1 12 集合间的基本关系.docx
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112集合间的基本关系
1.2 集合间的基本关系
考点
学习目标
核心素养
子集、真子集、空集的概念
理解子集、真子集、空集的概念,会用列举法求有限集的所有子集
数学抽象
集合关系的判定
能用符号和Venn图表达集合间的关系,会判断两个集合间的关系
数学抽象、逻辑推理
集合关系的应用
能根据集合的关系解决简单的求参问题
逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P7-P8,并思考以下问题:
1.集合与集合之间的关系有哪几种?
如何用符号表示这些关系?
2.集合的子集是什么?
真子集又是什么?
如何用符号表示?
3.空集是什么样的集合?
空集和其他集合间具有什么关系?
1.Venn图
(1)定义:
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图,这种表示集合的方法叫做图示法.
(2)适用范围:
元素个数较少的集合.
(3)使用方法:
把元素写在封闭曲线的内部.
■名师点拨
表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、矩形、椭圆,也可以是其他封闭曲线.
2.子集的概念
文字语言
符号语言
图形语言
一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)
■名师点拨
“集合A是集合B的子集”可以表述为:
若x∈A,则x∈B.
3.集合相等的概念
一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B,也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
4.真子集的概念
文字语言
符号语言
图形语言
如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是B的真子集
AB(或BA)
■名师点拨
(1)若A⊆B,又B⊆A,则A=B;反之,如果A=B,则A⊆B,且B⊆A.
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关.
(3)在真子集的定义中,AB首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A.
5.空集
(1)定义:
不含任何元素的集合叫做空集.
(2)用符号表示为:
∅.
(3)规定:
空集是任何集合的子集.
■名师点拨
∅,0,{0}与{∅}之间的关系
∅与0
∅与{0}
∅与{∅}
相同点
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
∅是集合;0是实数
∅不含任何元素;{0}含一个元素0
∅不含任何元素;{∅}含一个元素,该元素是∅
关系
0∉∅
∅{0}
∅{∅}或∅∈{∅}
6.子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.
(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“∈”“⊆”的意义是一样的.( )
(2)集合{0}是空集.( )
(3)空集是任何集合的真子集.( )
(4)若集合A是集合B的真子集,则集合B中必定存在元素不在集合A中.( )
(5)若a∈A,集合A是集合B的子集,则必定有a∈B.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)× (4)√ (5)√
已知集合M={1},N={1,2,3},能够准确表示集合M与N之间关系的是( )
A.M C.N⊆MD.MN 答案: D 已知集合A={x|x是三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等腰直角三角形},D={x|x是等边三角形},则( ) A.A⊆BB.C⊆B C.D⊆CD.A⊆D 解析: 选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形,所以C⊆B. 下列四个集合中是空集的是( ) A.{∅}B.{x∈R|x2+1=0} C.{x|x<4或x>8}D.{x|x2+2x+1=0} 解析: 选B.A,D选项各有一个元素,C项中有无穷多个元素,x2+1=0无实数解,故选B. 已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a=________. 解析: 因为A⊆B,所以a+3=1,即a=-2. 答案: -2 集合间关系的判断 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|-1 (3)A={x|x是正方形},B={x|x是矩形}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. 【解】 (1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. (2)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知AB. (3)正方形是特殊的矩形,故AB. (4)两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故NM. 1.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是( ) 解析: 选B.解x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得NM,其对应的Venn图如选项B所示. 2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当的符号填空: (1)A________B; (2)A________C; (3){2}________C;(4)2________C. 解析: 集合A为方程x2-3x+2=0的解集,即A={1,2},而C={x|x<8,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7}.故 (1)A=B; (2)AC;(3){2}C;(4)2∈C. 答案: (1)= (2) (3) (4)∈ 子集、真子集的个数问题 (1)(2019·安庆检测)已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B={x∈N|0 A.1 B.2 C.3D.4 (2)已知集合A={x∈R|x2=a},使集合A的子集个数为2的a的值为( ) A.-2B.4 C.0D.以上答案都不是 (3)若A={2,3,4},B={x|x=mn,m,n∈A且m≠n},则集合B的非空真子集的个数为( ) A.3B.6 C.7D.8 【解析】 (1)由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},所以满足条件的C可为{1,2,3},{1,2,4}. (2)由题意知,集合A中只有1个元素,必有x2=a只有一个解;若方程x2=a只有一个解,必有a=0. (3)由题意A={2,3,4},B={x|x=mn,m,n∈A且m≠n},可知B={6,8,12},所以集合B的非空真子集的个数为: 23-2=6. 【答案】 (1)B (2)C (3)B (变条件)若将本例 (1)的条件改为{2,3}⊆C⊆{1,2,3,4,5},试写出集合C的所有可能. 解: 当C中含有两个元素时,C为{2,3}; 当C中含有三个元素时,C为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5}; 当C中含有四个元素时,C为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5}; 当C中含有五个元素时,C为{2,3,1,4,5};所以满足条件的集合C为{2,3},{2,3,1}{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5}. (1)求集合子集、真子集个数的3个步骤 (2)与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素,则有 ①A的子集的个数有2n个; ②A的非空子集的个数有2n-1个; ③A的真子集的个数有2n-1个; ④A的非空真子集的个数有2n-2个. 若集合A{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合有________个. 解析: 若A中含有一个奇数,则A可能为{1},{3},{1,2},{3,2}; 若A中含有两个奇数, 则A={1,3}. 答案: 5 由集合间的包含关系求参数 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1 【解析】 由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4, 又m>1,所以1 【答案】 1 1.(变条件)本例若将“B={x|1 解: 若m≤1,则B=∅,满足B⊆A. 若m>1,则由例题解析可知1 综上可知m≤4. 2.(变条件)本例若将“B={x|1 解: 因为B⊆A, ①当B=∅时,m+1≤2m-1,解得m≥2. ②当B≠∅时,有 解得-1≤m<2. 综上得m≥-1. 3.(变条件)本例若将集合A,B分别改为A={-1,3,2m-1},B={3,m2},其他条件不变,则实数m的值又是什么? 解: 因为B⊆A,所以m2=2m-1,即(m-1)2=0,所以m=1,当m=1时,A={-1,3,1},B={3,1}满足B⊆A.所以m的值为1. 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论; (2)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,应注意端点处是实点还是虚点. [注意] (1)不能忽视集合为∅的情形. (2)当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. 已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},BA,求m的值. 解: A={x|x2+x-6=0}={-3,2}. 因为BA, 所以B={-3}或B={2}或B=∅. 当B={-3}时, 由m·(-3)+1=0,得m= . 当B={2}时, 由m·2+1=0,得m=- . 当B=∅时,m=0. 综上所述,m= 或m=- 或m=0. 1.下列命题中正确的是( ) A.空集没有子集 B.空集是任何一个集合的真子集 C.任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D.设集合B⊆A,那么,若x∉A,则x∉B 解析: 选D.空集有唯一一个子集,就是其本身,故A,C错误;空集是任何一个非空集合的真子集,故B错误;由子集的概念知D正确. 2.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间的最适合的关系是( ) A.A⊆B B.A⊇B C.ABD.AB 解析: 选D.集合A是能被3整除的整数组成的集合,集合B是能被6整除的整数组成的集合,所以BA. 3.满足{a}⊆M{a,b,c,d}的集合M共有( ) A.6个B.7个 C.8个D.15个 解析: 选B.依题意a∈M,且M{a,b,c,d},因此M中必含有元素a,且可含有元素b,c,d中的0个、1个或2个,即M的个数等于集合{b,c,d}的真子集的个数,有23-1=7(个). 4.设集合A={1,3,a},B={1,1-2a},且B⊆A,则a的值为________. 解析: 由题意得1-2a=3或1-2a=a, 解得a=-1或a= . 当a=-1时, A={1,3,-1},B={1,3},符合条件. 当a= 时, A= ,B= ,符合条件. 所以a的值为-1或 . 答案: -1或 [A 基础达标] 1.(2019·衡水检测)已知集合A={1,2,3,4,5,6},B={3,4,5,X},若B⊆A,则X可以取的值为( ) A.1,2,3,4,5,6 B.1,2,3,4,6 C.1,2,3,6D.1,2,6 解析: 选D.由B⊆A和集合元素的互异性可知,X可以取的值为1,2,6. 2.已知集合A={x|x2-9=0},则下列式子表示正确的有( ) ①3∈A;②{-3}∈A;③∅⊆A;④{3,-3}⊆A. A.4个B.3个 C.2个D.1个 解析: 选B.根据题意,集合A={x|x2-9=0}={-3,3},依次分析4个式子: 对于①3∈A,3是集合A的元素,正确; ②{-3}∈A,{-3}是集合,有{-3}⊆A,错误; ③∅⊆A,空集是任何集合的子集,正确; ④{3,-3}⊆A,任何集合都是其本身的子集,正确;共有3个正确. 3.已知a为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为( ) A.1B.2 C.4D.不确定 解析: 选C.方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0, 所以方程有两个不相等的实数根, 所以集合M有2个元素,所以集合M有22=4个子集. 4.已知集合M= ,N={x|x= + , },则( ) A.M=N B.MN C.MN D.M与N没有相同元素 解析: 选C.因为 + = (2k+1), + = (k+2),当k∈Z时,2k+1是奇数,k+2是整数,又奇数都是整数,且整数不都是奇数,所以MN.故选C. 5.已知集合P={x|x2=1},Q={x|ax=1},若Q⊆P,则a的值是( ) A.1B.-1 C.1或-1D.0,1或-1 解析: 选D.由题意,当Q为空集时,a=0,符合题意;当Q不是空集时,由Q⊆P,得a=1或a=-1.所以a的值为0,1或-1. 6.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为________. 解析: 因为xy>0,所以x,y同号,又x+y<0,所以x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点,而集合P也表示第三象限内的点,故M=P. 答案: M=P 7.已知∅{x|x2+x+a=0},则实数a的取值范围是________. 解析: 因为∅{x|x2+x+a=0},所以方程x2+x+a=0有实数根,即Δ=1-4a≥0,a≤ . 答案: a≤ 8.设A={x|-1 解析: 集合A,B在数轴上表示如图,由AB可求得a≤-1,注意端点能否取到是正确求解的关键. 答案: a≤-1 9.判断下列集合间的关系: (1)A={-1,1},B={x∈N|x2=1}. (2)P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z}. (3)A={x|x-3>2},B={x|2x-5≥0}. (4)A={x|x=a2+1,a∈R},B={x|x=a2-4a+5,a∈R}. 解: (1)用列举法表示集合B={1},故BA. (2)因为Q中n∈Z,所以n-1∈Z,Q与P都表示偶数集,所以P=Q. (3)因为A={x|x-3>2}={x|x>5}, B={x|2x-5≥0}= , 所以利用数轴判断A,B的关系. 如图所示,AB. (4)因为A={x|x=a2+1,a∈R}={x|x≥1}, B={x|x=a2-4a+5,a∈R}={x|x=(a-2)2+1,a∈R}={x|x≥1},所以A=B. 10.(2019·葫芦岛检测)已知集合A={a,a-1},B={2,y},C={x|1 (1)若A=B,求y的值; (2)若A⊆C,求a的取值范围. 解: (1)若a=2,则A={1,2},所以y=1. 若a-1=2,则a=3,A={2,3}, 所以y=3, 综上,y的值为1或3.
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