当-a0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=⇒a=-.
综上可知:
a=-.
5.(最值直接应用)已知函数,其中.
(Ⅰ)若是的极值点,求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若在上的最大值是,求的取值范围.
解:
(Ⅰ).
依题意,令,解得.经检验,时,符合题意.
(Ⅱ)解:
①当时,.
故的单调增区间是;单调减区间是.
②当时,令,得,或.
当时,与的情况如下:
↘
↗
↘
所以,的单调增区间是;单调减区间是和.
当时,的单调减区间是.
当时,,与的情况如下:
↘
↗
↘
所以,的单调增区间是;单调减区间是和.
③当时,的单调增区间是;单调减区间是.
综上,当时,的增区间是,减区间是;
当时,的增区间是,减区间是和;
当时,的减区间是;
当时,的增区间是;减区间是和.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知时,在上单调递增,由,知不合题意.
当时,在的最大值是,
由,知不合题意.
当时,在单调递减,
可得在上的最大值是,符合题意.
所以,在上的最大值是时,的取值范围是.
6.(2010北京理数18)
已知函数=ln(1+)-+(≥0).
(Ⅰ)当=2时,求曲线=在点(1,
(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间.
解:
(I)当时,,
由于,,
所以曲线在点处的切线方程为
即
(II),.
当时,.
所以,在区间上,;在区间上,.
故得单调递增区间是,单调递减区间是.
当时,由,得,
所以,在区间和上,;在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是.
当时,故得单调递增区间是.
当时,,得,.
所以没在区间和上,;在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是
7.(2010山东文21,单调性)
已知函数
⑴当时,求曲线在点处的切线方程;
⑵当时,讨论的单调性.
解:
⑴
⑵因为,
所以,,
令
8.(是一道设计巧妙的好题,同时用到e底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密)
已知函数
⑴若函数φ(x)=f(x)-,求函数φ(x)的单调区间;
⑵设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0,f(x0))处的切线,证明:
在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.
解:
(Ⅰ),.
∵且,∴∴函数的单调递增区间为.
(Ⅱ)∵,∴,
∴切线的方程为,即,①
设直线与曲线相切于点,
∵,∴,∴,∴.
∴直线也为,即,②
由①②得,∴.
下证:
在区间(1,+)上存在且唯一.
由(Ⅰ)可知,在区间上递增.
又,,
结合零点存在性定理,说明方程必在区间上有唯一的根,这个根就是所求的唯一,故结论成立.
9.(最值应用,转换变量)
设函数.
(1)讨论函数在定义域内的单调性;
(2)当时,任意,恒成立,求实数的取值范围.
解:
⑴.
当时,,增区间为,减区间为,.
当时,,减区间为.
当时,,增区间为,减区间为,.
⑵由⑴知,当时,在上单调递减,
∴,≤,
即≤.
∵恒成立,
∴>,即,
又,∴.
∵,∴,∴≤.
10.(最值应用)
已知二次函数对都满足且,设函数(,).
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)若,使成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设,,求证:
对于,恒有.
解:
(Ⅰ)设,于是
所以
又,则.所以.…………3分
(Ⅱ)
当m>0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;…………4分
当m=0时,对,恒成立;…………5分
当m<0时,由,列表:
x
-
0
+
减
极小
增
所以若,恒成立,则实数m的取值范围是.
故使成立,实数m的取值范围.…………9分
(Ⅲ)因为对,所以在内单调递减.
于是
记,则
所以函数在是单调增函数,
所以,故命题成立.…………12分
11.设是函数的一个极值点.
(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(2)设,若存在,使得成立,求的取值范围.
解:
(1)∵
∴由题意得:
,即,
∴且
令得,
∵是函数的一个极值点
∴,即
故与的关系式为.
当时,,由得单增区间为:
;
由得单减区间为:
和;
当时,,由得单增区间为:
;
由得单减区间为:
和;
(2)由
(1)知:
当时,,在上单调递增,在上单调递减,,
∴在上的值域为.
易知在上是增函数,
∴在上的值域为.
由于,
又∵要存在,使得成立,
∴必须且只须解得:
.
所以,的取值范围为.
12..
(1)若,求函数的极值;
(2)若是函数的一个极值点,试求出关于的关系式(用表示),并确定的单调区间;
(3)在
(2)的条件下,设,函数.若存在使得成立,求的取值范围.
解:
(1)∵
当时,,则.
令得,∵,∴,解得
∵当时,,
当时,当时
∴当时,函数有极大值,,
当时,函数有极小值,.
(2)由
(1)知
∵是函数的一个极值点∴
即,解得
则=
令,得或
∵是极值点,∴,即.
当即时,由得或
由得
当即时,由得或
由得.
综上可知:
当时,单调递增区间为和,递减区间为
当时,单调递增区间为和,递减区间为。
(3)由2)知:
当a>0时,在区间(0,1)上的单调递减,
在区间(1,4)上单调递增,
∴函数在区间上的最小值为
又∵,,
∴函数在区间[0,4]上的值域是,即]
又在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是.
∵-==,
∴存在使得成立只须
-<1..
13.(2010山东,两边分求,最小值与最大值)
已知函数.
⑴当时,讨论的单调性;
⑵设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.
解:
本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
(1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;
(2)利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数.
⑴,
令
①当时,,当,函数单调递减;当,函数单调递增.
②当时,由,即,解得.
当时,恒成立,此时,函数单调递减;
当时,,时,函数单调递减;
时,,函数单调递增;
时,,函数单调递减.
当时,当,函数单调递减;
当,函数单调递增.
综上所述:
当时,函数在单调递减,单调递增;
当时,恒成立,此时,函数在单调递减;
当时,函数在递减,递增,递减.
⑵当时,在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意,
有,
又已知存在,使,所以,,(※)
又
当时,与(※)矛盾;
当时,也与(※)矛盾;
当时,.
综上,实数的取值范围是.
14.设函数.
(Ⅰ)当时,过原点的直线与函数的图象相切于点P,求点P的坐标;
(Ⅱ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅲ)当时,设函数,若对于],[0,1]
使≥成立,求实数b的取值范围.(是自然对数的底,)
解:
函数的定义域为,
(Ⅰ)设点,当时,,则,,∴
解得,故点P的坐标为
(Ⅱ)
∵∴
∴当,或时,当时,
故当时,函数的单调递增区间为;
单调递减区间为,
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)可知函数在上是减函数,在上为增函数,在上为减函数,且,
∵,又,∴,
∴,故函数在上的最小值为
若对于,使 ≥成立在上的最小值不大于
在上的最小值(*)
又,
①当时,在上为增函数,与(*)矛盾
②当时,,
由及得,
③当时,在上为减函数,
,此时 综上,的取值范围是
15.(2010山东,两边分求,最小值与最大值)
已知函数.
⑴求在上的最小值;
⑵若存在(是常数,=2.71828)使不等式成立,求实数的取值范围;
⑶证明对一切都有成立.
解:
⑴,
⑵由题意知
,
而,故
(Ⅲ) 等价证明
由⑴知
.
16.(最值应用)
设函数,且,其中是自然对数的底数.
⑴求与的关系;
⑵若在其定义域内为单调函数,求的取值范围;
⑶设,若在上至少存在一点,使得>成立,求实数的取值范围.
解:
(1)由题意得
而,所以、的关系为.
(2)由
(1)知,
.令,
要使在其定义域内单调,只需恒成立.
①当时,,因为>,所以<0,<0,
∴在内是单调递减函数,即适合题意;
②当>0时,,∴,
只需,即,
∴在内为单调递增函数,故适合题意.
③当<0时,,其图像为开口向下的抛物线,对称轴为,只要,即时,在恒成立,故<0适合题意.
综上所述,的取值范围为.
(3)∵在上是减函数,
∴时,;时,,即,
①当时,由
(2)知在上递减<2,不合题意;
②当0<<1时,由,
又由
(2)知当时,在上是增函数,
∴<,不合题意;
③当时,由
(2)知在上是增函数,<2,又在上是减函数,故只需>,,而,,即>2,解得>,
综上,的取值范围是.
17.(2011湖南文,第2问难,单调性与极值,好题)
设函数
⑴讨论函数的单调性;
⑵若有两个极值点,记过点的直线斜率为,问:
是否存在,使得?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
解:
⑴的定义域为
令
①当故上单调递增.
②当的两根都小于0,在上,,故上单调递增.
③当的两根为,
当时,;当时,;当时,,故分别在上单调递增,在上单调递减.
⑵由⑴知,若有两个极值点,则只能是情况③,故.
因为,
所以
又由⑴知,,于是
若存在,使得则.即.
亦即
再由⑴知,函数在上单调递增,而,所以这与式矛盾.故不存在,使得
18.(构造函数,好,较难)
已知函数.
⑴求函数的单调增区间;
⑵记函数的图象为曲线,设点是曲线上两个不同点,如果曲线上存在点,使得:
①;②曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”.试问:
函数是否存在中值相依切线,请说明理由.
解:
(Ⅰ)函数的定义域是.
由已知得,.
ⅰ当时,令,解得;函数在上单调递增
ⅱ当时,
①当时,即时,令,解得或;
函数在和上单调递增
②当时,即时,显然,函数在上单调递增;
③当时,即时,令,解得或
函数在和上单调递增.
综上所述:
⑴当时,函数在上单调递增
⑵当时,函数在和上单调递增
⑶当时,函数在上单调递增;
⑷当时,函数在和上单调递增.
(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.
设,是曲线上的不同两点,且,
则,.
.
曲线在点处的切线斜率,
依题意得:
.
化简可得,即=.
设(),上式化为:
令,.
因为,显然,所以在上递增,显然有恒成立.
所以在内不存在,使得成立.
综上所述,假设不成立.所以,函数不存在“中值相依切线”
19.(2011天津理19,综合应用)
已知,函数,.(的图象连续)
⑴求的单调区间;
⑵若存在属于区间的,且,使,证明:
.
解:
⑴,.令,则.
当变化时,,的变化情况如下表:
单调递增
极大值
单调递减
所以的单调增区间是,单调减区间是.
⑵由及的单调性知.从而在区间上的最小值为.
又由,,则.
所以即
所以.
20.(恒成立,直接利用最值)
已知函数,
⑴若是函数的一个极值点,求;
⑵讨论函数的单调区间;
⑶若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.
解:
⑴,
因为是函数的一个极值点,所以,得.
又,所以.
⑵因为的定义域是,
.
①当时,列表
+
-
+
增
减
增
在,是增函数;在是减函数.
②当时,,在是增函数.
③当时,列表
+
-
+
增
减
增
在,是增函数;在是减函数.
⑶
21.(最值与图象特征应用)
设,函数为自然对数的底数).
⑴判断的单调性;
⑵若上恒成立,求a的取值范围.
解:
⑴∵
令
①当在R上为减函数.
②当
在R上为减函数.
③当时,由得
由得
上为增函数;
上为减函数.
⑵由⑴知
①当上为减函数.
②当
在[1,2]上不恒成立,∴a的取值范围是
22.(单调性)
已知=ln(x+2)-x2+bx+c
⑴若函数在点(1,y)处的切线与直线3x+7y+2=0垂直,且f(-1)=0,求函数在区间[0,3]上的最小值;
⑵若在区间[0,m]上单调,求b的取值范围.
解:
⑴,依题意令=,=0,解得b=4,c=5.
x
0
(0,)
(,3)
3
y′
+
0
-
y
ln2+5
极大
8+ln5
因为8+ln5>5+ln2∴x=0时在[0,3]上最小值=5+ln2.
⑵若在区间[0,m]上单调,有两种可能
①令≥0得b≥2x-,在[0,m]上恒成立
而y=2x-在[0,m]上单调递增,最大值为2m-,∴b≥2m-.
②令≤0得b≤2x-,
而y=2x-在[0,m]单增,最小为y=-,∴b≤-.
故b≥2m-或b≤-时在[0,m]上单调.
23.(单调性,用到二阶导数的技巧)
已知函数
⑴若,求的极大值;
⑵若在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k的取值范围.
解:
⑴定义域为
令由
由
即上单调递增,在上单调递减
时,F(x)取得极大值
⑵的定义域为(0,+∞),
由G(x)在定义域内单调递减知:
在(0,+∞)内恒成立
令,则由
∵当时为增函数
当时,为减函数
∴当x=e时,H(x)取最大值
故只需恒成立,
又当时,只有一点x=e使得不影响其单调性
二、交点与根的分布
24.(2008四川22,交点个数与根的分布)
已知是函数的一个极值点.
⑴求;
⑵求函数的单调区间;
⑶若直线与函数的图像有个交点,求的取值范围.
解:
⑴,
是函数的一个极值点.
,
⑵由⑴,
令,得,,和随的变化情况如下:
1
3
0
0
增
极大值
减
极小值
增
的增区间是,;减区间是(1,3).
⑶由②知,在上单调递增,在上单调递增,在上单调递减.
∴,.
又时,;时,;
可据此画出函数的草图(图略),由图可知,
当直线与函数的图像有3个交点时,的取值范围为.
25.已知函数在上是减函数,在上是增函数,函数在上有三个零点.
(1)求的值;
(2)若1是其中一个零点,求的取值范围;
(3)若,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?
请说明理由.
⑶=2x+lnx,设过点(2,5)与曲线g(x)的切线的切点坐标为
∴,即
∴,令h(x)=,∴==0,∴
∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,)上单调递增
又,h
(2)=ln2-1<0,
∴h(x)与x轴有两个交点,∴过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线.
26.(交点个数与根的分布)
已知函数
⑴求在区间上的最大值
⑵是否存在实数使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点?
若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。
解:
⑴
当即时,在上单调递增,
当即时,
当时,在上单调递减,
综上
⑵函数的图像与的图像有且只有三个不同的交点,即函数
的图像与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
当时,是增函数;
当时,是减函数;
当时,是增函数;
当或时,
当充分接近0时,当充分大时,
要使的图像与轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
即
∴存在实数,使得函数与的图像有且只有三个不同的交点,的取值范围为
27.(交点个数与根的分布)
已知函数
⑴求f(x)在[0,1]上的极值;
⑵若对任意成立,求实数a的取值范围;
⑶若关于x的方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
解:
⑴,
令(舍去)
单调递增;当递减.
上的极大值.
⑵由得
设,,
依题意知上恒成立,
,
,
上单增,要使不等式①成立,
当且仅当
⑶由
令,
当上递增;
上递减,
而,
恰有两个不同实根等价于
28.(2009宁夏,利用根的分布)
已知函数
⑴如,求的单调区间;
⑵若在单调增加,在单调减少,证明:
<6.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解:
⑴时,,故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当当
从而单调减少.
⑵
由条件得
从而
因为
所以
将右边展开,与左边比较系数得,故
又由此可得于是w.w
29.(2009天津文,利用根的分布讨论)
设函数,其中
⑴当时,求曲线在点处的切线的斜率
⑵求函数的单调区间与极值
⑶已知函数有三个互不相同的零点,且,若对任意的恒成立,求的取值范围.
解:
⑴当
所以曲线在点处的切线斜率为1.
⑵,令,得到
因为,
当x变化时,的变化情况如下表:
+
0
-
0
+
↓
极小值
↑
极大值
↓
在和内减函数,在内增函数。
函数在处取得极大值,且=
函数在处取得极小值,且=
⑶由题设
所以方程=0由两个相异的实根,故,且,解得
因为(难点)
若,而,不合题意;
若则对任意的有
则,又,所以函数在的最小值为0,于是对任意的,恒成立的充要条件是,解得,综上,m的取值范围是
30.(2007全国II理22,转换变量后为根的分布)
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:
.
解:
(1).在点处的切线方程为,
即.
(2)如果有一条切线过点,则存在,使.
若过点可作曲线的三条切线,
则方程 有三个相异的实数根.
记 ,则.
当变化时,变化情况如下表:
0
0
0
极大值
极小值
如果过可作曲线三条切线,
即有三个相异的实数根,则即 .
31.已知函数在点处的切线方程为.
⑴求函数的解析式;
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有,求实数的最小值;
⑶若过点可作曲线的三条切线,求