112集合间的基本关系教案人教A版必修1.docx
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112集合间的基本关系教案人教A版必修1
1.1
集 合
1.1.2 集合间的基本关系
●三维目标
1.知识与技能
(1)理解集合间的“包含”与“相等”的含义;
(2)能识别给定集合的子集;
(3)了解空集的含义.
2.过程与方法
(1)观察、类比、分析、归纳;
(2)提高学生的逻辑思维能力,培养学生等价和化归的思想方法.
3.情感态度与价值观
(1)认识个体与集体之间,小集体构成大社会的依存关系;
(2)发展学生抽象、归纳事物的能力,培养学生辨证的观点.
●重点难点
重点:
子集、真子集的概念.
难点:
元素与子集,属于与包含间的区别:
空集是任何非空集合的真子集的理解.
(1)重点的突破:
教科书尽最大可能地展示了联想、类比、推广等研究教学问题中常用的逻辑思考方法,为此,教学时,可鼓励学生通过类比的方法(如类比数的大小关系引入集合的包含关系;类比实数中的结论:
若a≥b,且b≥a,则a=b得出A=B),完成集合关系的学习,在引导学生总结包含关系的定义的同时培养学生自然语言,符号语言,图形语言(Venn图)的互化意识;
(2)难点的解决:
对学生而言,空集的概念,无论是理解还是应用,都有一定的难度.为此,建议教学时,要多举一些空集的实例(如方程x2+1=0无解,不等式x2<0无解等例子),辅助教学,以帮助学生感知空集引入的必要性、必然性.
课标解读
1.理解集合之间的包含与相等的含义.(重点)
2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合
间的关系.(难点、易混点)
3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.(难点)
子集与真子集
【问题导思】
给出下面两个集合:
A={0,1,2},B={0,1,2,3}.
1.集合A中的元素都是集合B中的元素吗?
【提示】 是的.
2.集合B中的元素都是集合A中的元素吗?
【提示】 不全是.
1.子集与真子集
概念
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)
真子集
如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.
(或
)
2.Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
3.子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.
(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.
集合的相等
【问题导思】
若A={0,1},B={x|x2=x},则A⊆B吗?
反之呢?
【提示】 是.反之也成立.
1.条件:
A⊆B,且B⊆A.
2.表示:
A=B.
3.Venn图:
空集
【问题导思】
集合A={x|x<-1且x>3}中有多少个元素?
【提示】 0个
1.定义:
不含任何元素的集合,叫做空集.
2.符号表示为:
∅.
3.规定:
空集是任何集合的子集.
集合的子集、真子集问题
已知集合M={x|x<2且x∈N},N={x|-2<x<2且x∈Z}.
(1)写出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集数、非空真子集数.
【思路探究】把用描述法表示的集合用列举法表示出来,从而写出子集与真子集.
【自主解答】 M={x|x<2且x∈N}={0,1},
N={x|-2<x<2,且x∈Z}={-1,0,1}.
(1)∴M的子集为∅,{0},{1},{0,1};其中真子集为:
∅,{0},{1}.
(2)N的真子集为:
∅,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1}.∴N的子集数为23=8个;非空真子集数为23-2=6个.
1.写有限集合的所有子集,首先要注意两个特殊的子集,∅和自身;其次按含一个元素的子集,含两个元素的子集…依次写出,以免重复或遗漏.
2.若集合A含n个元素,那么它子集个数为2n;真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
若{1,2,3}A⊆{1,2,3,4,5},则集合A的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.【答案】 B
集合间关系的判断
判断下列每组中两个集合的关系:
(1)A={x|-3≤x<5},B={x|-1 (2)A={y|y=x2},B={x|y=x2}; (3)A= ,B= ; (4)A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=2(n+1),n∈Z}. 【思路探究】 利用数轴或适当变形后再根据子集、真子集及集合相等的定义进行判断. 【自主解答】 (1)将两个集合在数轴上表示出来,如图所示,显然有 ; (2)∵A={y|y=x2}={y|y≥0},B={x|y=x2}=R,∴ ; (3)在集合A中,x=k+ = ,k∈Z; ∵当k∈Z时,2k+1是奇数,∴集合A中的元素是所有的奇数除以2所得的数. 在集合B中,x=2k+ = ,k∈Z. ∵当k∈Z时,4k+1只表示了部分奇数.∴ ; (4)∵n∈Z∴n+1∈Z∴B表示偶数集,∵A也表示偶数集∴A=B. 1.对于(3)、(4)也可用列举法,先列出集合A,B的部分元素,再观察规律,找出A,B的关系. 2.集合间关系的判断方法 (1)判断A⊆B的常用方法,一般用定义法,即说明集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素. (2)判断 的方法,可以先判断A⊆B,然后说明集合B中存在元素不属于集合A. (3)判断A=B的方法,可以证明A⊆B,且B⊆A;也可以证明两个集合的元素完全相同. 下列各式中,正确的个数是( ) (1){0}∈{0,1,2}; (2){0,1,2}⊆{2,1,0};(3)∅⊆{0,1,2};(4)∅={0};(5){0,1}={(0,1)};(6)0={0} A.1 B.2C.3D.4 【解析】 对于 (1),是集合与集合的关系,应为{0}{0,1,2};对于 (2),实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子集;对于(3),空集是任何集合的子集;对于(4),{0}是含有单元素0的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以∅≠{0};对于(5),{0,1}是含有两个元素0与1的集合,而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合,所以{0,1}与{(0,1)}不相等;对于(6),0与{0}是“属于与否”的关系,所以0∈{0},故 (2)(3)是正确的.【答案】 B 由集合间的关系求参数的范围 已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围. 【思路探究】 对集合B是否为空集进行分类讨论求解. 【自主解答】 当B=∅时,只需2a>a+3,即a>3; 当B≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴,可得 或
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