导数练习题及答案Word文档下载推荐.docx
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6.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是
()
A.(-∞,-3)B.[-3,3]
C.(3,+∞)D.(-3,3)
解析f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)恒成立,=4a2-12≤0?
-3≤a≤3.
7.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0等于()
A.e2B.ln2
ln2
C.D.e
2
解析f′(x)=x·
(lnx)′+(x)′·
lnx=1+lnx.
∴f′(x0)=1+lnx0=2,
∴lnx0=1,
∴x0=e.
8.设函数f(x)=3x-lnx(x>0),则y=f(x)()
A.在区间(e,1)(1,e)内均有零点
B.在区间(e,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
x-3
解析
由题意得f′(x)=
3x,令f′(x)>0得x>3;
令f′(x)<0
得0<x<3;
f′(x)
=0
得x=3,故知函数
f(x)在区间(0,3)
上为减函数,在区间
(3,+∞)为增函数,在点x
e
=3处有极小值1-ln3<0;
又f
(1)=3>0,f(e)=3-1<0,f(e)=3e+1>0.
sin
θ
3
3cos
θ2
5π
9.设函数f(x)=
x
+
x+tan
θ,其中θ∈[0,12],则导数f′
(1)的取值范
围是(
)
A.[-2,2]
B
.[
2,3]
C.[3,2]D.[
2,2]
答案
D
∵f′(x)=x2sin
θ+x·
θ,
∴f′
(1)=sin
θ+
θ=2(
cosθ)
π
=2sin(θ+3).
∵0≤θ≤
3π
12
,∴≤θ+≤
,
4
≤sin(
2≤2sin(
∴
θ+)≤1.∴
θ+)≤2.
10.方程2x3-6x2+7=0在(0,2)
内根的个数有()
A.0B.1
C.2D.3
解析令
f
(
)=23-62
+7,
∴f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
由f′(x)>0得x>2或x<0;
由f′(x)<0得0<x<2;
又f(0)=7>0,
f
(2)=-1<0,∴方程在(0,2)内只有一实根.
二、填空题
11.若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=______.
答案-1
解析求导得y′=k+x,依题意k+1=0,
所以k=-1.
12.已知函数f(x)=-x3+ax在区间(-1,1)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
答案a≥3
由题意应有
′(
)=-3
2+
≥0,在区间(-1,1)
上恒成立,则
≥3
2,
∈(-1,1)
a
ax
恒成立,故a≥3.
13.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:
y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知
曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________.
答案(2,15)
解析y′=3x2-10=2?
x=±
2,又点P在第二象限内,∴x=-2,得点P的坐标为(-2,15)14.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1时有极值10,那么a,b的值分别为________.
答案4,-11
解析f′(x)=3x2+2ax+b,f′
(1)=2a+b+3=0,
f
(1)=a2+a+b+1=10,
2a+b=-3
a=-3
,或
a=4
,当a=-3时,x=1不是极值点,a,b的
++=9
b
=3
=-11
ab
值分别为4,-11.
三、解答题
6
15.设3<
a<
1,函数f
(x)=x
-2ax+b(-1≤x≤1)
的最大值为
1,最小值为-
2,求常数
a,b.
解令f′(x)=3x2-3ax=0,
得
1=0,
2=.
a3
f(0)=b,f(a)=-2+b,f(-1)=-1-2a+b,
f
(1)=1-2a+b
23
因为3<
1,所以1-2a<
0,
故最大值为f(0)=b=1,
33
所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-2a+b=-2a,
所以-2a=-
,所以a=
3.
故a=3,b=1.
16.若函数f(x)=4x
-ax+3在[-2,2]上是单调函数,则实数
a的取值范围为多少?
解
f′(x)=12x2-a,若f(x)在[-
1,1
]上为单调增函数,则
f′(x)≥0在[-
]上恒
成立,
即12x2-a≥0在[-1,1]上恒成立,
22
∴a≤12x2在[-1,1]上恒成立,∴a≤(12x2)min=0.22
当a=0时,f′(x)=12x2≥0恒成立(只有x=0时f′(x)=0).∴a=0符合题意.
11
若f(x)在[-2,2]上为单调减函数,
则f′(x)≤0,在[-,]上恒成立,
22
即12x2-a≤0在[-1,1]上恒成立,
∴a≥12x2在[-1,1]上恒成立,
∴a≥(12x2)max=3.
-1)
当a=3时,f′(x)=12x-3=3(4x
≤0恒成立(且只有x=±
时f′(x)=0).
因此,a的取值范围为
a≤0或a≥3.
17.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池
(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为
r米,高
为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为
100
元/平方
米,底面的建造成本为
160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为
12000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解
(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·
2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.
又根据题意200πrh+160πr2=12000π,
12
所以h=(300-4r),
从而(
r
-4
)=π
=(300
).
Vr
h
5
因为r>
0,又由h>
0可得r<
3,
故函数V(r)的定义域为(0,5
3).
(2)因为
)=
(300
-4)
π2
故V′(r)=5(300-12r).
令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).
当r∈(0,5)时,V′(r)>
0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,53)时,V′(r)<
0,故V(r)在(5,53)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
17.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/
133
时)的函数解析式可以表示为:
y=128000x-80x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100
千米.
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了
40=2.5小时,
要耗油(128000×
40
-80×
40+8)×
2.5=17.5(
升).
(2)
当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了
h(x)升,
x小时,设耗油量为
依题意得(
)=(
+8).
800
15
≤120),
-
80x
=
1280x
(0<
hx
128000x
h′(x)=x-
3-803
=x
(0<x≤120).
640
640x
令h′(x)=0,得x=80.
当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数.
∴当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.
答当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油
17.5升.当汽车以
80千米
/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为
11.25
升.
18.已知函数f(x)=3x-aln
x-3(a∈R,a≠0).
(1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若对任意的x∈[1,+∞),都有f(x)≥0成立,求a的取值范围.
(1)当=3时,
)=1
3-3ln
-1,
(1)=0,
3x
3f
∴f′(x)=x
-x,∴f′
(1)=-2,
∴曲线
y
)在点(1,
(1))处的切线方程2
-2=0.
(2)f′(x)=
2a
x3-a
-=
(x>0).
①当a<0时,f′(x)=
>0恒成立,函数
f(x)的递增区间为(0,+∞).
②当a>0时,令f′(x)
=0,解得x=
a或x=-
3a(舍).
(0,a)
(a,+∞)
f(x)
减
极小值
增
∴函数
)的递增区间为
(3
,+∞),递减区间为(0,3
(3)对任意的x∈[1,+∞),使f(x)≥0
成立,只需对任意的
x∈[1,+∞),f(x)min≥0.
①当a<0时,f(x)在[1,+∞)上是增函数,∴只需
f
(1)≥0,而f
(1)=3-aln1
-3=0,
∴a<0满足题意,
②当0<a≤1
时,0<a≤1,f(x)在[1,+∞)上是增函数,∴只需f
(1)≥0而f
(1)
=3-
aln1-3=0,
∴0<a≤1满足题意;
a)≥0
③当a>1时,a>1,f(x)在[1,a]上是减函数,[
a,+∞)上是增函数,∴只需f(
即可,而f(
a)<f
(1)=0,∴a>1不满足题意;
综上,a∈(-∞,0)∪(0,1]
.
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