1、2 0 0 6 年第5 期中学数学教学2 1选择填空题中的立体几何最值问题广东省东莞高级中学 刘心华(邮编:5 2 3 1 2 8)、1宁月二土丁土下.洲助十翅.去+十.1+肠二一解方.，广1下:1今，:月春!、近几年来，高考数学试题的选择题和填空题中常出现立体几何的最值问题:由于这类题题型灵活、形式多变，能较好地检测学生的思维和空间想象能力，因而正成为命题的热点.本文结合近几年的高考试题，对选择题和填空题中的 立体几何最值问题进行分类探 究.1 与距离相关的最值(范围)问题 例 1 (2 0 0 6 年江西)如下 左 图，在直 棱 柱A B C-A,B,C，中，底面为直角三角形，乙A C B
2、=9 0 0A C=-6,B C=cc,=涯,P 是B C，上一动点，则C P+尸 八，的最小值为(2 0 0 5 年江西)如下左图，A B C-A,B,C，中,A B=B C二万,B B,在 直 三棱 柱=2,LA B C=，伽9 0 0,E,F分别为A A,C,B:的中点到F两点的最短路径的长度为，沿棱柱的表面从 E ICC民祥目。AIE通CFBB 尸洲-2 叭EAA B C (1)国山E滩解析:将三棱柱侧面、底面展开有三种情形 C 爪 _ 尸 一 1/P i _ _*A,特一 夕。之 少 尸 下/必A:一D 万.U,中，E F=A,E Z+AI F“一/，上1 3 万、z _止 1 止I
3、.皿 V L /-:在(1.)2 2 2在(2)中，E F二,I E G Z+F G Z 二(J)+(1+缪、乙 j 解析:将 B C C,沿B C，线展到面A,C,B上，如上右图，连结A,C,A,C即为C P尸 A、最小值，过点C作C 1 土 A,C,延长线于 D点，A B C C，为等腰直角三角1 4+4 万;在(3)中，E F=/F X v 2+F G z=，3、z.，3、z1二 犷】-r r-】、/、/3、二、。，二。二。二-下 产.，坦 U 注 L 七 王 x 刀J 石f 口 布-四 乙形，.C D 二 C,D=1,A,D=A,C。十C,D=7,.A,CA,D z+C V=v-4 9
4、 千1 三 5 在 故填5 涯，。、，。.二，。七，;二。精，二3 万几几,七 ti!1 义 八 l VI多，f.t.,I C dt 月 又人 立1且/9-下尸.乙玲 C 阅-C *4C *4E f 到 8州(洲 令玲 E 踌 E 玲 令踌 令玲 称 玲 守特 令踌 份 踌 令踌 E 李，.，.乙c o s(B 一2 A)1，矛盾!=1一 s i n A s i n B 二2+万 4因 此 A-f-B-晋，且 当 A 少 B-,A=B=b二1 2当 且仅当A=.B=共时等号成立.I乙时，c o s A c o s B取得最大值2+万 4证明完毕，我又想 c o s A c o s B的值其实受
5、 s i n As i n B值的牵制.能不能将所求的。o s Ac o s B转化为已知的s i n As i n B呢?沿着这种思路，我将c o s A.c o s B进行转化，用均值不等式做了一种别解:由于 C为 A B C中的最大角(0,要、，于是、一 2)一，因此 A,B E 至此，我有一种莫名的兴奋感涌上心头，于是立即将这些思考告诉了王同学，他听了也十分惊喜!我对上述思路的获得感到十分庆幸，因为如果没有王同学质疑的那一句话，也许我便不会对这道题进行这番思考，也就不会获得这种认识.教师若能在平时的教学中，多多引导学生质疑，引导学生用多种方法求解，这对培养学生思维的广阔性、深刻性、批判
6、性等思维品质一定会大有裨益，对提高学生学习数学的兴趣和效果也会起到事半功倍的作用.c o s A c o s B=(1 一s i n A)(1 一s i n B)s i n B.一(s i n A+s i n B)s i n B一 2 s i n A s i n B(收稿 日期:2 0 0 6-0 8-1 6)1+s i n A1+s i n A=镇万方数据2 2中学数学教学2 0 0 6 年第5 期 例3 (2 0 0 5 年全国 ll)将半径都为1 的4 个钢球完全装人形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为().c os a=22(，一 寻 co st 0)一22(，一 备 c
7、o st 0)万+2 派 3，、。.2 派n.宁一 万-由0 0 0 9 0 0,得 一1 c o s a一 一 13 c一 一-c o s口 乙 合，C.4+攀D4 万+2 派 3 解析:将 4 个球的球心相连可形成边长为 2 的正四面体 M,题目所求原正四面体的高为下底面上球的半 A径，再加正四面体 M的高和最上边小球球心到顶点间距离的和.易知正故 晋“兀 若直接运用极限思想，即当 S A A O 时，a，7 t,当S A一十C IO时，a 一粤不难得到粤。r n bl r r i 、口 J f f)/，任气，-育-.J 解析:D,P与面AB B,A】所成的角为Z D,P A,，把平面 D
8、,C B A!与平而A A,B展开摊平(如上右图)则当A P-I-D，尸取最小值 时三 点 D,P,A 共线。所 以乙D,P A:今 匕P A，A+匕A,A P=故选 C.2 仑 叨 4平+粤4石与角相关的最值(范围)问题异面直线u,b 夹角为4 0 0,。土a，则直线b,c夹角的范围是 解析:通过平移，让直线 a,b,。相交于点P，因a 土。,a,b 夹角为4 0 0，则直线b 是在以“为轴的圆锥面上的母线，当直线b 变动时易知直线b;。夹角的取值范围是 5 0 0,9 0 0 .3 与面积相关的最值(范围)问题 例7(2 0 0 6 年浙江)正四面体A B C D的棱长为1,棱A B/平面
9、a，则正四面体上所有点在平面。内的射影构成的图形面积的取值范围是叭 次全 二、八_ 碑 尹，川斗小 例5 正三棱锥S-A B C相邻两侧面所成的二面角为a，则 a的取值范围是解析:当C D/a 时，O E上 C D(O为A B面积取最大值.作 D D 土。中点)，连结 O D，在 R t LO E D 解析:作B E土S A于E，连C E,则C E土S A,乙B E C=a，作s o土面A B C于O.连A O并延长交B C于D.设L S A D一)(0 0 B 0)，用“它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则“的取值范围是万方数据2 0 0 6 年第5
10、期中学数学教学2 3 解析:底面面积为6 a 2，侧面积分别为6,8,1 0，拼成三棱柱时为上下接合.全面积为:2 X6 a .十2 00+8 十6);当拼成四棱柱时，显然两侧面面积最大者相接合，全面积最小为(8+6)X 2+4 X 6 a 2，由题意，全面积最小的是四棱柱，:.2 X 6 a 2+2 X(1 0+8+6).(8+6)X 2+4 X 6 a 2，解 得。/-3-/3，从而S 抓 孙1 2，故S 的取值范围是(万八2，+0 0).例1 0 (2 0 0 5 年重庆)有一塔形几何体由 若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最
11、底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 3 9，则该塔形中正方体的个数至少是().S B 压一 s i n 艺A S H s i n 匕B S C,弘1-6又A B C:为正三角形,A H上面S B C,:.当匕A S H和 乙B S C为直角时，V A-S B C最大，此时S A二S B=S C=“，V-，二“3/6.(A)4解析(1 3)5 (C)6 (D)7:由题意，各层正方体的侧面积(从下而上)依次构成等比数列，且 公比4二 .总之，选择题和填空题中的立体几何最值(范围)问题是近年来数学命题的一个新的亮点，不论运用代1/2，故塔形几何体的表面积为:2 X
12、2 2+4 2 2+(万)+1 2+数、几何，还是向量的方法来求解，学中重视对基础知识的理解与掌握与方法的理解与运用，(如等积变换都需要在平时的教 ，加强对数学思想+2 3-、射影公式、割补思=8+4想、立体问题平面化、向量方法等)，并注意与其他数学知识的联系，提高识图能力，不断促进空间想象能力和思维能力的发展.，.n，n，d即 2 3 2，n 最小值为6.故选(C)(收稿 日期:2 0 0 6-0 8-1 2)曰.卜 i 曰 卜 i t-i 卜 i.卜弓.卜 弓 任 弓 卜 弓 卜 弓.卜弓.卜i.卜 弓 啥 弓 洲 洲 洲 洲，洲.2-1.曰 洲 洲 洲，洲 洲 洲 曰 洲 洲 洲 洲 洲
13、 洲 洲 洲 目 曰 洲 洲 洲主、iU 1 1;1-全 卉.幽.工户 种 刁.、T Jr，:订 阅 代 号6-2 0 9:主要栏目:焦点关注、教育前沿、管理科学、改革创新、素质教育、教育艺术、教学方法、教学研究户 学科个学、职业教育、幼儿教育。全从.读者对象:中小学教师、师院师生、教研人员。出期定价:每月 1 期，每期 5 元。订阅来稿:欢迎老师订阅、来稿。本部将认真对待您的来稿，收稿当天即回复处理意见。稿寄:(1 0 0 1 7 6)北京市亦庄邮局3 9 信箱网上投稿:d d j y b)1 2 6:c o m电话:0 1 0-8 6 6 9 1 3 4 0工工工工工工工洲.*.曰*.*.、.*.*.、，二.洲.、.、.、.*.o.、.*.*.、.*.o.、.、.二.、.、.、.*.、.、.、.*.、.二.、.、.、.*.二.洲.、.声万方数据
