(3)E
(2)P知识型训练如中图,由梅涅劳斯定理,有APPDDBBCCEEA=1,于是APPD=BCDBEACE=3.实战优化:
如右图,在A,B,C上标注a,b,c,使得EC:
EA=a:
c,DC:
DB=b:
c,则APPD=b+ccca=b+ca.这就相当于在D点位置填b+c,即可“杠杆原理”解题证明:
1131132113n12引例3引例3量型训练由于lnxx1,于是lnx11x,因此ln113n11113n=13n1,于是只需要证明131+1321+13n1ln2,LHS12+18+128+13433+13534+13n3n112+18+128+1541130考虑到归纳基础,需要a116;考虑递推证明,需要12+an113n+112+an+1,即anan+113n+112+an,因此取a1=16,进an=123n即可知识型训练直接利伯努利不等式,有LHS113+132+13n113113=12.更进步(Pentagonalnumbertheorem):
(1x)(1x2)(1x3)=1xx2+x5+x7x12x15+x22+x26=k=1
(1)k(1x2k+1)xk(3k+1)/2.我们知道,平上到两个定点的距离之为定值(0且=1)的点的轨迹是圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆当两个定点A和A已知时,可以先在直线AA上找到两点M,N,使得MAMA=NANA=,然后作以MN为直径的圆,即得对应的阿波罗尼斯圆引例4引例4反过来,如果已知其中个定点A,以及动点P对应的阿波罗尼斯圆,也可以确定另个定点A的位置,如图AANOMP设阿波罗尼斯圆的圆为O,半径为r,OA=d,OA=d,则有drrd=d+rr+d=,其中=PAPA容易解得=dr=rd,1引5也就是说r是d和d的等中项,且公为上述结论形式优美,容易记忆,在很多时候可以便的解决问题例1已知P点在边长为2的正形ABCD的内切圆上运动,则AP+2BP的最值是解尝试应阿波罗尼斯圆处理系数连接对线AC,设其中点为O,则可知在此问题中r=1,d=2,于是d=22,且=2ABCDOPA因此AP+2BP=2(AP+BP)2AB,在OAB中应勾股定理可得AB=OA2+OB2=52,因此所求的最值为5例2已知P在边长为2的正ABC的内切圆上运动,则AP+2PB的最值是解与例1类似,r=33,d=233,于是d=36,且=2ABCOAP因此AP+2PB=2(AP+BP)2AB,在OAB中应余弦定理可得AB=OA2+OB2+OAOB=72,因此所求的最值为71引6作为练习,下的已知条件命题:
已知点P在圆O:
x2+y2=4上运动,A(4,0),B(4,4),求的最值OPABxy4答案是PA+2PB或22PA+PB2函数72函数2.1含参次函数的讨论例题2.1已知函数f(x)=1,x1,x,1x1,1,x1,函数g(x)=ax2x+1若函数y=f(x)g(x)恰好有2个不同零点,则实数a的取值范围是解(,0)(0,1),参见每题299分离参数根据题意,程f(x)=ax2x+1有两根,即ax2x+1=1,x1,x,1x1,1,x1,有两根,注意到x=0不是程的根,于是问题即程a=1x2x2,x1,2x1x2,1x0或0x1,1x,x1有两根作换元t=1x,则上述程右边g(t)=t2t2,1t0,2tt2,t1,t,00时,x1+x20;a0,y1+y20时,则x的取值范围是;
(2)集合An中有个元素解10,10.1);12n212n+2,考虑函数g(x)=xx,即g(x)=kx(xk,k+1)11224n(n1)nn2n1(n1)2Oxy第层次,基本初等函数的图象:
特征点,渐近线,单调性;第层次,简单初等函数的图象:
正例函数,反例函数,次函数,次函数,绝对值函数,多绝对值函数,对勾函数,次分式函数;第三层次,图象变换:
平移,伸缩,对称,翻折,旋转;第四层次,知识储备:
y=1f(x),y=f(x),y=sinxf(x)应该掌握的函数图象应该掌握的函数图象2函数12例题2.5已知f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,且当x0,1时,f(x)=x+1,则程f2(x)+f(x)=x的解的个数是解4个,函数的图象本质就是程的曲线根据函数f(x)的奇偶性与周期性,作图如下Oxyy=f(x)y2+y=x2162注意到抛物线y2+y=x以14,12为顶点,以y=12为对称轴,且经过点(0,0),(2,1),(6,2),因此抛物线y2+y=x与函数y=f(x)的图象共有4个交点,所求的根的个数为4例题2.6(2013年新课标I卷第16题改)已知f(x)=(x2+x)(x2+ax+b)满对切实数x,均有f(x)=f(2x),则函数f(x)的最值为分析多项式函数为偶函数,则不含奇次项解根据题意,函数y=f(x+1)是偶函数,f(x+1)=(x+1)2+(x+1)(x+1)2+a(x+1)+b=(x2+2+3x)g(x),其中g(x)是个次项系数为1的次多项式不难得知,g(x)=x2+23x,因此f(x+1)=(x2+2)2(3x)2=x45x2+494,当x2=52时取得等号因此函数f(x)的最值,即函数f(x+1)的最值,为942函数13例题2.7函数f(x)=2x|log0.5x|1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解B,数形结合需谨慎对于函数f(x)=|logax|ax的零点个数,分界点为ee当0a0,函数g(x)=|f(x)|,求证:
g(x)在区间0,2上的最值不于14.分析第(3)小题在第
(2)小题的基础上可以画出极端情形:
3不等式16Oxyy=14y=1412322在此基础上利用函数f(x)在x=0,12,32,2处的函数值结合反证法证明结论即可解(3)反证法假设g(x)在区间0,2上的最值于14考虑f(0)=1b,f
(2)=12ab,f32=1832ab,f12=1812ab,我们有22a=f
(2)f(0),a14=f12f32,所以2f122f32+f
(2)f(0)=32,但是?
2f122f32+f
(2)f(0)?
2?
f12?
+2?
f32?
+|f
(2)|+|f(0)|0)有四个不同的“近零点”,则a的最值为解14注意从区间长度出发,补充“和差积商”版的韦达定理Oxy01233不等式17对于程ax2+bx+c=0(a=0)的两个根x1,x2,有x1+x2=ba,|x1x2|=|a|,x1x2=ca,b2=x1x2+x2x1+2ac.“和差积商”版的韦达定理“和差积商”版的韦达定理例题3.7已知整系数次程ax2+bx+c=0的两个不同实根均在区间(1,2)上,求正整数a的最值解5,根表f
(1)f
(2),利f
(1),f
(2)1和均值不等式得到a216例题3.8(每题297)已知函数f(x)=?
x2a?
,其中a0若恰好有两组解(m,n)使得f(x)在定义域m,n上的值域也为m,n,求实数a的取值范围解34,2按m,n,a的关系讨论3.3“形”“元”“次”例题3.9(每题408)若正实数x,y满(2xy1)2=(5y+2)(y2),则x+12y的最值为解3221联想平差公式,有2x1y2=3+2+2y322y,换元即得换元为整体代换,的是省纸;换元为代数变形收效是结构换元法换元法3不等式18例题3.10(每题422)设Sn是各项均为零实数的等差数列an的前n项和,若对于给定的正整数n(n1)和正数M,数列an满a21+a2n+1=M,则Sn的最值为解n2+12M注意选a1,an+1为等差数列的“基底”,它表其他的各种量设a1+an=a1+an+1,则2a1+(n1)d=(+)a1+(n)d,因此解得=n+1n,=n1n,因此Sn=n(a1+an)2=(n+1)a1+(n1)an+12(n+1)2+(n1)2a21+a2n+12=(n2+1)M2,所以Sn的最值为(n2+1)M2例题3.11(每题467)已知a,b0,1,求S(a,b)=a1+b+b1+a+(1a)(1b)的最值分析元对称代数式都可以用a+b和ab表示,然后可以尝试放缩换元解55112先进代数变形,有S(a,b)=a(1+a)+b(1+b)+(1a2)(1b2)(1+a)(1+b)=1aba2b2ab+a+b+11ab(1ab)ab+2ab+1=1ab(1ab)1+ab,当a=b时取到等号3不等式19令x=ab,则x0,1,有ab(1ab)1+ab=x2x31+x,记右侧为函数f(x),则f(x)的导函数f(x)=2x(x2+x1)(1+x)2,于是当x=512时,函数f(x)取得最值f512=55112,因此原代数式S(a,b)的最值为13552,当a=b=512时取到例题3.12已知a+b+c=1,a,b,c0,求(ca)(cb)的取值范围解18,14向量204向量4.1等系数和线例题4.1(每题426)在扇形AOB中,OA=OB=1,AOB=3,C为弧AB(不包含端点)上的点,且#OC=x#OA+y#OB
(1)求x+y的取值范围;
(2)若t=x+y存在最值,求的取值范围解
(1)1,233;
(2)12,2,控制“等系数和”线的向OBACNMOBACMN例题4.2(每题466)已知O为锐ABC的外,A=3,且#OA=x#OB+y#OC,求2xy的取值范围解(2,1)例题4.3(每题194)已知圆O:
x2+y2=1为ABC的外接圆,且tanA=2,若#AO=x#AB+y#AC,则x+y的最值为解5544.2运动的转化和分解例题4.4(每题108)在ABC和AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6,CA=33,若#AB#AE+#AC#AF=2,则#EF与#BC夹的余弦值为解23,统起点为B4向量21例题4.5(每题456)如图,圆O的半径为1,OA=12设B,C是圆O上任意两点,则#AC#BC的取值范围是OACB解18,3,统起点为C固定#CBOACBPHMQ如图,设A,O在CB上的投影分别为H,M,以O为圆,12为半径的圆在CB上的投影为线段PQ,则#CA#CB=#CH#CB=#CM+#MH#CB=12CB2+#MH#CB.考虑到H在线段PQ上,于是#CA#CB的最值为12CB2+12CB,最值为12CB212CB接下来放开#CB,有0CB2,于是#CA#CB的最值为3,最值为18另法统起点为O,则#AC#BC=#OC#OA#OC#OB=OC2#OA#OC+#OA#OB#OC#OB=OC2+12#OA+#OB#OC2OA2OB2OC2=12#OA+#OB#OC218,考虑到#OB#OC可以表长度从0到2的任意向量,因此#OA+#OB#OC的长度取值范围是0,52,所求的取值范围是18,3拓展已知A,B,C是单位球上三点,求#AB#AC的取值范围(12,4)4向量22例题4.6(每题435)已知ABC满A=3,#AB+#AC#BC=0,点M在ABC外,且MB=2MC=2,则MA的取值范围是解1,3易知ABC为正三形,接下来有两条风格迥异的思路可以解决问题静态观察如图,设MA=x,AB=BC=CA=t,那么由左右两图分别应托勒密定理可得tx3t,2ttx+t,于是1x3平上四边形的四边与对线满关系:
对线的乘积不超过两组对边分别相乘所得乘积之和,当且仅当四边形的四个顶点共圆时两者相等托勒密定理托勒密定理ABCM21xABCM21xABCM1M2由于两侧等号均能取得(如图),又根据图形连续变化,因此MA的取值范围是1,3动态探索如图,先固定B,M,使得BM=2,然后让C在半径为1圆M上运动,观察A点的轨迹(暂时忽略M在ABC外的条件)BMCNA由平何知识容易得到A的轨迹是圆M绕点B旋转60后得到的圆N,据此容易求得MA的取值范围是1,3(注意取得最值时M均在ABC外部)4向量234.3极化恒等式例题4.7(每题131)正体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的条弦(我们把球上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正体表上的动点,当弦MN的长度最时,#PM#PN的取值范围是ABCDA1B1C1D1POMN解0,2应极化恒等式,有#PM#PN=OD2OM2=OD21极化恒等式4#a#b=(#a+#b)2(#a#b)2可以起到将不便计算的数量积变成好计算的线段长度的作在实际应中,往往#a+#b或#a#b的长度是固定的,这就相当于将动点进了转化极化恒等式极化恒等式例题4.8
(1)正形ABCD中,AB=1,A,D分别在x,y轴的正半轴(含原点)上滑动,则#OC#OB的最值是
(2)已知正形ABCD的边长为2,点E为AB的中点以A为圆,AE为半径,作弧交AD于点F若P为劣弧EF上的动点,则#PC#PD的最值为解
(1)2
(2)5向量问题中极化恒等式可以起到转化运动的作,与之有类似功能的还有另外个常结论已知矩形ABCD和其所在平内点P,则PA2+PC2=PB2+PD2.矩形的性质矩形的性质4向量24例题4.9已知ABC中,AB=2AC=4,点P满#AP=x#AC+y#AB,x+2y=1(x,y0),且?
#AP?
的最值为3,则#PA#PB+#PC的最值为解取AB中点D,则#AP=x#AC+2y#AD,因此P在线段CD上,进可得ACD为正三形,如图CBADCBADECBADMNP接下来计算#PA#PB+#PC,有以下三种算法坐标法设P(m,m),B(23,0),A(0,2),C(0,0),其中m0,1,则#PA#PB+#PC=8m210m258,等号当m=58时取得,于是所求最值为258基底法根据题意有#PA#PB+#PC=#CA#CP#CA2#CP=#CE#CP+2CP2=28cos(30)CP+2CP2,其中#CE=2#CA+#CB,为BCE,易求得cos(30)=528,于是所求最值为258极化恒等式取BC的中点M,AM的中点N,则#PA#PB+#PC=2#PA#PM=2(PN2AN2),AN=72,PN的最值为34,因此所求的最值为258在有直的图形中,坐标法往往可以起到简化计算的作思考与总结思考与总结5导数255导数5.1端点分析1.函数值可以直接计算出来的,称为第I类端点分析;2.函数值涉及到极限的,称为第II类端点分析;3.对函数的零点进导数分析的,称为第III类端点分析第I类端点分析可以直接在卷书写;第II类和第III类端点分析建议利分界点讨论,其中第II类分界点的说明往往需要到局部放缩,尤其是需要注意对lnx的些放缩技巧(常不等式以及换元);第III类端点分析通常利导数零点构造反例说明例题5.1已知ax24ln(x1)0,f(e+1)=5a(e+1)20,于是a14函数f(x)的导函数f(x)=4x12ax=2x1(ax2+ax+2),令g(x)=ax2+ax+2情形a0,对称轴x=12,因此在区间2,e+1上g(x)0,于是函数f(x)单调递增,符合题意;情形a=0此时g(x)=2,因此函数f(x)单调递增,符合题意;情形三0a14此时函数f(x)或者单调递增,或者先单调递增,后单调递减,符合题意综上所述,a的取值范围是,14例题5.2已知不等式2xlnx1恒成,求k的取值范围5导数26分析令f(x)=ax1xlnx,其中a=1k2,则f
(1)=0,当x+时,可得a0进f(x)的导函数f(x)=ax2x+ax2,令g(x)=ax2x+a,则g
(1)=2a1,从可得分界点0,12解令f(x)=ax1xlnx,其中a=1k2,则f(x)的导函数f(x)=ax2x+ax2,令g(x)=ax2x+a情形a0此时f(x)lnx0不符合题意情形0a12此时在区间1,1+14a22a上有g(x)0,因此f(x)单调递减,结合f
(1)=0,不符合题意情形三a12此时g(x)的判别式=14a20,f(x)单调递增,结合f
(1)=0,符合题意1综上所述,a的取值范围是12,+,于是k的取值范围是(,0拓展已知函数f(x)=ln1+x1x,设对任意x(0,1),f(x)kx+13x3,求k的最值
(2)例题5.3(2015年东卷理科压轴题)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2x),其中aR
(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;
(2)若x0,f(x)0成,求a的取值范围分析从端点x=0来看,f(0)=0;从端点x=+看,a0;进步,f(x)的导函数f(x)=1x+1a(2x1),有f(0)=1a0,于是1这样就得到了分界点0,1解
(1)a89时,2个;
(2)0,11也可以将f(x)放缩为12(x1x)lnx证明5导数27例题5.4(2015年福建卷理科压轴题)已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=kx,kR
(1)证明:
当x0时,f(x)x;
(2)证明:
当k0,使得对任意x(0,x0),恒有f(x)g(x);(3)确定k的所有可能取值,使得存在t0,对任意x(0,t),恒有|f(x)g(x)|x2解(3)k=1例题5.5(2016年全国I卷理科压轴题)已知函数f(x)=(x2)ex+a(x1)2有两个零点
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:
x1+x20时,函数f(x)有两个零点,所求取值范围是(0,+)如果需要刻意避开极限,可以进如下论证当a0时,由于在(,1)上,g(x)0,因此在此区间上不存在x使得g(x)=a,在(1,+)上,函数g(x)单调递减,不可能存在两个零点;当a0时,取x1=min1+1a,32,则g(x1)1(x11)2a,g
(2)=0a,结合g(x)在(1,+)上单调递减,可以断定在区间(x1,2)上必然有个零点;5导数28另,取x2=max12a,0,则g(x2)2(x21)2a,取x3=2a,则g(x3)2x3x232x23=a,结合g(x)在(,1)上单调递增,可以断定在区间(x3,x2)上必然有个零点;综上所述,a的取值范围是(0,+)5.2lnx的应对策略例题5.6已知函数f(x)=xlnx,若f(x)ax2+2a(a=0)在(0,+)上恒成,求a的最值解设g(x)=lnxax2ax考虑到问题为求a的最值,因此先讨论a0,lnt+t+2tln(a),易求得左侧函数的最值为3,于是ln(a)3,从ae3,a的最值为e3例题5.7(2011年新课标II卷理科压轴题)若不等式lnxx+1+1xlnxx1+kx在x0且x=1时恒成,求k的取值范围解先处理不等式,原不等式等价于lnxx+1+1xlnxx1+kx0,整理得2x21lnx+1kx0,提因式,有1x212lnx+(k1)x1x0.设f(x)=2lnx+(k1)x1x,5导数29则题中不等式等价于x(0,1),f(x)0,x(1,+),f(x)0且x=1,(k1)x2+2x+k10,分离参数解得k的取值范围为(,0在研究有关对数函数的不等式时,先设法将与lnx相乘的因式去掉(有时需要付出分类讨论的代价),这样往往能够使得问题得到简化aa对ex来说,原则为“有事冲我来”例如,证明:
当x0时,ex1+x+12x2“清君侧,靖国难”“清君侧,靖国难”例题5.8(2015年四川卷理科压轴题)已知函数f(x)=2(x+a)lnx+x22ax2a2+a,其中a0
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;
(2)证明:
存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+)内恒成,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯解分析在这个问题中,当极值点x0法用参数a表示时,我们会用x0表示a,然后得到关于x0的程,通过估计x0的范围反过来估计a的范围在这个思路的引导下,量型证明充分的展示了对思路信仰以及强的计算能如果注意到联立程组,通过代数变形可以简化a与x0的关系,非简单粗暴的代消元,那么就展现了简化问题进精准打击的能最后,如果有处理对数函数的知识储备,那么就可以考虑利用“清君侧”转化原来的复杂函数,通过次求导得到极值点,然后利用与主思路致的式解决问题同时,由于转化后的函数与原来的函数的零点致,因此又可以引导出敏捷型解法解
(1)根据已知,有g(x)=f(x)=2lnx+2x22ax2a,5导数30于是g(x)=2x2(x2x+a),因此当0a0,于是在(1,+)上g(x)单调递增又g
(1)=4a0,于是f(x)在(1,+)上先单调递减,再单调递增,有极值点设f(x)的极值点为x=x0,则lnx0+x01a1x0+1=0,2(x0+a)lnx0+x202ax02a2+a=0,我们的标是证明这个元程组有实数解,且少有组解满限制条件x01且0a0,且(e)=(e2)ee1+12e2(e1+1)20,因此必然存在x0(1,e),使得(x0)=0此时a=lnx0+x01x10+1,记该程右边为(x0),则(x0)=x20+x02lnx0(1+x0)2,当x0(1,e)时,函数(x0)单调递增,于是0ae2e1+10解在lnxx1中,令x=ta2即可得a
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