选择填空题中的立体几何最值问题.pdf
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2006年第5期中学数学教学21选择填空题中的立体几何最值问题广东省东莞高级中学刘心华(邮编:
523128)、1宁月二土丁土下.洲助十翅.去+十.1+肠二一解方.,广1下:
1今,:
月春!
、近几年来,高考数学试题的选择题和填空题中常出现立体几何的最值问题:
由于这类题题型灵活、形式多变,能较好地检测学生的思维和空间想象能力,因而正成为命题的热点.本文结合近几年的高考试题,对选择题和填空题中的立体几何最值问题进行分类探究.1与距离相关的最值(范围)问题例1(2006年江西)如下左图,在直棱柱ABC-A,B,C,中,底面为直角三角形,乙ACB=900AC=-6,BC=cc,=涯,P是BC,上一动点,则CP+尸八,的最小值为(2005年江西)如下左图,ABC-A,B,C,中,AB=BC二万,BB,在直三棱柱=2,LABC=,伽900,E,F分别为AA,C,B:
的中点到F两点的最短路径的长度为,沿棱柱的表面从EICC民祥目。
AIE通CFBB尸洲-2叭EAABC
(1)国山E滩解析:
将三棱柱侧面、底面展开有三种情形C爪_尸一1/Pi__*A,特一夕。
之少尸下/必A:
一D万.U,中,EF=A,EZ+AIF“一/,上13万、z_止1止I.皿VL/-:
在(1.)222在
(2)中,EF二,IEGZ+FGZ二(J)+(1+缪、乙j解析:
将BCC,沿BC,线展到面A,C,B上,如上右图,连结A,C,A,C即为CP尸A、最小值,过点C作C1土A,C,延长线于D点,ABCC,为等腰直角三角14+4万;在(3)中,EF=/FXv2+FGz=,3、z.,3、z1二犷】-rr-】、/、/3、二、。
,二。
二。
二-下产.,坦U注L七王x刀J石f口布-四乙形,.CD二C,D=1,A,D=A,C。
十C,D=7,.A,CA,Dz+CV=v-49千1三5在故填5涯,。
、,。
.二,。
七,;二。
精,二3万几几,七ti!
1义八lVI多,f.t.,ICdt月又人立1且/9-下尸.乙玲C阅-C*4C*4Ef到8州(洲令玲E踌E玲令踌令玲称玲守特令踌份踌令踌E李,.,.乙cos(B一2A)1,矛盾!
=1一sinAsinB二2+万4因此A-f-B-晋,且当A少B-,A=B=b二12当且仅当A=.B=共时等号成立.I乙时,cosAcosB取得最大值2+万4证明完毕,我又想cosAcosB的值其实受sinAsinB值的牵制.能不能将所求的。
osAcosB转化为已知的sinAsinB呢?
沿着这种思路,我将cosA.cosB进行转化,用均值不等式做了一种别解:
由于C为ABC中的最大角(0,要、,于是、一2)一,因此A,BE至此,我有一种莫名的兴奋感涌上心头,于是立即将这些思考告诉了王同学,他听了也十分惊喜!
我对上述思路的获得感到十分庆幸,因为如果没有王同学质疑的那一句话,也许我便不会对这道题进行这番思考,也就不会获得这种认识.教师若能在平时的教学中,多多引导学生质疑,引导学生用多种方法求解,这对培养学生思维的广阔性、深刻性、批判性等思维品质一定会大有裨益,对提高学生学习数学的兴趣和效果也会起到事半功倍的作用.cosAcosB=(1一sinA)(1一sinB)sinB.一(sinA+sinB)sinB一2sinAsinB(收稿日期:
2006-08-16)1+sinA1+sinA=镇万方数据22中学数学教学2006年第5期例3(2005年全国ll)将半径都为1的4个钢球完全装人形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为().cosa=22(,一寻cost0)一22(,一备cost0)万+2派3,、。
.2派n.宁一万-由000900,得一1cosa一一13c一一-cos口乙合,C.4+攀D4万+2派3解析:
将4个球的球心相连可形成边长为2的正四面体M,题目所求原正四面体的高为下底面上球的半A径,再加正四面体M的高和最上边小球球心到顶点间距离的和.易知正故晋“兀若直接运用极限思想,即当SAAO时,a,7t,当SA一十CIO时,a一粤不难得到粤。
rnblrri、口Jff)/,任气,-育-.J解析:
D,P与面ABB,A】所成的角为ZD,PA,,把平面D,CBA!
与平而AA,B展开摊平(如上右图)则当AP-I-D,尸取最小值时三点D,P,A共线。
所以乙D,PA:
今匕PA,A+匕A,AP=故选C.2仑叨4平+粤4石与角相关的最值(范围)问题异面直线u,b夹角为400,。
土a,则直线b,c夹角的范围是解析:
通过平移,让直线a,b,。
相交于点P,因a土。
a,b夹角为400,则直线b是在以“为轴的圆锥面上的母线,当直线b变动时易知直线b;。
夹角的取值范围是500,900.3与面积相关的最值(范围)问题例7(2006年浙江)正四面体ABCD的棱长为1,棱AB/平面a,则正四面体上所有点在平面。
内的射影构成的图形面积的取值范围是叭次全二、八_碑尹,川斗小例5正三棱锥S-ABC相邻两侧面所成的二面角为a,则a的取值范围是解析:
当CD/a时,OE上CD(O为AB面积取最大值.作DD土。
中点),连结OD,在RtLOED解析:
作BE土SA于E,连CE,则CE土SA,乙BEC=a,作so土面ABC于O.连AO并延长交BC于D.设LSAD一)(00B0),用“它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则“的取值范围是万方数据2006年第5期中学数学教学23解析:
底面面积为6a2,侧面积分别为6,8,10,拼成三棱柱时为上下接合.全面积为:
2X6a.十200+8十6);当拼成四棱柱时,显然两侧面面积最大者相接合,全面积最小为(8+6)X2+4X6a2,由题意,全面积最小的是四棱柱,:
.2X6a2+2X(10+8+6).(8+6)X2+4X6a2,解得。
/-3-/3,从而S抓孙12,故S的取值范围是(万八2,+00).例10(2005年重庆)有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是().SB压一sin艺ASHsin匕BSC,弘1-6又ABC:
为正三角形,AH上面SBC,:
.当匕ASH和乙BSC为直角时,VA-SBC最大,此时SA二SB=SC=“,V-,二“3/6.(A)4解析(13)5(C)6(D)7:
由题意,各层正方体的侧面积(从下而上)依次构成等比数列,且公比4二.总之,选择题和填空题中的立体几何最值(范围)问题是近年来数学命题的一个新的亮点,不论运用代1/2,故塔形几何体的表面积为:
2X22+422+(万)+12+数、几何,还是向量的方法来求解,学中重视对基础知识的理解与掌握与方法的理解与运用,(如等积变换都需要在平时的教,加强对数学思想+23-、射影公式、割补思=8+4想、立体问题平面化、向量方法等),并注意与其他数学知识的联系,提高识图能力,不断促进空间想象能力和思维能力的发展.,.n,n,d即232,n最小值为6.故选(C)(收稿日期:
2006-08-12)曰.卜i曰卜it-i卜i.卜弓.卜弓任弓卜弓卜弓.卜弓.卜i.卜弓啥弓洲洲洲洲,洲.2-1.曰洲洲洲,洲洲洲曰洲洲洲洲洲洲洲洲目曰洲洲洲主、iU11;1-全卉.幽.工户种刁.、TJr,:
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