一元一次方程及解法.docx
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一元一次方程及解法
一元一次方程及解法
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数!
学习目标:
●经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程,体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型,了解一元一次方程及其相关概念,认识从算式到方程是数学的进步;
●通过观察、归纳得出等式的性质,能利用它们探究一元一次方程的解法;
●了解解方程的基本目标(使方程逐步转化为x=a的形式),熟悉解一元一次方程的一般步骤,掌握一元一次方程的解法,体会解法中蕴涵的化归思想。
重点:
●一元一次方程的解法
难点:
●一元一次方程的解法
学习策略:
●从实验中归纳结论,对发现的结论用自己的语言、文字语言、字母表达式表示出来.在解方程的过程中,要明白每一步变形的依据,解题后及时地进行总结归纳并进行再练习。
二、学习与应用
“凡事预则立,不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上,认真听讲,做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识回顾——复习
学习新知识之前,看看你的知识贮备过关了吗?
(一)整式:
________和________统称整式。
注意:
是____项式(填单或多)。
(二)同类项:
“两相同”是指_____相同及________相同,“两无关”是指同类项与_____和________顺序无关。
合并同类项法则:
“一变”是同类项______的相加,“两不变”是_____和________不变。
只有几项是同类项时才可以合并。
化简多项式实际就是加法_____律和乘法_____律的运用。
求一个多项式的值应先_____再代入字母的值进行计算。
注意书写格式。
(三)去括号法则:
如果括号外的_____是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_____;如果括号外的
_____是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_____;即当括号前带“+”号时,去掉括号及“+”后,括号里的各项都_____,当括号前带“-”时,去掉括号及“-”后,括号里的各项都_____,去括号实际就是_____律的运用,所以应把括号前的因数与括号里的每一项都_____。
(四)设某数为x,则根据下列条件分别列出单项式或多项式:
(1)某数的1/3与15的差的3倍:
__________
(2)比某数的5倍大2的数:
__________
(3)某数的3/4与它的1/2的和:
__________
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材,尝试把下列知识要点内容补充完整,带着自己预习的疑惑认真听课学习,请在虚线部分填写预习内容,在实线部分填写课堂学习内容。
课堂笔记或者其它补充填在右栏。
详细内容请参看网校资源ID:
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知识点一:
方程的概念
(一)含有未知数的叫做方程。
(二)使方程中等号左右两边相等的的值叫做方程的解。
(三)求方程的解的过程叫做。
(四)方程的两个特征:
(1)方程是;
(2)方程中必须含有。
知识点二:
一元一次方程的概念
(一)概念:
只含有个未知数(元),并且未知数的次数都是,这样的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式是:
。
“元”是指,“次”是指,在理解一元一次方程的概念时,请你注意:
:
(1)方程中的未知数的个数是。
例如2x+3y=2就(是或不是)一元一次方程,因为未知数的个数是个,而不是个。
(2)含有未知数的式子都是。
例如方程
,其中
不是整式,所以它(是或不是)一元一次方程。
(3)未知数的次数都是,如x2+2x-2=0,在x2项中,未知数的次数是,所以它(是或不是)一元一次方程。
(二)判定:
判断一个方程是不是一元一次方程应看它的,而不是看。
(1)如果一个方程经过去、、、等变形能化为或的形式,那么它就是一元一次方程;否则就不是一元一次方程。
(2)方程ax=b或ax
b=0,只有当时才是一元一次方程;反之,如果明确指出方程ax=b或ax+b=0是一元一次方程,则隐含条件。
例如方程3x2+5=8x+3x2,化简成是一元一次方程;而方程4x-7=3x-7+x表面上看有个未知数x,且x的次数是次,但化简后为,所以(是或不是)一元一次方程。
知识点三:
等式的性质
(一)等式的概念:
用符号来表示相等关系的式子叫做等式。
(二)等式的性质:
等式的性质1:
,结果仍相等。
即:
如果,那么;(c为或)。
等式的性质2:
,结果仍相等。
即:
如果,那么;如果,那么。
在对等式变形时,请你注意:
:
(1)根据等式的两条性质,对等式进行变形,等式两边必须进行,同时,不能某一边,并且两边加或减、乘或除以的数必须。
(2)等式性质1中,强调的是,如果在等式两边同加的不是,那么变形后的等式成立,如x=0中,两边加上
得x+
,这个等式不成立。
(3)等式的性质2是等式两边乘同一个数,或除以同一个的数,结果仍相等,因忽略这一条件而导致出错,特别是等式的两边除以一个式子时,更应注意这一条件。
知识点四:
合并同类项与移项
(一)合并同类项:
将方程中含有(字母的指数也)的项进行合并,把一元一次方程变形为:
_______________________的形式,然后利用等式的性质2,方程两边同时除以a,从而得到:
(二)移项:
将方程中的某项改变____________后从一边移到另一边,叫做移项。
移项实际上是在方程的两边都________________________________________。
移项时,请你注意:
(1)移项的目的:
将含有__________的项都移到方程的一边,__________都移到方程的另一边。
这样我们就能够________________,而使方程变形为______________________的形式,再将方程两边同时除以a,使x的系数化为1,得到
,即为方程的解。
具体过程如下:
(2)移项的理论依据是______________:
__________________________________,结果仍相等;
(3)移项法则“移项必________”,即移项要________,不变号不能________。
知识点五:
去括号与去分母
(一)去括号:
方程中含有括号时,解方程过程中把_________去掉的过程叫做去括号。
去括号时,请你注意:
:
(1)不要漏乘括号内的_____;
(2)注意“+”“-”的改变,即去掉括号后要注意各项(原括号内)的________变化情况。
(二)去分母:
含分数系数的方程两边都乘_______________(各分母的最小公倍数),使方程中的分母为____,这样的变化过程叫做去分母。
去分母时,请你注意:
(1)不要漏乘不含________的项;
(2)分子是一个_________,去分母后应加上__________。
知识点六:
解一元一次方程的一般步骤
(一)去分母——方程两边都乘各系数分母的________________,要注意不要漏掉不含__________的项,如方程
x+
=3,去分母得10x+3=3就错了,因为方程右边忘记乘以____,造成错误。
(二)去括号——利用乘法对加法的分配律去掉括号,按照去括号法则先__________,再去___________,最后去__________。
特别注意括号前是负号时,去掉负号和括号,括号里的各项都要________。
括号前有数字因数时要注意使用________律。
(三)移项——把含未知数的项移到方程的一边,___________移到另一边,移项要_________。
(四)合并同类项——把方程化为ax=b(a≠0)的形式。
(五)系数化为1——在方程两边同除以未知数的__________,得到方程的解x=
。
解一元一次方程时,请你注意:
(1)解方程时,上述步骤中有些变形可能用不到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据方程形式灵活安排求解步骤。
熟练后,步骤及检验还可以合并简化。
(2)去分母是为了简化运算,若不使用,也可进行________的运算。
(3)去括号时,若括号前为“____”号,括号内各项要改变符号。
(4)方程是含有未知数的_______,所以方程也具有_______的性质,可以应用_______的性质解较简单的一元一次方程,步骤一般有两步:
①方程两边同时加(或减)同一个数。
②方程两边同时乘(或除以)同一个不为0的数。
例如,解方程:
3x+5=2
解:
两边都减_____,得3x=-3
两边同时除以_____,得x=-1
经典例题-—自主学习
认真分析、解答下列例题,尝试总结提升各类型题目的规律和技巧,然后完成举一反三。
若有其它补充可填在右栏空白处。
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类型一:
一元一次方程的概念
例1.判断下列各式是不是方程?
如果是方程,指出已知数和未知数,并指出是不是一元一次方程;如果不是,说明为什么?
(1)2x-1=5;
(2)4+8=12;(3)5y-8;(4)2a+3b=0;(5)6a2-5x+4;(6)2x2+x=1;(7)x-2≠1;(8)ax+2a=3.
思路点拨:
方程是 ,只含有 ,并且________________________,这样的方程叫做一元一次方程;方程是_______,两个代数式用等号连接起来就是等式,但等式不一定是_______;方程、等式都含有等号,而代数式不含_______。
解:
总结升华:
举一反三:
【变式】下列四个方程中,一元一次方程是()
A.x2-1=0B.x+y=1C.12-7=5D.x=0
答案:
类型二:
方程的解
例2.检验题后面括号里的数是不是前面方程的解。
3y-1=2y+1(y=2,y=4)
思路点拨:
判断一个数是否是方程的解,把这个数________的两边,若___________相等,则该数____方程的解;若_________不相等,则________方程的解。
解:
举一反三:
【变式1】已知x=2是方程2(x-3)+1=x+m的解,则m等于()。
A.3B.2C.-3D.-2
答案:
☆☆【变式2】关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a的值是()
A.2B.3C.2或3D.1或2
答案:
类型三:
解一元一次方程
例3.解方程:
9-3x=5x+5
思路点拨:
可将右边的5x变号后移到_______,将左边的9变号后移到________,然后合并成左边是含有____________,右边是____________的方程。
解:
总结升华:
举一反三:
【变式】解方程:
4x=18-2x
分析:
利用等式的性质1,________________________________________,结果仍相等。
等式的性质2:
________________________________________________,结果仍相等。
解:
例4.解方程
思路点拨:
本题考查去分母的过程,注意不要漏乘方程中的每一项。
解析:
总结升华:
举一反三:
【变式】解方程:
解:
☆例5.解方程x-2[x-3(x+4)-6]=1
思路点拨:
方程特点是含有多重括号,去括号时应从__________开始由_______一层一层去。
解:
举一反三:
☆【变式】
答案:
类型四:
一元一次方程的综合应用
例6.已知方程
是关于x的一元一次方程;
(1)求m的值。
(2)写出关于x的一元一次方程
(3)并解
(2)中的方程。
解析:
☆例7.对于有理数a,b,c,d,规定一种运算
=ad-bc,如
=1×(-2)-0×2=-2。
那么
=25时,写出关于x的一元一次方程,并解此方程。
思路点拨:
由题中可看出
的运算方式是_______________________,所以
=25变形为_____________________________。
解析:
☆☆例8.关于x的方程3x-4=a-bx有无穷多个解,则a=_____,b=______。
解析:
三、总结与测评
要想学习成绩好,总结测评少不了!
课后复习是学习不可或缺的环节,它可以帮助我们巩固学习效果,弥补知识缺漏,提高学习能力。
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法,熟练掌握技能技巧。
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从数学学科内部来看,_______________是一元一次方程的预备知识;而从应用的角度来看,一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接。
通过本章学习,不仅可以复习________________________________________的内容,而且可以进一步体会看似抽象的整式运算在解决__________中的用处,从而加深对相关内容的理解.并且结合方程的解法复习已学过的整式的知识,深刻认识____、_____与______间的联系与区别。
成果测评
现在来检测一下学习的成果吧!
请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。
知识点:
一元一次方程及其解法、等式及其基本性质
测评系统分数:
模拟考试系统分数:
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#cgcp0#212732做基础达标部分的练习,如果你的分数在80分以上,你可以进行能力提升题目的测试。
自我反馈
学完本节知识,你有哪些新收获?
总结本节的有关习题,将其中的好题及错题分类整理。
如有问题,请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。
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习题整理
题目或题目出处
所属类型或知识点
分析及注意问题
好题
错题
注:
本表格为建议样式,请同学们单独建立错题本,或者使用四中网校错题本进行记录。
知识导学:
一元一次方程及解法(#212732)
视听课堂:
方程的解与同解原理(#20237);一元一次方程的解法(#20239);
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对本知识的学案导学的使用率:
□好(基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等,使用率达到80%以上)
□中(使用本学案导学提供的资源、例题和笔记,使用率在50%-80%左右)
□弱(仅作一般参考,使用率在50%以下)
学生:
_______________家长:
______________指导教师:
_________________
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- 一元一次方程 解法