24223切线长定理.pptx
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24223切线长定理.pptx
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切线长定理,1、圆的切线的定义是什么?
一、活动准备,2、圆的切线有哪些判定方法?
3、你能过圆上一点作出圆的切线吗?
能说出作图的步骤吗?
理论依据是什么?
O,作图的步骤:
1、连接OA;2、过点A作直线lOA.,二、活动一,1、你能过圆外一点作出圆的切线吗?
O,2、能说出作图的步骤吗?
3、理论依据是什么?
4、过圆外一点能作几条圆的切线吗?
过圆外一点作圆的切线,这点和切点之的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
O,思考:
切线与切线长有区别吗?
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做切线长。
数学探究,O,B,切线长和切线的区别和联系:
切线是直线,不可以度量;切线长是指切线上的一条线段的长,可以度量。
如图,纸上有一O,PA为O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B。
1.OB是O的一条半径吗?
2.PB是O的切线吗?
3.PA、PB有何关系?
4.APO和BPO有何关系?
数学探究,问题:
已知:
求证:
如图,P为O外一点,PA、PB为O的切线,A、B为切点,连结PO,切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
O,B,RtAOPRtBOP,O,P,A,B,PA=PBPO平分APB,1,2,连结OA、OB、,PA、PB与O相切,点A、B是切点,1=2,OAAP,OBBP,OAP=OBP=90,OA=OB,OP=OP,PA=PB,PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
切线长定理,几何语言:
反思:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法,数学探究,思考:
连结AB,则AB与PO有怎样的位置关系?
为什么?
你还能得出什么结论?
E,例.PA、PB是O的两条切线,A、B为切点,直线OP交于O于点D、E,交AB于C。
B,A,P,O,C,E,D,
(1)写出图中所有的垂直关系,OAPA,OBPB,ABOP,(3)写出图中所有的全等三角形,AOPBOP,AOCBOC,ACPBCP,(4)写出图中所有的等腰三角形,ABPAOB,(5)若PA=4、PD=2,求半径OA,
(2)写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,已知:
如图PA、PB是O的两条切线,A、B为切点。
直线OP交O于D、E,交AB于C。
(1)如果半径为3cm,PO=6cm,则点P到O的切线长为cm,两切线的夹角等于度,60,我们学过的切线,有性质:
1、切线和圆只有一个公共点;2、切线和圆心的距离等于圆的半径;3、切线垂直于过切点的半径;4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点;5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
六个,。
P,B,A,O,(3)连结圆心和圆外一点,
(2)连结两切点,
(1)分别连结圆心和切点,反思:
在解决有关圆的切线长的问题时,往往需要我们构建基本图形。
反思:
在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形。
1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
小结:
PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据。
必须掌握并能灵活应用。
一、判断
(1)过任意一点总可以作圆的两条切线()
(2)从圆外一点引圆的两条切线,它们的长相等。
练习,
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点,连结PO,则度。
P,B,O,A,二、填空,25,(3)如图,PA、PB、DE分别切O于A、B、C,DE分别交PA,PB于D、E,已知P到O的切线长为8CM,则PDE的周长为(),A,A16cm,D8cm,C12cm,B14cm,D,C,B,E,A,P,1、已知,如图,PA、PB是O的两条切线,A、B为切点.直线OP交O于点D、E,交AB于C.
(1)写出图中所有的垂直关系;
(2)如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.,例2、如图,过半径为6cm的O外一点P作圆的切线PA、PB,连结PO交O于F,过F作O切线分别交PA、PB于D、E,如果PO10cm,求PED的周长。
(5)如果PA=4cm,PD=2cm,试求半径OA的长。
x,即:
解得:
x=,3cm,半径OA的长为3cm,例1、如图,PA、PB是O的切线,A、B为切点,OAB30
(1)求APB的度数;
(2)当OA3时,求AP的长,练习如图,从O外一点P作O的两条切线,分别切O于A、B,在AB上任取一点C作O的切线分别交PA、PB于D、E
(1)若PA=2,则PDE的周长为_;若PA=a,则PDE的周长为_。
(2)连结OD、OE,若P=40,则DOE=_;若P=k,DOE=_度。
E,O,C,B,D,P,A,4,2a,70,随堂训练,
(2)观察OP与BC的位置关系,并给予证明。
(1)若OA=3cm,APB=60,则PA=_.,如图,AC为O的直径,PA、PB分别切O于点A、B,OP交O于点M,连结BC。
试一试:
已知:
如图,P为O外一点,PA,PB为O的切线,A和B是切点,BC是直径。
C50,求APB的度数求证:
ACOP。
试一试:
如图1,一个圆球放置在V形架中。
图2是它的平面示意图,CA和CB都是O的切线,切点分别是A、B。
如果O的半径为cm,且AB=6cm,求ACB。
思考:
当切点F在弧AB上运动时,问PED的周长、DOE的度数是否发生变化,请说明理由。
思考,如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I,D,o,o,o,三角形的内切圆:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内心:
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等。
数学探究,问题:
如图ABC,要求画ABC的内切圆,如何画?
已知:
ABC求作:
和ABC的各边都相切的圆,B,C,A,I,D,作法:
1、作B、C的平分线BM、CN,交点为I2、过点I作IDBC,垂足为D3、以I为圆心,ID为半径作II就是所求的圆,N,M,O,三角形的外接圆:
三角形的内切圆:
I,D,明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆;,2.一个圆有无数个外切三角形;,3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点;,4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。
试说明圆的外切四边形的两组对边的和相等,例3、已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与O相切于P、Q、M、N,求证:
AB+CD=AD+BC。
A,B,D,L,M,N,P,O,结论:
圆的外切四边形的两组对边和相等。
已知:
四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和圆O分别相切于L,M,N,P。
探索圆外切四边形边的关系。
C,
(1)找出图中所有相等的线段,
(2)填空:
AB+CDAD+BC(,=),=,DN=DP,AP=AL,BL=BM,CN=CM,比较圆的内接四边形的性质:
圆的内接四边形:
角的关系,圆的外切四边形:
边的关系,1、四边形ABCD外切于O,
(1)若AB:
BC:
CD:
DA=2:
3:
n:
4则n=_,
(2)若AB:
BC:
CD=5:
4:
7,周长为48则最长的边为_,2、,圆内接平行四边形是矩形,圆外切平行四边形是_,练习二,A,B,C,D,O,3、,圆内接梯形为等腰梯形,4、
(1)已知圆外切等腰梯形的中位线长为3cm,则腰长为_,
(2)若圆外切等腰梯形,两腰之比为9:
11差为6cm,则中位线为_若S梯=150cm,则内切圆的直径为_,如图,ABC的内切圆分别和BC,AC,AB切于D,E,F;如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=cm,AC=AB=,11,6cm,9cm,B,D,A,C,F,E,2,7,4,练习四已知:
ABC是O外切三角形,切点为D,E,F。
若BC14cm,AC9cm,AB13cm。
求AF,BD,CE。
A,B,C,D,E,F,x,x,y,y,O,z,z,解:
设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm,依题意得方程组,x+y=13y+z=14x+z=9,已知:
如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,三边长分别是a,b,c.求O的半径r.,
(1)Rt的三边长与其内切圆半径间的关系,13,探究三,求直角三角形内切圆的半径,A,B,C,E,D,F,O,如图,RtABC中,C90,BCa,ACb,ABc,O为RtABC的内切圆.求:
RtABC的内切圆的半径r.,设AD=x,BE=y,CEr,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解:
设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OD、OE、OF则OAAC,OEBC,OFAB。
结论,A,B,C,E,D,F,O,如图,RtABC中,C90,BC3,AC4,O为RtABC的内切圆.
(1)求RtABC的内切圆的半径.
(2)若移动点O的位置,使O保持与ABC的边AC、BC都相切,求O的半径r的取值范围。
设AD=x,BE=y,CEr,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解:
(1)设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OD、OE、OF则OAAC,OEBC,OFAB。
解得,r1,在RtABC中,BC3,AC4,AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形,CDCEOD,RtABC的内切圆的半径为1。
(2)如图所示,设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。
A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。
例.如图,ABC中,C=90,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F,且BD=12,AD=8,求O的半径r.,探究三,求一般三角形内切圆的半径,
(2)已知:
如图,ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.求内切圆O的半径r.,B,D,E,F,O,C,A,如图,ABC的内切圆的半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解:
设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF,,则ODAB,OEBC,OFAC.,SABCSAOBSBOCSAOC,ABODBCOEACOF,lr,设ABC的三边为a、b、c,面积为S,则ABC的内切圆的半径r,结论,三角形的内切圆的有关计算,14,小练习,1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为,2.边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为,3.已知:
ABC的面积S=4cm,周长等于10cm.求内切圆O的半径r.,基础题:
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O于P点,交AB、BC于E、F,则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,选做题:
如图,AB是O的直径,AD、DC、BC是切线,点A、E、B为切点,若BC=9,AD=4,求OE的长.,例:
如图,ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的长。
x,13x,x,13x,9x,9x,例题选讲,1、如图,ABC中,ABC=50,ACB=75,点O是ABC的内心,求BOC的度数。
随堂训练,变式:
ABC中,A=40,点O是ABC的内心,求BOC的度数。
BOC=90+A,2、ABC的内切圆半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积。
(提示:
设内心为O,连接OA、OB、OC。
),O,A,C,B,r,r,r,知识拓展,若ABC的内切圆半径为r,周长为l,则SABC=lr,同学们要好好学习老师期盼你们快快进步!
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