全国高中数学联赛试题.pdf
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18年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)-、填空题:
本大题共8小题,每小题8分,满分“分。
1。
设集合/=,2,3,991,B=仫豸u/l,c=伽|2丌彳卜贝刂BC的元素个数为_2.设点到平面的距离为雨,点g在平面上,使得直线Pg与所成角不小于30且不大于,则这样的点口所构成的区域的面积为3.将1,2,3,495,6随机排成一行,记为曰,乃,c,纟,/,则曰Dc+是偶数的概率为5.设/(万)是定义在R上的以弓为周迅。
=.函数尸撬圣甲IO,ll工熟耨浒减,4.在平面直角坐标系以V中,椭圆(鉴免,廴鹦|i猫夕爨且满是/)=1,r(20=2,则不等式红设复数z满足|亻F殉呷关弑纟;i设o裨鲫BC呼唾锷昶舒豇2刃,酪应硭的值为_蠹亻鞲.解答应写投文字说明、篚R+上的雾熬/)为证明过I需嚣静严百丬Ff玉设曰,D,是三个互不相同的实数,满足/)=/(D)=/(c),求汕c的取值范围。
IO。
(本题满分aO分)己知实数列四1,%,%,满足:
对任意正整数,有%(2岛一%)=1,其中凡表示数列的前刀项和。
证明:
(1)对任意正整数刀,有%(历;田)对任意正整数,有%书1。
In。
(本趑满分分)在平面直角坐标系豸勿中,设/B是抛物线/=仙的过点FG,O的弦,扭oB的外接圆交抛物线于点P(不同于点o,/,B)。
若PF平分乙伊B,求丨PFl的所有可能值。
2018年全国高中数学联合竞赛加试试题A卷冫-、(本题满分00分)设刀是正貉数,I,曰2,%。
Dl2,、慨,彳,B均为1实数”满足臼匀,叱/,f=l,2,。
ra,爿3气铒v召.l曰2rT(包+lX仇+l)饥+l)证明:
B+l彳+l(FJl+l)(rJ2+l)rJ+l)二、(本预满分+0分冫如图,AHBC为锐角角彤,/B彳(J,为B(边的屮点,点D和J分别为/BCr的外接阈姒町和BC的中点,F为乙犭BC的内切I囚在/B边L的切点,为彳J与BCJ的交点,在线段EF,满足B彳B。
证明:
希B哀E,则DFJC.(笞饿时泔将国画在笛卷纸上冫三、(本履满分m分冫设,七,胛是设刀是l。
2,9阴f向瓦子集。
讠i明:
-FJ,其丨孑rf,犭。
黻虍n,L.泖茔饣二上f孓讠中的姆个镄婀赫为数rnr整间正区四、(本镢满分sO分冫数列臼社l定义如阝:
l雉任患正整数,对整数l,曰+l是与臼f玎:
萦,H不等于召l广,%冫的最小正整数。
诉E明:
每个正整数均在数=t列扌中出现。
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