集合间的基本关系教案及练习.docx
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集合间的基本关系教案及练习
1.2 集合间的基本关系
1.Venn图
(1)定义:
在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
(2)适用范围:
元素个数较少的集合.
(3)使用方法:
把元素写在封闭曲线的内部.
2.子集、真子集、集合相等的概念
(1)子集的概念
文字语言
符号语言
图形语言
对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)
(2)集合相等
集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(3)真子集的概念
文字语言
符号语言
图形语言
如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集
AB(或BA)
3.空集
(1)定义:
不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.
(2)规定:
空集是任何集合的子集.
4.集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.
(2)对于集合A,B,C,若A⊆B且B⊆C,则A⊆C.
1.集合A={-1,0,1},A的子集中,含有元素0的子集共有( )
A.2个B.4个
C.6个D.8个
B 解析:
根据题意,在集合A的子集中,含有元素0的子集有{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},共4个,故选B.
2.已知集合A={x|-1 A.A>BB.A C.B⊆AD.A⊆B C 解析: 用数轴表示集合A,B,如图所示, 由图可知B⊆A. 3.若{1,2}⊆B⊆{1,2,4},则B=________. {1,2}或{1,2,4} 解析: 由条件知B中一定含有元素1和2,故B可能是{1,2},{1,2,4}. 【例1】指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; (3)A={x|-1 (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. 解: (1)集合A的元素是数,集合B的元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB. (3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知AB. (4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故NM. 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键 提醒: 注意元素与集合、集合与集合之间的关系和所用符号的区别. 1.已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={0,1,2},则集合M与N的关系是( ) A.M=N B.NM C.MN D.N⊆M C 解析: 解方程x2-3x+2=0得x=2或x=1,则M={1,2}.因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N,所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M,所以MN. 2.已知集合M={x|-1<x<5},N={x|0<x<3},则正确表示M和N关系的Venn图是( ) B 解析: 因为NM,故选B. 3.已知集合A= ,B= ,则集合A,B的关系为________. A=B 解析: A= , B= . 因为2n+1,n∈Z和2n+3,n∈Z都表示所有奇数,所以A=B. 【例2】已知集合A={x∈Z|-2≤x<2},B={y|y=x2,x∈A},则集合B的子集的个数为( ) A.7B.8 C.15D.16 B 解析: 由题意得A={-2,-1,0,1},B={0,1,4},所以B的子集有23=8(个),即∅,{0},{1},{4},{0,1},{0,4},{1,4},{0,1,4}.故选B. 【例3】已知集合A={x∈R|x2=a},使集合A的子集个数为2的a的值为( ) A.-2B.4 C.0D.以上答案都不是 C 解析: 由题意知,集合A中只有1个元素,也即x2=a只有一个解; 若方程x2=a只有一个解,则有a=0. 【例4】若A={2,3,4},B={x|x=mn,m,n∈A且m≠n},则集合B的非空真子集的个数为________. 6 解析: 由题意A={2,3,4},B={x|x=mn,m,n∈A且m≠n},可知B={6,8,12}, 所以集合B的非空真子集个数为23-2=6. 元素个数与集合子集个数的关系 (1)探究. 集合A 集合A中元 素的个数n 集合A的 子集个数 ∅ 0 1 {a} 1 2 {a,b} 2 4 {a,b,c} 3 8 {a,b,c,d} 4 16 (2)结论. ①A的子集有2n个. ②A的非空子集有(2n-1)个. ③A的非空真子集有(2n-2)个(n≥1). 已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集. 解: ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}. ∴A的子集有: ∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. 探究题1 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1,m为常数},若B⊆A,求实数m的取值范围. 解: ①若B=∅,满足B⊆A, 则m+1>2m-1,解得m<2. ②若B≠∅,满足B⊆A,则 解得2≤m≤3. 综上,实数m的取值范围为{m|m≤3}. 探究题2 已知集合A={0,-4},集合B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若B⊆A,试求a的取值范围. 解: 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况: ①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得 解得a=1; ②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4}, 并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1, 此时B={0}满足题意; ③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}. 已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解. (1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性; (2)若集合表示的是不等式(组)的解集,常借助数轴求解,此时需注意端点值能否取到. 1.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m}(m>1),且B⊆A,则实数m的取值范围是________. {m|1<m≤4} 解析: 由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4, 又m>1,所以1<m≤4. 2.已知集合A={1,3,x2},B={1,x+2},是否存在实数x,使得集合B是A的子集? 若存在,求出A,B;若不存在,请说明理由. 解: 因为B⊆A,所以x+2=3或x+2=x2(即x-1或x=-1或x=2). 当x=1时,A={1,3,1}不满足互异性,所以x=1(舍). 当x=2时,A={1,3,4},B={1,4},满足B⊆A. 当x=-1时,A={1,3,1}不满足互异性, 所以x=-1(舍). 综上,存在x=2使得B⊆A. 此时,A={1,3,4},B={1,4}. 集合间基本关系练习 (30分钟 60分) 1.(5分)已知集合A={x|x2-9=0},则下列式子表示正确的有( ) ①3∈A;②{-3}∈A;③∅⊆A;④{3,-3}⊆A. A.4个 B.3个 C.2个D.1个 B 解析: 根据题意,集合A={x|x2-9=0}={-3,3}. 3∈A,3是集合A的元素,故①正确; {-3}是集合,有{-3}⊆A,故②错误; 空集是任何集合的子集,故③正确; 任何集合都是其本身的子集,故④正确. 2.(5分)已知a为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为( ) A.1 B.2 C.4 D.不确定 C 解析: 因为方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0, 所以方程有两个不相等的实数根, 所以集合M有2个元素,所以集合M有22=4(个)子集. 3.(5分)设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,则实数a的取值范围是( ) A.{a|1≤a≤3} B.{a|a≥3} C.{a|a≥1} D.{a|1<a<3} C 解析: 因为A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},且B⊆A,所以当B=∅时,2a>a+3,解得a>3;当B≠∅时, 解得1≤a≤3.综上,a的取值范围是{a|a≥1}. 4.(5分)设集合M={x|x=2k-1,k∈Z},N={x|x=4k±1,k∈Z},则( ) A.M=N B.MN C.NM D.N⊆M A 解析: 方法一: (列举法)因为集合M={x|x=2k-1,k∈Z},所以其中的元素是奇数且M={…,-3,-1,1,3,…}. 因为集合N={x|x=4k±1,k∈Z},所以其中的元素也是奇数且N={…,-3,-1,1,3,…}. 所以它们之间的关系为M=N. 方法二: (特征性质法)对于x=2k-1,k∈Z.当k为偶数,即k=2n,n∈Z时,x=4n-1,n∈Z, 当k为奇数,即k=2n+1,n∈Z时, x=4n+1,n∈Z,所以集合M=N. 5.(5分)集合{(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N}的非空子集有________个. 15 解析: {(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N}={(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}共4个元素, 故原集合的非空子集共有24-1=15(个). 6.(5分)已知集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},那么M________P.(填“”“”或“=”) 解析: 对于任意.x∈M,有x=1+a2=(a+2)2-4(a+2)+5. ∵a∈N*,∴a+2∈N*,∴x∈P. 由子集的定义知,M⊆P. 由a=2∈N*时,a2-4a+5=1∈P, 而1+a2=1在a∈N*时无解,∴1∉M. 综上所述,MP. 7.(5分)已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q⊆P,则a的取值是________. 0,±1 解析: P={-1,1}, 若Q=∅,则a=0,此时满足Q⊆P. 若Q≠∅,则Q= .由题意知 =1或 =-1,解得a=±1. 综上可知,a的取值是0,±1. 8.(5分)集合A= ,具有性质“若x∈P,则 ∈P”的所有非空子集的个数为________. 7 解析: 根据题意,满足题意的子集有{1}, , , , , , ,共7个. 9.(10分)已知集合A={x|-5<x<5},B={x|-2a<x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围. 解: 因为B⊆A, 当B=∅时,-2a≥a+3,解得a≤-1; 当B≠∅时,
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