初二数学特训班讲义教案篇.docx
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初二数学特训班讲义教案篇
初一数学基础知识讲义
主讲:
陈明
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第一讲一次函数
一、教学目标:
通过简单实例,了解常量、变量的意义。
能结合实例,了解函数的概念和三种表示方法,能举出函数的实例。
能结合图象对简单的实际问题中的函数关系进行分析,并会确定简单实际问题的函数的自变量的取值范围,并会求函数值。
结合具体情境体会一次函数的定义,根据已知条件确定一次函数的表达式。
会画一次函数的图象,根据图象和解析式探索并理解一次函数的性质。
理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组的关系。
能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解,并能用一次函数解决实际问题,体会函数的模型思想。
二、知识点精析:
函数及其图像:
函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,本章首先通过实际问题学习常量、变量的概念,然后学习函数的定义及其表示方法,最后通过平面直角坐标系研究函数的图象及表示方法。
函数的概念是本章学习的重点,又是本章学习的难点,对于这一概念可以从如下两方面加深理解:
(1)通过书中的实例进行理解;
(2)在对函数有一些认识的基础上去发现并建立生活中的函数模型,结合实际问题掌握函数关系的三种表示方法:
解析法、列表法与图象法,会用描点法画函数的图象,掌握其一般步骤:
列表、描点、连线。
一次函数的图象及性质:
一次函数是初中阶段的一种最基本、最特殊的函数,在研究一次函数时,要紧紧抓住一次函数的图象这一重要工具,根据图象的特征来理解一次函数的性质。
进一步领悟“数形结合思想”,并能熟练运用待定系数法求一次函数的解析式。
一次函数与方程(组)、不等式的关系:
一元一次方程、一元一次不等式是一次函数ykx+b当y0、y0或y0时的特例,而二元一次方程组则是对应着两条直线。
因此在本章学习中,要会运用函数的观点来研究方程(组)、不等式,学会将方程(组)、不等式转化为一次函数问题,能利用图象法解方程(组)、不等式,并能综合运用函数、方程、不等式的知识来解决实际问题。
一次函数的应用:
一次函数是反映现实世界中变量间的数量变化规律的一种常见数学模型,要善于从实际问题中分析变量与自变量之间的关系,建立一次函数模型(包括分段函数模型),并借助一次函数的图象和性质解决生产、生活、市场经济等实际问题中函数最大(小)值、分段计算、函数值(或自变量取值)的大小比较等有关的问题(如:
最优化问题、方案决策问题等)。
三、解题方法指导:
1.有关函数的概念
【例1】(云南省)已知正比例函数ykx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,则一次函数yx+k的图象大致是图中的()
【分析】∵y随x的增大而减小,∴k0.
∵yx+k中x的系数为10,k0,
∴经过一、三、四象限,故选B.
答案B.
【点评】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质,k>0时,函数值随自变量x的增大而增大.
2.自变量的取值范围
作为函数的三大要素之一,自变量的取值范围这一问题理所当然成为中考重点考查的内容之一,并且绝大部分的试题都是单独命题来专门考查.
【例2】(资阳市)函数的自变量x的取值范围是_________.
【分析】要使函数有意义,必须
1-2x≥0
x+1≠0,
解得x≤1/2且x≠0.
【点评】此题主要考查考生是否理解函数中自变量的取值范围的意义及解不等式、不等式组的运算能力,解题的关键是根据函数的解析式列出相应的不等式或不等式组,然后再求解.在列出不等式或不等式组时,一般主要考虑:
①分母不等于零;②二次根式的被开方数非负;③如果自变量同时出现在分母与二次根式的被开方数中,则应根据上述①与②列出不等式组.
3.确定函数的解析式
此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数,从而确定该函数解析式的能力.
【例3】(陕西)某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物,若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时,投入的成本与印数间的相应数据如下:
印数x(册)500080001000015000……
成本y(元)28500360004100053500……
(1)经过对上表中数据的探究,发现这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数,求这个一次函数的解析式(不要求写出x的取值范围);
(2)如果出版社投入成本48000元,那么能印该读物多少册?
【分析】
(1)设所求一次函数的解析式为y=kx+b,
则
解得k=,b=16000.
∴所求的函数关系式为y=x+16000.
(2)∵48000=x+16000.
∴x=12800.
答:
能印该读物12800册.
【点评】此题主要考查待定系数法以及解方程组的运算能力.解题时应根据函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的关系列出方程或方程组,然后再求解.
4.图表信息
【例4】(苏州卷)如图,平面直角坐标系中画出了函数ykx+b的图像.
(1)根据图像,求k和b的值.
(2)在图中画出函数y-2x+2的图像.
(3)求x的取值范围,使函数ykx+b的函数值大于函数y-2x+2的函数值.
【分析】根据图象信息,求出一次函数解析式,找出图象的交点坐标,再根据图象的位置,判断函数值的大小.
【解】
(1)∵直线ykx+b经过点(-2,0),(0,2).
∴解得∴yx+2.
(2)y-2x+2经过(0,2),(1,0),图像如图所示.
(3)当ykx+b的函数值大于y-2x+2的函数值时,也就是x+2-2x+2,解得x0,即x的取值范围为x0.
5.“三个一次型”的关系
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有着密切联系的联系,以此构筑考题是课标中考的一个靓点.
例5(陕西)阅读:
我们知道,在数轴上,x=1表示一个点,而在平面直角坐标系中,x=1表示一条直线;我们还知道,以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象,它也是一条直线,如图①.
观察图①可以得出:
直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标(1,3)就是方程组的解,所以这个方程组的解为
在直角坐标系中,x≤1表示一个平面区域,即直线x=1以及它左侧的部分,如图②;y≤2x+1也表示一个平面区域,即直线y=2x+1以及它下方的部分,如图③.
回答下列问题:
(1)在直角坐标系(图④)中,用作图象的方法求出方程组的解;
(2)用阴影表示,所围成的区域.
【探究】
(1)如图所示,
在坐标系中分别作出直线x=-2和直线y=-2x+2,
则是方程组的解.
这两条直线的交点是P(-2,6).
如阴影所示.
【评析】本题是一道阅读理解性考题,主要考查考生应用一次函数的图象解方程组和一元一次不等式的能力.
6.方案设计
近几年来各地中考试题和竞赛题中出现了一批格调清新、题型新颖以市场经济为主,源于社会实践的优化设计试题.解这类问题关键是将实际问题中内在本质的联系抽象为数学问题,进而建立数学模型?
?
求方程组、不等式组的模型、求函数的最值模型、解几何模型等;通过对数学问题的求解,作出答案.
【例6】(南平市中考题)某化工厂生产某种化肥,每吨化肥的出厂价为1780元,其成本为900元,但在生产过程中,平均每吨化肥有280立方米有害气体排出,为保护环境,工厂需对有害气体进行处理.
现有两种处理方案可供选择:
①将有害气体通过管道送交废气处理厂统一处理,则每立方米需付费3元;
②若自行引进处理设备处理有害气体,则每立方米需原料费0.5元,且设备每月管理、损耗费用为28000元.
设工厂每月生产化肥x吨,每月利润为y元.(注:
利润=总收入-总支出)
(1)分别求出用方案①、方案②处理有害气体时,y与x的函数关系式;
(2)根据工厂每月化肥产量x的值,通过计算分析工厂应如何选择处理方案才能获得最大利润.
【精析】建立函数模型,运用函数值的大小进行比较.
解由题意,得
(1)方案①:
y11780-900-3×280x40x;
方案②:
y21780-900-0.5×280x-28000740x-28000.
(2)由y1y2,得x40;由y1y2,得x40;由y1y2,得x>40.
因此,当产量小于40吨时,应选择方案①;当产量等于40吨时,两种方案均可;当产量大于40吨时,应选择方案②.
【点评】一次函数是最基本的函数,它与一次方程、一次不等式有密切联系,在实际生活中有广泛的应用.例如,利用一次函数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方案决策.近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面的应用题,这些试题新颖灵活,具有较强的时代气息和很强的选拔功能.
7.应用题
函数是初中数学的重要内容,因此各地在中考中也经常以此内容来编制应用题,以考查考生运用数学的意识及分析问题与解决问题的能力.
【例7】(2004年湖北)通过电脑拨号上“因特网”的费用由电话费和上网费两部分组成.以某市通过“市民热线”上“因特网”的费用为电话费0.18元/3分钟,上网费为7.2元/小时,后根据信息产业部调整“因特网”资费的需要,自1999年3月1日起,某市上“因特网”的费用调整为电话费0.22元/3分钟.上网费为每月不超过60小时,按4元/小时计算;超过60小时,按8元/小时计算.
1根据调整后的规定,将每月上“因特网”的费用y元表示为上网时间x小时的函数;
2资费调整前,网民晓刚在其家庭经济预算中,一直有一笔每月70小时的上网费用支出.“因特网”资费调整后,晓刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出,他现在每月至多可上网多少小时?
3从资费调整前后的角度分析,比较某市网民上网费用的支出情况.
【精析】依题意,得
1
2资费调整前上网70小时所需费用为3.6+7.2×70756元
资费调整后,若上网60小时,则所需费用为
8.4×60504元.∵756504,
∴晓刚现在上网时间超过60小时.
由12.4x-240≤756,解之,得x≤80.32.
∴晓刚现在每月至多可上网约80.32小时.
3设调整前所需费用为元;调整后所需费用为元;
则.
当0≤x≤60时,,10.8x8.4x,故
当x60时,.
当时,10.8x12.4x-240,x150;
当时,10.8x12.4x-240,x150;
当时,10.8x12.4x-240,x150.
综上可得
当x150时,调整后所需费用少;当x150时,调整前后所需费用相同;当x150时,调整前所需费用少.
【点评】将实际问题转化为数学问题是解应用题的关键,而这个转化过程就是数学建模.传统中考应用题主要是建立方程组模型,而近年来中考出现了许多需要建立一次函数模型解题的应用题.解答这类应用题的关键是寻求两个变量之间的函数关系,善于用运动变化的观点看问题.
【例8】(2004年广东中考题)某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者,果品基地对购买量在3000kg以上(含3000kg)的顾客采用两种销售方案.
甲方案:
每千克9元,由基地送货上门;乙方案:
每千克8元,由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元.
(1)分别写出该公司两种购买方案付款金额y(元)与所购买的水果量x(kg)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当购买量在哪一范围时,选择哪种购买方案付款最少?
并说明理由.
【精析】由题意分析知:
购买方案的付款金额y(元)是所购买水果量x(kg)的函数,故本例可以构建“函数模型”.通过一次函数与相应的一次方程、一次不等式的关系,从而掌握相关知识的有机联系,进一步体会数形结合的思想.
【解】方法1
(1)
(2)当=时,即9x=8x+5000,
解得x=5000,
∴当x=5000kg时,两种方案付款一样;
当<时,9x<8x+5000,解得x<5000.
∴当3000x5000kg时,选择甲方案付款最少;
当>时,即9x>8x+5000,解得x5000.
∴当x>5000kg时,选择乙方案付款最少.
方法2图像法,作出它们的函数图像,如图所示,由函数图像可得,
当购买量大于或等于3000kg且小于5000kg时,选择甲方案付款最少;
当购买量等于5000kg时,两种方案付款一样多;
当购买量大于5000kg时,选择乙方案付款量少.
四、考点突破
1.考点指要:
函数知识是历年中考的热点,与本章知识有关的考题约占全部试题的15%~25%,题型既有填空题、选择题又有中档的解答题,更有难度较大的综合题,近几年全国各地中考试卷中,还出现了设计新颖,贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数应用题这在前面的例题中已充分体现,尤其是全国各地中考试卷中的压轴题,有以上是与函数有关的综合题,试题不仅考查函数的基础知识、基本技能、基本数学思想方法,还越来越重视对学生灵活运用知识能力,探索创新能力和实践能力的考查,考查内容主要有以下几个方面:
(1)平面直角坐标系的有关知识
常考查的题目是求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标;求线段长度;求某些点的坐标等,主要考查考生对点的坐标等知识的理解及观察、分析能力.
(2)函数的有关概念.
常见题目有求自变量的取值范围,求函数值、函数图象、函数的表示法,主要考查学生的判断能力、计算能力、作图能力等.
(3)正比例函数和一次函数的概念、图象和性质.
常见题目是求函数解析式,确定图象位置,利用函数性质解决某些问题,主要考查学生对数形结合思想的理解水平和对待定系数法掌握的熟练程度,要求考生既能熟练地根据图象的位置判断系数的情况或函数的变化趋势,又能依据函数的性质或系数的大小判定函数图象的位置.
(4)常用的方法有数形结合法,待定系数法、配方法、类比法,在解答有关一次函数的选择题时,又常用直接法、排除法、特殊值法和验证法等.为分析问题和解决问题创造了有利条件,是开发智力、培养能力的重要途径.
(5)一元一次方程与一元一次不等式和一次函数的联系及其应用问题是这几年来中考的热点之一,旨在通过实际问题培养学生的化归能力,即把实际问题转化为学生学过的数学问题加以解决.
2.典例分析:
【例1】(2007上海市)如果一次函数的图象经过第一象限,且与轴负半轴相交,那么()
A.,B.,C.,D.,
【解】B
【例2】(2007浙江金华)一次函数与的图象如图,则下列结论①;②;③当时,中,正确的个数是()
A.0B.1C.2D.3
【解】B
【例3】(2007甘肃白银等7市)某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元)152025…
y(件)252015…
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)求销售价定为30元时,每日的销售利润.
【解】
(1)设此一次函数解析式为
则解得k1,b40.即一次函数解析式为.
(2)每日的销售量为y-30+4010件,所获销售利润为(3010)×10200元
【例4】(2007湖北宜昌)2007年5月,第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕.20日上午9时,参赛龙舟从黄陵庙同时出发.其中甲、乙两队在比赛时,路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示.甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港.(OAB为甲队,OC为乙队图象)
(1)哪个队先到达终点?
乙队何时追上甲队?
(2)在比赛过程中,甲、乙两队何时相距最远?
【解】1乙队先达到终点,
对于乙队,x=1时,y=16,所以y=16x,
对于甲队,出发1小时后,设y与x关系为y=kx+b,
将x=1,y=20和x=2.5,y=35分别代入上式得:
解得:
y=10x+10
解方程组得:
x=,即:
出发1小时40分钟后(或者上午10点40分)乙队追上甲队.
(2)1小时之内,两队相距最远距离是4千米,
乙队追上甲队后,两队的距离是16x-10x+10=6x-10,当x为最大,即x=时,6x-10最大,此时最大距离为6×-10=3.125<4,(也可以求出AD、CE的长度,比较其大小)所以比赛过程中,甲、乙两队在出发后1小时(或者上午10时)相距最远。
五、课后测试题
1.下列各点中,在函数y2x-7的图象上的是()A.(2,3)B.(3,1)C.(0,-7)D.(-1,9)
2.如图,一次函数ykx+b的图象经过A、B两点,则kx+b0的解集是()
A.x0B.x2C.x-3D.-3x2
第2题第4题第7题
3.已知两个一次函数y1-x-4和y2-x+的图象重合,则一次函数yax+b的图象所经过的象限为()A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限
4.如图,直线ykx+b与x轴交于点(-4,0),则y0时,x的取值范围是()A.x-4B.x0C.x-4D.x0
5.(2005年杭州市)已知一次函数ykx-k,若y随x的增大而减小,则该函数的图像经过()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
6.点P1(x1,y1),点P2(x2,y2)是一次函数y-4x+3图象上的两个点,且x1x2,则y1与y2的大小关系是()A.y1y2B.y1y20C.y1y2D.y1y2
7.(2006年绍兴市)如图,一次函数yx+5的图象经过点P(a,b)和点Q(c,d),则a(c-d)-b(c-d)的值为________.
8.(2006年贵阳市)函数y1x+1与y2ax+b的图象如图所示,这两个函数的交点在y轴上,那么y1、y2的值都大于零的x的取值范围是_______.
9.(2006年重庆市)如图,已知函数yax+b和ykx的图象交于点P,则根据图象可得,关于的二元一次方程组的解是________.
第8题第9题
10.(2006年安徽省)一次函数的图象过点(-1,0),且函数值随着自变量的增大而减小,写出一个符合这个条件的一次函数的解析式:
___________.
能力提升
11.(2006年宿迁市)经过点(2,0)且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是_________.
12.(2006年德阳市)地表以下岩层的温度t(℃)随着所处的深度h(千米)的变化而变化.t与h之间在一定范围内近似地成一次函数关系.
(1)根据下表,求t(℃)与h(千米)之间的函数关系式;
(2)求当岩层温度达到1770℃时,岩层所处的深度为多少千米?
温度t(℃)…90160300…
深度h(km)…248…
13.(2006年陕西省)甲、乙两车从A地出发,沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地.L1、L2分别表示甲、乙两车行驶路程y(千米)与时间x(时)之间的关系(如图所示),根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)求L2的函数表达式(不要求写出x的取值范围);
(2)甲、乙两车哪一辆先到达B地?
该车比另一辆车早多长时间到达B地?
14.(2006年伊春市)某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件,该机器运行过程分为加油过程和加工过程;加工过程中,当油箱中油量为10升时,机器自动停止加工进入加油过程,将油箱加满后继续加工,如此往复.已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完.下图是油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数图象.根据图象回答下列问题:
(1)求在第一个加工过程中,油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围);
(2)机器运行多少分钟时,第一个加工过程停止?
(3)加工完这批工件,机器耗油多少升?
15.(2006年吉林省)小明受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作:
请根据图中给出的信息,解答下列问题:
(1)放入一个小球量筒中水面升高_______cm;
(2)求放入小球后量筒中水面的高度y(cm)与小球个数x(个)之间的一次函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)量筒中至少放入几个小球时有水溢出?
应用与探究
16.(2007江苏泰州)通过市场调查,一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量(千克)与市场价格(元/千克)()存在下列关系:
(元/千克)5101520
(千克)4500400035003000
又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量(千克)与市场价格(元/千克)成正比例关系:
().现不计其它因素影响,如果需求数量等于生产数量,那么此时市场处于平衡状态.
(1)请通过描点画图探究与之间的函数关系,并求出函数关系式;
(2)根据以上市场调查,请你分析:
当市场处于平衡状态时,该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少?
(3)如果该地区农民对这种农副产品进行精加工,此时生产数量与市场价格的函数关系发生改变,而需求数量与市场价格的函数关系未发生变化,那么当市场处于平衡状态时,该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元.请问这时该农副产品的市场价格为多少元?
答案:
1.C2.C3.D4.A5.B6.A7.258.1x29.10.答案不唯一.例如:
y-x-111.yx-2或y-x+212.
(1)t与h的函数关系式为t35h+20.
(2)当t1770时,有177035h+20,解得:
h50千米.
13.解:
(1)设L2的函数表达式是yk2x+b,则
解之,得k2100,b-75,∴L2的函数表达式为y100x-75.
(2)乙车先到达B地,∵300100x-75,∴x.
设L1的函数表达式是yk1x,∵图象过点(,300),
∴k180.即y80x.当y400时,40080x,
∴x5,∴5-(小时),
∴乙车比甲车早小时到达B地.
14.解:
(1)设所求函数关系式为ykx+b,由图象可知过(10,100),(30,80)两点,得,∴y-x+110.
(2)当y10时,-x+11010,x100,机器运行100分钟时,第一个加过程停止.
(3)第一加工过程停止后再加满油只需9分钟,加工完这批工件,机器耗油166升.
15.解:
(1)2,
(2)设ykx+b,把(0,30),(3,36)代入得:
即y2x+30.
(3)由2x+3049,得x9.5,即至少放入10个小球时有水溢出.
16.解:
(1)描点略.
设,用任两点代入求得,
再用另两点代入解析式验证.
(2),,.
总销售收入(元)
农副产品的市场价格是10元/千克,农民的总销售收入是40000元.
(3)设这时该农副产品的市场价格为元/千克,
则,解之得:
.
.
这时该农副产品的市场价格为18元/千克.
第二讲分式
一、教学目标:
理解分式的概念,能够用它判断一个代数式是分式还是整式,通过类比的方法掌握分式的基本性质并能准确地运用分式的基本性质进行分式的约分与通分。
掌握分式乘除法及加减法的运算,以用分式乘方运算,能够综合上述运算进行分式的四则混合运算,理解负整数指数幂及零指数幂的意义,会用科学记数法表示绝对值较大和较小的数。
了解分式方程的概念,理解分式方程的增根,掌握分
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- 初二 数学 特训班 讲义 教案